Ориентированные симплексы
Ничего не знаю, но интересуюсь элементарными математическими вещами.

Некоторые тексты: https://mega.nz/#F!LyglUAAT!K4eIT3HGnARicCLOzbjHsQ

Ориентированные симплексы.

Всегда смущало идиотское (но полезное?) определение ориентированного симплекса, использующее нумерацию вершин, и соответствующее определение его границы. Попытался дать инвариантное определение с помощью индукции.

Идея состоит в том, чтобы отождествить ориентированный симплекс с его границей.

Ориентированный 0-симплекс --- это точка с навешанным числом +1 или -1.
Ориентированный 1-симплекс --- это пара точек, на одну из которых навешано +1, а на другую --- -1.
И так далее.

Будем использовать не только +1 и -1, а любые целые числа.

Назовём симплексом конечное множество, а его подсимплексами --- подмножества. Для каждого симплекса $a$ определим абелеву группу $C_a$ и оператор границы: это ядро $\oplus C_b \to \oplus C_c$, где $b$ --- максимальные подсимплексы $a$, $c$ --- максимальные подсимплексы $b$ (каждый $c$ берётся по одному разу), а отображение является суммой (определённых ранее по индукции) операторов границы.
Для пустого множества абелева группа выбирается произвольно, для универсальности возьмём целые числа, а граница --- это нулевое отображение в ноль (пустую сумму).

Кажется, автоматически работает и для кубов.
Зачем нужно --- не знаю, просто одержим инвариантностью. А так, кажется довольно изящным и вполне в тавтологическом духе гомологий.