Не очень понял о чём речь. Тензорное произведение центральной простой алгебры на простую алгебру является простой алгеброй (без предположений конечности на алгебры) --- это вроде как стандартный результат, из которого, кажется, следует то, что вы тут пытаетесь доказать.

Собственно, я записывал доказательство этого факта, кажется, чут-чуть нестандартное, и задумался о нетривиальных контрпримерах, оттуда и вопрос.

Скажем, даже для полей может быть интересно.
Пусть у нас есть два расширения полей K/k и L/k. Пусть нет пары нетривиальных подрасширений k \subset K' \subset K и k \subset L' \subset L, таких что K' изоморфно L' над k. Верно ли, что K \otimes_k L --- простое кольцо?

Этот вопрос можно сформулировать проще, а именно, является ли K \otimes_k L — полем?

На этот счет достаточно много написано в интернете.

Старайтесь формулировать Ваши вопросы проще, и Вам будет легче искать ответы.

Например, вот:

https://mathoverflow.net/questions/82083/when-is-the-tensor-product-of-two-fields-a-field

Вы правы, спасибо за ссылку. Хотя не уверен, что там есть ответ именно на заданный вопрос. Но это и не важно, наверно.

>Собственно, я записывал доказательство этого факта, кажется, чут-чуть нестандартное

Могу и сюда его запостить, вдруг тут ошибка есть.

НАБЛЮДЕНИЕ. Пусть R --- ассоциативное унитальное кольцо, N --- простой R-модуль, а D --- тело, противоположное телу эндоморфизмов R-модуля N. Тогда функтор N \otimes_D (-) : D-mod \to R-mod строгий и полный, а его существенный образ замкнут относительно перехода к подмодулям и фактормодулям.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть, в предположениях предыдущего наблюдения, V --- это D-модуль. Тогда любой R-подмодуль в N \otimes_D V имеет вид N \otimes_D U, где U \subset V --- D-подмодуль.

ТЕОРЕМА. Пусть k --- поле, R --- центральная простая ассоциативная унитальная алгебра над k, а R' --- простая ассоциативная унитальная алгебра над k. Тогда k-алгебра R \otimes_k R' простая.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введём обозначения S := R \otimes_{\Z} R^o и S' := R' \otimes_{\Z} (R')^o. Тогда R является простым S-модулем и эндоморфизмы R как S-модуля отождествляются с центром R, то есть с k. Согласно предыдущему следствию произвольный S-подмодуль M \subset R \otimes_k R' имеет вид R \otimes_k U для какого-то k-подмодуля U \subset R'. Если M является ещё и S'-подмодулем, то U \subset R' --- тоже S'-подмодуль. Так как R' --- простой S'-модуль, то M либо тривиальный, либо несобственный.