Лемма о трубке
Когда-то сделал такое наблюдение из простой теоретико-множественной комбинаторики, которое можно назвать ``леммой о трубке''.

Пусть (X_i | i \in I) --- семейство множеств, \prod_{i \in I} Y_i --- подпроизведение в \prod_{i \in I} X_i, а (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A) --- семейство подпроизведений в \prod_{i \in I} X_i, покрывающее \prod_{i \in I} Y_i.

Для каждой точки y_i в Y_i определим множество V_{y_i} как пересечение всех U_{i,a}, которые содержат y_i.

Для каждого i в I определим V_i как объединение V_{y_i} по всем y_i в Y_i.

Тогда \prod_{i \in I} V_i содержит \prod_{i \in I} Y_i и покрывается семейством (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A).

Надеюсь, что не ошибся. Единственное, что если какой-то из декартовых сомножителей пустой, то произведения могут вести себя странно и могут возникнуть проблемы. А могут и не возникнуть, не проверял.

По какому поводу это.

Пусть множества X_i --- это топологические пространства, Y_i --- их подмножества, а (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A) --- конечное покрытие \prod_{i \in I} Y_i базовыми открытыми множествами. Тогда, даже если множества Y_i бесконечны, то все V_i являются конечными объединениями конечных пересечений открытых множеств и потому открыты. То есть \prod_{i \in I} V_i --- базовая открытая окрестность \prod_{i \in I} Y_i, которая покрывается семейством (\prod_{i \in I} U_{i,a} | a \in A).

Это позволяет рассматривать теорему 3.5.6 из книги Topology and Groupoids by Ronald Brown ([1], [2], Version corrected January 20, 2020 by Taras Kolomatski, дата обр. 05.10.2024), формулировка которой звучит так:

``Let B, C be compact subsets of X, Y respectively, and let W be a cover of B \times C by sets open in X \times Y. Then B, C have open neighbourhoods U, V respectively such that U \times V is covered by a finite number of sets of W''

как следствие теоремы о компактности произведения компактных множеств B и C, которая намного стандартнее и благозвучнее. Делается это так: представляем каждый из элементов W как объединение базовых открытых множеств в X \times Y, выбираем из получившегося открытого покрытия множества B \times C конечное подпокрытие и применяем лемму о трубке.

Таким образом, например, утверждение, что у двух дизъюнктных компактных подмножеств хаусдорфова топологического пространства есть дизъюнктные открытые окрестности (3.5.6 (Corollary 3) в [1]) можно рассматривать как следствие теоремы о компактности произведения двух компактных топологических пространств.

[1]: http://www.groupoids.org.uk/pdffiles/topgrpds-e.pdf
[2]: http://www.groupoids.org.uk/topgpds.html

Tags: math