Не очень понял о чём речь. Тензорное произведение центральной простой алгебры на простую алгебру является простой алгеброй (без предположений конечности на алгебры) --- это вроде как стандартный результат, из которого, кажется, следует то, что вы тут пытаетесь доказать.

Собственно, я записывал доказательство этого факта, кажется, чут-чуть нестандартное, и задумался о нетривиальных контрпримерах, оттуда и вопрос.

Скажем, даже для полей может быть интересно.
Пусть у нас есть два расширения полей K/k и L/k. Пусть нет пары нетривиальных подрасширений k \subset K' \subset K и k \subset L' \subset L, таких что K' изоморфно L' над k. Верно ли, что K \otimes_k L --- простое кольцо?