Вопрос про тензорные произведения тел
Праздный вопрос в копилку праздных вопросов.

Пусть k --- поле, а D и D' --- две k-алгебры, являющиеся телами. Пусть не существует полей K \subset Z(D) и K' \subset Z(D'), где Z обозначает центр, содержащих k и изоморфных над k, кроме самого k. Верно ли тогда, что k-алгебра D \otimes_k D' простая?

Если такие K и K' существуют, то имеется очевидный сюръективный гомоморфизм D \otimes_k D' \to D \otimes_K D' с нетривиальным ядром.

Вопрос в том, бывают ли контрпримеры другого типа к утверждению, что тензорное произведение двух простых алгебр над полем является простой алгеброй.