Солнечные водонагреватели
Почему солнечные водонагреватели используются в мастштабе отедельных домов, но, кажется, не в большем масштабе? Что мешает, скажем, сначала нагревать воду на солнышке, а потом отправлять в ТЭС(/АЭС?)? Или в центральном отоплении, я не знаю.

Покрытия локализациями
UPD 2024-03-18 21.34 MSK. Похоже, вопрос закрыт (см. комментарии).

Вопрос

В лекции 7 Д. Каледина из курса, доступного по ссылке [1], в лемме 7.13 есть некое рассуждение.

Чуть обобщённое (быть может, неправильно), мне кажется, оно доказывает следующее.

Утверждение.
Пусть M --- модуль над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом A, а (S_i)_{i \in I} --- семейство мультипликативных подмножеств A, такое что множества \Spec(A_{S_i}) покрывают множество \Spec(A).
Тогда последовательность как в определении пучка
0 \to M \to
\bigoplus_{i \in I} M_{S_i}
\to
\bigoplus_{(i,j) \in I \times I}
M_{S_i S_j}
точна.

Рассуждение такое. Для произвольного e \in I мы применяем к нашей последовательности функтор локализации по S_e и замечаем, что получившаяся последовательность точна по тривиальным причинам. Отсюда, в свою очередь, следует, что исходная последовательность точна.

...

Но в это как-то трудно поверить. Обычно когда схемы определяют, такое (похожее) утверждение доказывают в предположении конечности I. Неужели это утверждение реально верно в такой общности и рассуждение работает? Ощущение, что я что-то напутал.

[1]: https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html

Tags: math

http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
Для личного пользования собрал все листочки и слайды курса по теории Галуа со страницы [1] в один PDF файл.

Сам PDF (0.7 MB): [2].
ZIP архив с исходниками (0.9 MB): [3].

[1]: http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
[2]: https://files.catbox.moe/ntzne3.pdf
[3]: https://files.catbox.moe/2q5koa.zip

Tags: math

Интересно, можно ли создать E Ink доску для показа слайдов. Может быть, из блоков составить, не знаю. Может быть, будет приятнее для глаза, чем экран, и свет выключать не надо будет, но, опять же, не знаю.

Теорема Гамильтона-Кэли
Одно из стандартных доказательств теоремы Гамильтона-Кэли, переписанное чуть другими словами. Надеюсь, не напортачил.

Код LaTeX

\begin{theorem}[\scshape Теорема Гамильтона-Кэли]
\label{thm:Cayley-Hamilton}
Если \(x\) --- эндоморфизм свободного конечнопорождённого модуля \(V\) над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом \(A\), то \(x\) является корнем своего характеристического многочлена.
\end{theorem}

\begin{proof}
Гомоморфизм \(A[X] \to \End_A(V)\), \(X \mapsto x\) индуцирует действие \(\End_A(V) \otimes_A A[X]\) на \(\End_A(V)\) через левое и правое умножение,
при этом \(\Id_V\) зануляется \(c \coloneqq x \otimes 1 - 1 \otimes X\), а потому зануляется и \(\det(c) \in A[X] \subset \End_A(V) \otimes_A A[X] \cong \End_{A[X]}(V \otimes_A A[X])\), кратным \(c\).
\end{proof}

Скриншот PDF (jpeg, примерно 0.4 MB):
https://files.catbox.moe/1zm5qe.jpeg

upd. 2024-02-19 13.33 MSK. Мелкие изменения.

Tags: math

Задача
Задача для себя на будущее: найти бескоординатное доказательство того, что коэффициенты характеристического многочлена оператора --- это следы его внешних степеней со знаками.

Tags: math

\hookrightarrow
Насколько же в LaTeX-е криво сделано сочленение с хвостом у дефолтной стрелки \hookrightarrow. Какая-то невероятная халтура. Про то, что дефолтная стрелка \twoheadrightarrow меньше чем надо --- вообще молчу. Это дело вообще кто-то планирует исправлять?

P.S. Забавный факт --- кончики стандартных стрелок в tikz-cd слегка отличаются от тех, что в тексте.

Tags: tex

Кто-нибудь может привести точную ссылку на какую-нибудь цитату Уильяма Ловера, где он говорит, что название "comma category" ему не нравится?

upd. 2024-02-15 23.42 MSK. Нашёл, см. комментарии.

Tags: math

[Ниже философская графомания, ценящим время и мозги читать не рекомендуется.]

Есть такое понятие --- распределитель/бимодуль/профунктор/бифунктор..., вот: [1], [2].

Будем понимать это дело как категорию над стрелкой (то есть с функтором в стрелку), слой над 0 назовём областью, слой над 1 --- кообластью. Цилиндр функтора и коцилиндр функтора превращают функтор в распределитель.

Будем называть распределитель A \to B финальным справа, если для любого a \in A категория стрелок вида a \to b, где b \in B, связна. Цилиндры финальны справа, ясно дело.

Пусть C --- категория. Мы можем рассмотреть категорию диаграмм такого вида: объекты --- это функторы f : I \to C, а морфизмами из f : I \to C в g : J \to C являются пары из финального справа распределителя из I в J и продолжения функторов f и g на этот распределитель. Это типа расширение обычной категории диаграмм, в которой морфизмы --- это пары из функтора и естественного преобразования.

Так вот, вроде бы копределы функториальны по расширенной категории диаграмм в таком смысле.

О чём это? Да ни о чём. Прелюдия к
Адская спекуляция: все эти штуки с распределителями --- это очень слабое указание на то, что существует какая-то парадигма, следующая после категорной.
Чувство дискомфорта какое-то возникает, как когда ты видишь, что объект недостаточно симметричный, а поправить когерентно сходу не можешь. Должно же оно быть чем-то оправдано.

P. S. Присобачу до кучи малосвязанное (?), всё равно философия:
Две конструкции шифификации похожи на "конструкцию через предел копределов" (через сечения пространства ростков) и "конструкцию через копредел пределов" (конструкция по измельчающимся покрытиям). Ясно (?), что тут морфизм перестановки копределов и пределов присутствует, но формально его вроде нет.

[1]: https://ncatlab.org/joyalscatlab/show/Distributors+and+barrels
[2]: https://ncatlab.org/nlab/show/profunctor

Tags: math, неважное

Праздный вопрос: у вложения категории (малых) абелевых категорий в категорию (малых) категорий есть левый сопряжённый функтор?

Tags: math, неважное

Мелкое замечание про аддитивные категории
Сейчас будет короткий поток сознания.

Похоже, преаддитивная категория аддитивна тогда и только тогда, когда квадрат ассоциативности кодиагонали декартов.
Потому что, наверное, моноид в категории является группой тогда и только тогда, когда его квадрат ассоциативности декартов, смотри [1].
Предупреждение: это запросто может быть и неверным, я подробно не проверял.

Но условие декартовости квадрата ассоциативности кодиагонали имеет смысл и без требования преаддитивности. Интересно, в других контекстах оно где-нибудь встречалось?

[1] https://twitter.com/CihanPostsThms/status/1656363838713786385

Tags: math, неважное

Предаддитивные категории
Кажется, что предаддитивная категория в смысле раздела 1.3 статьи [1] --- это то же самое, что категория, в которой конечные произведения и копроизведения существуют и коммутируют друг с другом. Предупреждение: может это и неверно, я подробно не проверял.

С другой стороны, стандартный морфизм из коядра ядра в ядро коядра как-то смутно смахивает чисто по формулировке на морфизм перестановки пределов. Интересно, нет ли тут какой-то связи тоже.

[1]: https://arxiv.org/abs/2112.02155

Tags: math

Пустой предел
Пример пустого предела, несколько раз упоминавшийся на LJR, например, по ссылке [1], записан в The Stacks project, по ссылке [2]. А там ссылка на статью 1972 года некоего Уильяма Уотерхауса. Наверное, можно называть это "контрпример Уотерхауса", если хочется дать какое-то именное название.

[1] http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1761692.html?thread=106418588#t106418588
[2] https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AKK

Tags: math

Некоторые обозначения в TeX
Для точки в комплексах работающее решение изложено тут:
https://tex.stackexchange.com/a/424252
Мне нравится \bigcdot@scalefactor 0.7 и \bigcdot@widthfactor 1.5.
Фактор 0.7 уменьшает площадь примерно в 2 раза, а фактор 1.5 делает выражения типа A^{\bigcdot + 1} выглядящими адекватно.

Образ множества X относительно отображения x \mapsto x^\lambda можно обозначать через X^{:\lambda}.
Обозначение странноватое, но, кажется, беспроблемное.
Это позволяет вместо ужасающего обозначения R^2 для множества квадратов элементов R писать R^{:2}.

Наконец, есть идея для "категории запятой" (комма-категории, англ. comma category) пары функторов
f: C \to S и g: E \to S использовать обозначение
C \tensor*[^f]{\lsqdiv}{^g_S} E (индексы можно опускать),
где \lsqdiv определяется так:
\newcommand{\lsqdiv}{%
\mathbin{\smash{\mkern4.5mu\mathclap{\rfloor}\mkern1mu\mathclap{\lceil}\mkern4.5mu}}}
Это "квадратный слэш", полученный склеиванием \rfloor и \lceil вдоль вертикальной линии.
Склеивание --- это колхоз, но такого символа в стандартном шрифте, вроде, нет, а тут оно выглядит не сильно вырвиглазно.
Кстати, кто-нибудь может сказать, как этот символ называется хоть где-то?

Tags: tex, неважное

Скомпилировал в один PDF записки лекций Д. Каледина по алгебраической геометрии отсюда:
https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html
Сделано для предполагаемого личного пользования в далёком-далёком будущем, но, наверное, если выложу, то вреда не будет.

TeX (XeLaTeX): https://files.catbox.moe/bp80g3.tex
PDF: https://files.catbox.moe/mkazp0.pdf

Tags: math

Лемма Адамара и лемма Морса
Читал самый начальный кусок лекций
https://old.mccme.ru/ium//s05/trivium.html
и возникли сомнения в доказательствах из лекции 3, скажем, в доказательстве предложения 1.4 почему $D(f - f') = 0$ на $W$.
Набросал альтернативное доказательство:
https://files.catbox.moe/4grju1.pdf
Возможно, выглядит громоздко, и, возможно, неверно, не знаю. Много пропусков. Как бы то ни было.

Tags: math

Сечения Дедекинда и кольцо Гротендика
Определим сечение Дедекинда как непустое собственное открытое замкнутое вправо подмножество \Q.
Сложение определим как поточечное сложение подмножеств, порядок --- через порядок на подмножествах.
Проведём, возможно, немного нетривиальную проверку, что у каждого сечения есть аддитивно обратное сечение.
Определим умножение неотрицательных сечений как поточечное умножение подмножеств.
Легко видеть, что неотрицательные сечения образуют полукольцо.
Теперь заметим, что кольцо Гротендика полукольца неотрицательных сечений можно отождествить с множеством всех сечений. Таким образом, умножение получается автоматически.
В итоге, по сути, нам нужно провести две проверки, одну --- в начале, другую --- в конце:
1. Наличие аддитивно обратных для всех сечений.
2. Наличие мультипликативно обратных для строго положительных сечений.

Если конечно, ничего не напутал, детали не проверял.

UPD. 2023-08-29 14.31 MSK
В общем-то это очередной бессодержательный пост, единственный смысл которого в том, что я чуть-чуть лучше разобрался в сечениях Дедекинда. Надо завязывать.

Tags: math

Блокада Нагорного Карабаха продолжается и стала почти полной.

Current Mood: sad

Уравнения Эйлера-Лагранжа
sometimes
>уравнения Эйлера-Лагранжа можно
>написать в бескоординатной форме, но они выглядят намного более громоздко
>(и обычно их никто в такой форме не видел)
Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147152476#t147152476

sometimes
>Показательно, например, что даже уравнения Эйлера-Лагранжа (не говоря о теореме Нетер) нигде в монографиях не пишут инвариантно, все в координатах; в статьях инвариантную формулировку можно найти, и она довольно громоздка.
Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147483740#t147483740

polytheme
>я повторяю, сам не смотрел - но из интересного там могло бы быть инвариантное изложение уравнений Лагранжа
Source: http://lj.rossia.org/users/polytheme/251035.html?thread=1132187#t1132187

Вообще никаких более-менее учебных текстов нет, где с этой "инвариантной формулировкой уравнений Эйлера-Лагранжа" можно ознакомиться?

Tags: math

Без применения алгебраической геометрии
В предисловии к книге <<Введение в теорию алгебр Ли и их представлений>> Хамфри/Хамфрис пишет:
<<Теорема сопряжённости для картановских подалгебр доказывается (следуя Уинтеру и Мостову) элементарными методами теории алгебр Ли без применения алгебраической геометрии.>>.
Но в лемме А из пункта 15.2 (<<Подалгебры Энгеля>>) по сути используется алгебраическая геометрия. Очень очень примитивная, конечно, но.
Это применение АГ похоже на применение АГ в дополнении к параграфу 23.

Tags: math