Этот вопрос можно сформулировать проще, а именно, является ли K \otimes_k L — полем?

На этот счет достаточно много написано в интернете.

Старайтесь формулировать Ваши вопросы проще, и Вам будет легче искать ответы.

Например, вот:

https://mathoverflow.net/questions/82083/when-is-the-tensor-product-of-two-fields-a-field

Вы правы, спасибо за ссылку. Хотя не уверен, что там есть ответ именно на заданный вопрос. Но это и не важно, наверно.