[О чувствах говорить нехорошо, ну ладно. Пусть U --- множество, X --- подмножество U, а (U_i | i \in I) --- покрытие X подмножествами U. Для каждого x \in X определим множество U'_x как пересечение всех U_i, которые содержат x. Определим U' как объединение U'_x по всем x \in X. Тогда это U' можно описать и другим образом --- это пересечение по всем J \subset I, таким что (U_i | i \in J) покрывает X, множеств \bigcup_{i \in J} U_i. Если не ошибся. Так вот, что-то в этом факте есть примечательное и странное. Непонятно что, но просто зафиксирую ощущение.]

Если X представлено в виде объединения подмножеств X_k, k \in K, то (U_i | i \in I) является покрытием и для X_k для любого k \in K, и U' является объединением соответствующих множеств \bigcup_{x \in X_k} U'_x. Интересно, можно ли доказать этот факт абстрактно, для решёток, удовлетворяющих каким-то свойствам.

Похоже, следует из бесконечной дистрибутивности. Ладно, проехали.