Избегание простых (prime avoidance)
Есть такая "лемма" в коммутативной алгебре, называется "prime avoidance". У неё есть разные формы, возьмём стандартную из Википедии [1]:

STATEMENT. Let E be a subset of R that is an additive subgroup of R and is multiplicatively closed. Let I_1, I_2, \dots , I_n, n \geq 1 be ideals such that I_i are prime ideals for i \geq 3. If E is not contained in any of I_i's, then E is not contained in the union \cup I_i.

Эта формулировка лично меня сильно раздражала своей несимметричностью. Да, можно убрать условие, что два из I_i могут не быть простыми, и есть симметричное доказательство, но это, строго говоря, ослабление утверждения. Некоторое время назад обнаружил, что если разделить утверждение этой леммы на два утверждения, то будет поприятнее. Не писал, так как слишком мелкая тема, но сейчас захотелось.

СОГЛАШЕНИЕ. В дальнейшем кольца не подразумеваются унитальными. Простой идеал --- это собственный двусторонний идеал, дополнение которого замкнуто относительно умножения.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть G --- группа, а H, K \subset M --- её собственные подгруппы. Тогда G \neq H \cup K.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Мы можем предположить, что H и K не являются подмножествами друг друга, то есть существуют h \in H \setminus K и k \in K \setminus H. Тогда hk \notin H \cup K.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1'. Пусть G --- группа, а G', H, K \subset G --- её подгруппы. Если G' \subset H \cup K, то G' \subset H или G' \subset K.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим утверждение 1 к покрытию G' группами G' \cap H и G' \cap K.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть I_1, ..., I_n --- конечное семейство двусторонних идеалов ассоциативного кольца R, объединение которых равно R, причём никакой из I_i нельзя убрать из объединения. Тогда все идеалы I_i не простые.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого i от 1 до n выберем элемент a_i \in I_i, который не лежит ни в одном из I_j, где j \neq i. Пусть идеал I_1 простой. Тогда элемент a_1 + a_2 a_3 ... a_n не лежит ни в одном из I_i --- противоречие.

ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение 2 эквивалентно утверждению, что если ассоциативное кольцо представлено в виде объединения конечного семейства двусторонних идеалов, то из этого семейства можно выкинуть все простые идеалы.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2'. Пусть S --- подкольцо ассоциативного кольца R, а I_1, ..., I_n --- конечное семейство двусторонних идеалов кольца R, объединение которых содержит S. Тогда S содержится в объединении тех из I_i, которые не являются простыми идеалами, не содержащими S.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим утверждение 2 к семейству I_1 \cap S, ..., I_n \cap S двусторонних идеалов кольца S.

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_avoidance_lemma

upd. 2024-09-24 22.19 MSK. Подкорректировал текст.