выберем в кольце R над которым модуль максимальнй идеал m

M/mM это артинов модуль над R и следовательно над R/m, то есть это конечномерное векторное пространство

с другой стороны M/mM это тензорное произведение [над R] M на R/m, оно коммутирует с прямыми суммами, то есть получим суммы I и J копий конечномерного векторного пространства, которые изоморфны только когда у них одинаковая размерность, то есть когда I и J равномощны.