Радикал Джекобсона кольцоида
Есть один вопрос, который давно интересует, но ответа на который не знаю.
Пусть R --- кольцоид, то есть Ab-обогащённая категория. Пусть x и y --- морфизмы в R, такие что область x совпадает с кообластью y, а область y совпадает с кообластью x. Тогда, кажется, обратимость 1 - xy эквивалентна обратимости 1 - yx, а именно, (1 - xy)^{-1} = 1 + x(1 - yx)^{-1}y, где через 1 обозначаются тождественные морфизмы. Это проверяется непосредственно, а догадаться можно так:
(1 - xy)^{-1} = 1 + xy + xyxy + xyxyxy + ...
(1 - yx)^{-1} = 1 + yx + yxyx + yxyxyx + ...
[Узнал об этом, кстати, из книги "Конкретная теория колец" Н. Вавилова, параграф 2 (Рациональные тождества), стр. 26 из 139.]
Так вот, интересно, есть ли какой-то способ превратить это "эвристическое соображение" в строгое доказательство?
С помощью данного утверждения можно проверить, что множество {x \in Ar(R) | для любого y \in Ar(R), такого что dom(y) = cod(x) и cod(y) = dom(x) морфизм 1 - yx двусторонне обратим} является "двусторонним идеалом" в R, который можно назвать "радикалом Джекобсона" R. Кажется.
Ну и для обычных ассоциативных унитальных колец радикал Джекобсона совпадает с пересечением аннуляторов простых модулей и с пересечением максимальных левых (или правых) идеалов, а для кольцоидов есть аналогичные характеризации?

Tags: math