Точность справа и ассоциативность
Только что в голову пришло. Похоже, ассоциативность тензорного произведения следует из точности справа в смысле [1], причём следует тривиальным образом.

В смысле, если у нас есть тензорное произведение абелевых групп \otimes_{j \in J} \otimes_{i \in I_j} V_i, то надо стандартным образом представить каждый из \otimes_{i \in I_j} V_i как фактор свободной абелевой группы, порождённой формальными тензорными мономами, после чего воспользоваться точностью справа \otimes_{j \in J} в смысле [1], ну и дистрибутивностью \otimes относительно \oplus. После чего ясно, что \otimes_{j \in J} \otimes_{i \in I_j} V_i отождествляется с \otimes_{i \in I} V_i, где I = \bigsqcup_{j \in J} I_j.

Надеюсь, ничего не напутал.

Здорово-то как!!! Красотища. И абсолютно симметрично всё.

Кстати, ещё один аргумент в пользу задания \otimes образующими и соотношениями в контексте старой дискуссии в комментариях к [2]. Это рассуждение по-другому особо и не сформулируешь, кажется, а других таких же симметричных доказательств дистрибутивности, вроде бы, нет.

[1]: https://lj.rossia.org/users/tiphareth/2492264.html?thread=175114344#t175114344
[2]: https://lj.rossia.org/users/yy/5054.html