Нашёл на math.stackexchange по ссылке [1] ``Center of the unit group R^{\times} of a ring'', вопрос (asked Mar 27, 2013) и ответ (answered Mar 27, 2013) от PseudoNeo.

Контрпример --- скрученное полиномиальное кольцо с комплексными коэффициентами, то есть \C с добавленным элементом X и соотношениями X a = \bar{a} X, где a \in \C. Обозначим это кольцо через R. Центр R --- это, насколько понимаю, \R[X^2] (там написано \R[X]), а группа единиц --- это \C^{\times}. Очевидно, что вложение Z(R)^{\times} = \R^{\times} в Z(R^{\times}) = \C^{\times} собственное.

[1]: https://math.stackexchange.com/q/342578

офигенно
я думал про групповые кольца, но что-то так и не понял может там это свойство всегда выполняется

Прикол для первокурсников как раз. Я когда позавчера осознал, что центры GL_1(R) и GL_n(R) при n > 1 отличаются, то был слегка шокирован. Наверное, в специализированных книгах про некоммутативные кольца про это пишут, но я их не читал.

Иногда люди вообще игнорируют эту разницу. Например, пока искал, наткнулся на страничку [1], где написано: "The center of GL(n,R) is the subgroup comprising scalar matrices whose scalar entry is a central invertible element of R."

[1]: https://groupprops.subwiki.org/wiki/Center_of_general_linear_group_is_group_of_scalar_matrices_over_center