Если X представлено в виде объединения подмножеств X_k, k \in K, то (U_i | i \in I) является покрытием и для X_k для любого k \in K, и U' является объединением соответствующих множеств \bigcup_{x \in X_k} U'_x. Интересно, можно ли доказать этот факт абстрактно, для решёток, удовлетворяющих каким-то свойствам.

Похоже, следует из бесконечной дистрибутивности. Ладно, проехали.