Теорема Тихонова
Вот тут:
https://ncatlab.org/nlab/show/closed-projection+characterization+of+compactness
содержится доказательство теоремы Тихонова. Но оно использует трансфинитную индукцию, а это как-то неуютно. Однако, кажется, её можно легко заменить леммой Цорна:

\begin{theorem}
\label{thm:closed-proj}
Пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда для любого пространства $Y$ проекция $p: X \times Y \to Y$ переводит замкнутые подмножества в замкнутые.
\end{theorem}

\begin{lemma}
\label{lem:comp-prod}
Пусть $S \subset (\prod_{i \in I} X_i) \ni s$, $s_F \in \overline{S_F}$ для любого конечного $F \subset I$, где $X_i$ --- топологические пространства, $s_F$ и $S_F$ --- проекции $s$ и $S$ на $\prod_{i \in F} X_i$. Тогда $s \in \overline{S}$.
\end{lemma}

\begin{lemma}
\label{lem:im-closed}
При непрерывном отображении образ замыкания содержится в замыкании образа.
\end{lemma}

\begin{theorem}
Произведение компактных топологических пространств $X_i$, $i \in I$ компактно.
\end{theorem}

\begin{proof}[Набросок доказательства]
Пусть $Y$ --- произвольное топологическое пространство, $S \subset (\prod_{i \in I} X_i) \times Y$, а $S_J \subset (\prod_{i \in J} X_i) \times Y$ для $J \subset I$ --- проекции $S$. Согласно теореме \ref{thm:closed-proj} нужно доказать, что у любого $s \in \overline{S_\varnothing}$ есть прообраз в $\overline{S}=\overline{S_I}$. Применим лемму Цорна к $\bigcup_{J \subset I} \overline{S_J}$, где $s \succ w$ $\iff$ $s$ проецируется на $w$. Линейно упорядоченное множество $w_i \in \overline{S_{J_i}}$ очевидным образом определяет $w \in (\prod_{j \in \cup J_i} X_j) \times Y$, леммы \ref{lem:comp-prod} и \ref{lem:im-closed} показывают, что $w \in \overline{S_{\cup J_i}}$. Если $w \in \overline{S_J}$ --- максимальный, то $J=I$, иначе $w$ можно поднять в $\overline{S_{J \cup \{j\}}}$, где $j \in I \setminus J$.
\end{proof}

upd. 08.08.2019 10:45 Мск