Можно доказать утверждение: Если k-тензорное произведение двух k-тел не просто, то у них есть нетривиальные центры.

Доказательство:

Предположим, что в тензорном произведение D \otimes_k D' есть нетривиальный двусторонний идеал J. Тогда в J ecть необратимый элемент j отличный от 0. Заметим, что это значит, что j не может быть элементарным тензором, потому что все элементарные тензоры обратимы.

Пусть e какой-то базис D над k. Тогда можно найти выражение для j длины n над e, типа j = sum^n_i=1 e_t_i \otimes_k a_i, для каких-то a_i \neq 0. Заметим, n > 1. Будем считать, что мы выбрали j так, что n минимальна. Можно поделить j на 1 \otimes_k a_i. И мы получим новый j' = e_t_1 \otimes 1 + \sum^n_i=2 e_t_i \otimes_k b_i, все b_i \neq0 0 и все b_i не множители 1. Для произвольного элемента с \in D' можно вычислить j'' = (1 \otimes_k c)j' - j'(1 \otimes_k c) = \sum^n_i=2 e_t_i \otimes_k [b_i,c]. Заметим, что j'' \in J. Так как n было минимальным, это означает, что все коммутаторы зануляются. А это значит, что все b_i лежат в центре D'. И центр D' должен быть нетривиален. И из симметричного аргумента следует, что D тоже имеет нетривиальный центр.

Не очень понял о чём речь. Тензорное произведение центральной простой алгебры на простую алгебру является простой алгеброй (без предположений конечности на алгебры) --- это вроде как стандартный результат, из которого, кажется, следует то, что вы тут пытаетесь доказать.

Собственно, я записывал доказательство этого факта, кажется, чут-чуть нестандартное, и задумался о нетривиальных контрпримерах, оттуда и вопрос.

Скажем, даже для полей может быть интересно.
Пусть у нас есть два расширения полей K/k и L/k. Пусть нет пары нетривиальных подрасширений k \subset K' \subset K и k \subset L' \subset L, таких что K' изоморфно L' над k. Верно ли, что K \otimes_k L --- простое кольцо?

Этот вопрос можно сформулировать проще, а именно, является ли K \otimes_k L — полем?

На этот счет достаточно много написано в интернете.

Старайтесь формулировать Ваши вопросы проще, и Вам будет легче искать ответы.

Например, вот:

https://mathoverflow.net/questions/82083/when-is-the-tensor-product-of-two-fields-a-field

Вы правы, спасибо за ссылку. Хотя не уверен, что там есть ответ именно на заданный вопрос. Но это и не важно, наверно.

>Собственно, я записывал доказательство этого факта, кажется, чут-чуть нестандартное

Могу и сюда его запостить, вдруг тут ошибка есть.

НАБЛЮДЕНИЕ. Пусть R --- ассоциативное унитальное кольцо, N --- простой R-модуль, а D --- тело, противоположное телу эндоморфизмов R-модуля N. Тогда функтор N \otimes_D (-) : D-mod \to R-mod строгий и полный, а его существенный образ замкнут относительно перехода к подмодулям и фактормодулям.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть, в предположениях предыдущего наблюдения, V --- это D-модуль. Тогда любой R-подмодуль в N \otimes_D V имеет вид N \otimes_D U, где U \subset V --- D-подмодуль.

ТЕОРЕМА. Пусть k --- поле, R --- центральная простая ассоциативная унитальная алгебра над k, а R' --- простая ассоциативная унитальная алгебра над k. Тогда k-алгебра R \otimes_k R' простая.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введём обозначения S := R \otimes_{\Z} R^o и S' := R' \otimes_{\Z} (R')^o. Тогда R является простым S-модулем и эндоморфизмы R как S-модуля отождествляются с центром R, то есть с k. Согласно предыдущему следствию произвольный S-подмодуль M \subset R \otimes_k R' имеет вид R \otimes_k U для какого-то k-подмодуля U \subset R'. Если M является ещё и S'-подмодулем, то U \subset R' --- тоже S'-подмодуль. Так как R' --- простой S'-модуль, то M либо тривиальный, либо несобственный.