Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет azrt ([info]azrt)
@ 2017-12-02 01:22:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Группа Брауэра и расширения полей II. Вопрос 1.
Давайте теперь обсудим Вопрос 1 из моего предыдущего поста . А именно, я приведу пример поля k и гладкой, геометрически целой, собственной схемы Х, такой что отображение Br(X) \to Br(X \otimes_k \bar k) не инъективно. Мой пример будет не совсем явным, а опираться на пример Мамфорда гладкой, проективной поверхности с неприведённой схемой Пикара. Я этот пример не разбирал, надеюсь, что Мамфорд доказал существование такой поверхности для произвольного поля. По крайней мере я буду предполагать, что для любого поля k положительной характеристики существует гладкая, геометрически целая, проективная поверхность X, такая что Pic_{X/k} не является приведённой.

Давайте начнём строить пример. Выберем поля k таким образом, чтобы оно было сепарабельно-замкнутым полем характеристики p и группа k^*/(k^*)^p была бесконечной. Например, подойдёт сепарабельное замыкание F_p(T). Теперь зафиксируем поверхность Мамфорда X над выбранным полем k. Я утверждаю, что отображение Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) не является инъективным.

Давайте потихоньку изучать ситуацию. Для начала напишем спектальную последовательно Лерэ-Серра для отображения f:X --> Spec k:

E_{2}^{p,q}=H^p_{fl}(k, R^qf_* G_m) => H^{p+q}_{fl}(X, G_m).

Теперь мы хотим доказать, что достаточно много членов в этой спектралке зануляется, чтобы мы могли вытащить какую-нибудь полезную информацию.

Шаг 1: E_2^{p,0}=H^p_{fl}(k,f_*G_m) зануляется при p>0. Во-первых, из геометрической целости X следует, что f_* G_m=G_m. Таким образом, H^p_{fl}(k,f_*G_m)=H^p_{fl}(k,G_m). Теперь применим теорему Гротендика , чтобы получить H^p_{fl}(k,G_m)=H^p_{et}(k,G_m). Но этальные когомологии сепарабельно-замкнутого поля нулевые с коэффициентами в любом пучке! Поэтому E_2^{p,0}=0 при p>0. (Далее мы часто будем использовать аргументы такого типа, иногда опуская часть деталей)

Шаг 2: Из Шага 1 следует, что E_2^{1,1}=E_{\infty}^{1,1}, потому что ему не с чем сократиться. А так как E_{\infty}^{2,0}=E_{2}^{2,0}=0, мы заключаем, что у нас имеется инъективное отображение E_{2}^{1,1} \to H^2(X,G_m) (так как спектралка сходится к H^{p+q}_{fl}(X,G_m)). Подставляя значение E_2^{1,1} получаем инъективное отображение H^1_{fl}(k, R^1f_*G_m) --> Br(X). Более того, R^1f_*G_m=Pic_{X/k} примерно по определению функтора Pic_{X/k}. Таким образом, имеем инъективное отображение H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) \to Br(X).

Шаг 3: Из Шага 1 также следует, что E_{\infty}^{0,2}=E_{3}^{0,2}.

Распишем теперь E_3^{0,2} по определению

E_3^{0,2}=ker (d:E_2^{0,2} --> E_2^{1,1})=
=ker(d:H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, R^1f_*G_m))=
=ker(d:H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k}))

Шаг 4: Опять же из Шага 1 следует, что E_{\infty}^{3,0}=0, поэтому общая теория спектральных последовательностей говорит нам, что у нас есть точная последовательность

0 --> E_{\infty}^{1,1} --> H^2_{fl}(X, G_m) --> E_{\infty}^{0,2} --> 0.

Подставляем сюда результаты Шагов 2 и 3 и получаем следующую точную последовательность.

0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> ker(H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k})) -->0.

Или, переписывая чуть красивее, видим следующую точную последовательность:

0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k}) (*)

Теперь давайте попробуем посчитать H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m). Обозначим X':=X\otimes_k \bar k и X'':=X\otimes_k (\bar k \otimes_k \bar k). Так как любое покрытие в плоской топологии U \to Spec k доминируется покрытием \Spec \bar k \to Spec k (теорема Гильберта о нулях), то R^2f_*G_m(Spec \bar k)=H^2_{fl}(X',G_m)=Br(X') (тонкость в том, что в определении R^2f_* участвует пучковизация. Априори это довольно загадочный функтор, но в нашем случае теорема Гильберта о нулях позволяет нам посчитать R^2f_* довольно явно). Сказав все эти слова, мы посчитаем H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m), применив определение пучка к плоскому покрытию Spec \bar k \to Spec k. А именно,

H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m)=ker(R^2f_*G_m(Spec \bar k) --> R^2f_*G_m(Spec \bar k \otimes_k \bar k))=ker(H^2_{fl}(X', G_m) -->H^2_{fl}(X'',G_m))=ker(Br(X') --> Br(X'')).

Подставим теперь это в точную последовательность (*) и прокомпонируем с естественным пложением ker(Br(X') --> Br(X'')) в Br(X'), чтобы получить точную последовательность

0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> Br(X')


Давайте поймём что мы тут уже понадоказывали про Br(X) \to Br(X'). А мы уже "посчитали" интересующее нас ядро отображения Br(X) --> Br(X'), и оно равно H^1_{fl}(k, Pic_{X/k})!

Наблюдение: Сейчас мы легко можем заключить, что Br(X) --> Br(X') инъективно, если Pic_{X/k} есть гладкая схема. Воспользуемся опять теоремой Гротендика, чтобы сказать, что H^1_{fl}(k,Pic_{X/k})=H^1_{et}(k,Pic_{X/k})=0 в силу сепарабельной замкнутости k. Таким образом, вся наша беда действительно сосредоточена в негладкости схемы Pic_{X/k}.

Нам осталось посчитать H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}). Это будем довольно большая серия редукций, в итоге все сведётся к когомологиям \mu_{p^n} и \alpha_{p}. Давайте попорядку, в Pic_{X/k} мы можем выделить связную компоненту единицы Pic^0_{X/k}, фактор по которой будет этальная группа NS_{X/k}.

0 --> Pic^0_{X/k} --> Pic_{X/k} --> NS_{X/k} --> 0 (**)

В SGA 6 доказана довольно нетривиальная теорема о том, что NS всегда является конечно-порождённой группой. Помимо этого, она этальна, в частности, гладкая. А значит, что
H^1_{fl}(k, NS_{X/k})=H^1_{et}(k, NS_{X/k})=0. Напишем теперь длинную точную последовать, ассоциированную с (**), чтобы получить точную последовательность:

NS_{X/k}(k) --> H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k}) --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> 0

Замечаем, что так как NS_{X/k}(k) конечно-порождена, то для доказательства нетривиальности H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) достаточно доказать, что абелева группа H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k}) не является конечно-порождённой. Теперь ключевой момент, нам нужно воспользоваться следующей леммой.

Лемма: Пусть G -- собственная коммутативная связная групповая схема над полем k, тогда G_red является гладкой собственной замкнутой подгруппой в G.
Замечание: Эта Лемма совершенно нетривиальна и удивительна! Конечно, она тривиальна над совершенными полями, но над несовершенными полями она абсолютно нетривиальна и неверна без предположения собственности. Существуют примеры, когда G_red не является подгруппой или не является гладкой. Я не знаю никакой ссылки на этот факт, вероятно, я его докажу в отдельном посту.

Воспользуемся этой леммой, и напишем следующую короткую точную последовательность:

0 --> Pic^0_{X/k}_{red} --> Pic^0_{X/k} --> I -->0

Заметим, что из гладкости Pic^0_{X/k}_{red} следует зануление H^i_{fl}(k, Pic^0_{X/k}_{red}) при i>0 (опять теорема Гротендика). Поэтому H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k})=H^1_{fl}(k,I).

Давайте поймём, что мы знаем про I. Во-первых, I является конечной групповой схемой в силу квази-компактности схемы Pic^0_{X/k} (любая связная групповая схема над полем квази-компактна, несложный факт). Во-вторых, она является связной коммутативной групповой схемой в силу связности и коммутативности Pic^0_{X/k}. В сумме, I является конечной коммутативной групповой схемой, поэтому мы можем изучать её с помощью стандартных способов в духе двойственности Картье и local-'etale точных последовательностей. (См. Лекции Pink'a для определений и доказательств основных теорем теории конечных коммутативных групповых схем) Рассмотрим групповую схему D(I), которая является двойственной по Картье к I. Для неё существует local-etale короткая точная последовательность

0 --> D(I)^0 --> D(I) --> D(I)^{et} --> 0

Перейдя обратно к двойственным по Картье, получаем точную последовательность:

0 --> D(D(I)^{et}) --> I --> D(D(I)^0) --> 0.

Отметим, что из сепарабельной замкнутости k следует, что все этальные коммутативные конечные группы -- постоянны, то есть равны произведению различных Z/NZ. Картье-двойственная группа к Z/NZ есть \mu_N. Отсюда следует, что A:=D(D(I)^{et})=\prod_N \mu_{N}^{m_N}. Но также мы знаем, что I локальная группа, поэтому и все подгруппы должны быть такими, следовательно, все подгруппы \mu_N, встречающиеся в A, должны быть локальными. Но конечная группа \mu_N является локальной только в случае N=p^k для некоторого натурального числа k. Заключаем, что A=\prod_k \mu_{p^k}^{m_k}.

Докажем, что если A есть нетривиальная схема, то H^1_{fl}(k,I) не конечно-порождённая группа. Обозначим D(D(I)^0) за B. Мы имеем короткую точную последовательность

0 --> A --> I --> B --> 0 (***)

Так как A, I и B являются локальными групповыми схемами, то A(k)=I(k)=B(k)={0}. Откуда следует, что написав длинную точную последовательность когомологий, ассоциированную с (***), получаем точную последовательность

0 --> H^1_{fl}(k,A) --> H^1_{fl}(k, I) --> H^1_{fl} (B) --> H^2_{fl}(k, A).

В частности, H^1_{fl}(k,A) вкладывается в H^1_{fl}(k,I). Вспомним, что A есть произведение групп вида \mu_{p^k}, а значит, что нам достаточно доказать, что H^1_{fl}(k,\mu_{p^k}) не является конечно-порождённой группой, чтобы заключить такое же следствие для A. В плоской топологии мы имеем точную последовательность Куммера

0 --> \mu_{p^n} --> G_m --> G_m --> 0

Применяю вездесущую теорему Гротендика, мы видим из длинной точной последовательности когомологий, что H^1(k, \mu_{p^n})=k^*/(k^*)^{p^n}. Но по предположению на наше базовое поле k, группа k^*/(k^*)^{p} бесконечна. Следовательно, и группа k^*/{k^*}^{p^n} является бесконечной. Кроме того, это группа кручения, поэтому из бесконечности следует, что эта группа не конечно-порождена. То есть, если A не равно нулю, то H^1_{fl}(k,A) вкладывается в H^1_{fl}(k, I) и мы победили!

Теперь пусть A=0. В этом случае I=B=(D(I)^0) есть нетривиальная группа. Этот случай самый сложный, но давайте проанализируем и его. B является локальной конечной коммутативной групповой схемой (так как B изоморфна I). С другой стороны, Картье двойственная к ней является также локальной. Классификация конечных коммутативных групповых схем говорит нам, что в этом случае операторы Фробениуса F и Фершибунга V нильпотентны на B (См. Prop. 15.6 в записка Pink'a). Профильтруем B по ядрам степеней F и V, чтобы предполагать, что B является последовательным расширением групп, на которых F и V действуют нулём. Обозначим эту фильтрацию за

0\subset B_{n+1} \subset B_{n} \subset B_{n-1} \subset ... \subset B_0=B.

Классификация конечных коммутативных групповых схем c F=0 и V=0 говорит, что (B_i/B_{i+1}) изоморфно групповой схеме \alpha_{p}^{m_i} (См. Prop. 16.2 в записках Pink'a). Уплотним нашу фильтрацию, чтобы предполагать, что B_i/B_{i+1}=\alpha_p.

Схоже с тем, что мы делали в случае нетривиальной подсхемы A, мы можем показать, что H^1_{fl}(k, B_n) вкладывается в H^1_{fl}(k, B) (мы используем, что все группы B_i и все их факторы являются локальными). То есть нам достаточно показать, что H^1_{fl}(k, \alpha_p) не является конечно-порождённой группой. Для этого рассмотрим короткую точную последовательность Артина-Шрайера

0 --> \alpha_p --> G_a --> G_a -->0

Точно такой же аргумент, как в случае короткой точной последовательности Куммера, показывает, что H^1_{fl}(k, \alpha_p)=k/k^p (фактор как аддитивной группы). Теперь выберем базис {e_i} векторного пространства k над полем k^p, то есть k=\osum_{i\geq 0} e_i*k^p. Не нарушая общности, можно считать, что e_0=1, тогда k/k^p\subset \osum_{i>0} e_i*k^p. То есть фактор содержит как минимум одну копию k^p. Из несепарабельности k заключаем, что k не конечно, то есть k/k^p --бесконечная группа, но она ещё и группа кручения, так как char k =p. А значит, что k/k^p не конечно-порождена! Победа!

Суммируя всё сказанное выше, мы показали, что H^1_{fl}(k, I) не конечно-порождённая группа. А значит, H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) является нетривиальной группой, как было объяснено выше. То есть Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) действительно имеет нетривиальное ядро!


(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2017-12-02 12:28 (ссылка)
чувак! ты бы убрал всё это dx/dt под кат - и всем было бы хорошо.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 14:59 (ссылка)
Это шифровка. Публикуется в публичных но всегда разных источниках, Адресат проверяет по безобидной сигнатуре типа "Лерэ-Серра для отображения" через поисковик сам факт наличия шифровки - и расшифровывает по плавающей маске.
В разных судах над террористами давно доказано такое вот использование прессы, в газетных объявлениях, в блогах и даже на 4chan.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2017-12-02 15:13 (ссылка)
Плохая идея для шифровки - привлекает много внимания. Для стеганографии лучше использовать безобидные картинки с котиками, посредством которых кодировать информацию. Например: два черных котика подряд = завтра день X.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sadkov
2017-12-02 15:19 (ссылка)
define "\infty" или быдло.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 18:46 (ссылка)
спешите видеть - неосилятор матлогики в треде

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2017-12-02 18:50 (ссылка)
Can you imagine a “physical process” whose outcome could depend on whether there’s a set larger than the set of integers but smaller than the set of real numbers? If so, what would it look like? -- Scott Aaronson

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 19:54 (ссылка)
0. он должен быть похож на что-то связанное с фундаментальными взаимодействиями и переходом энергий из одного типа взаимодействий в другой, вернее: такой объект (множество промежуточной мощности) может использоваться в модели такого процесса
1. если не можешь представить, то это не значит, что его нет
2. в таком "воображаемом процессе" и нет необходимости для полноценного и полезного для народного хозяйства развития и использования математики
3. этот вопрос (континуум гипотеза) не имеет особого практического значения и внутри математики
4. вне зависимости от ответа на этот вопрос, ипользование абстракции "бесконечности" не перестает быть естественным и оправданным

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 20:39 (ссылка)
>4. вне зависимости от ответа на этот вопрос, ипользование абстракции "бесконечности" не перестает быть естественным и оправданным

с точностью до наоборот-не перестает быть неестественным и неоправдвным источником парадоксов(читай глупостей) формальных систем таких как теория множеств и теория типов(взаимодействий ха-ха)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 20:46 (ссылка)
это проблемы оснований математики - к математике они имеют отношение очень посредственное

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 20:57 (ссылка)
ну тогда твоя "математика" не наука а религия "бесконечности".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 21:50 (ссылка)
ну тогда науки вообще нет
"физика" не наука не наука а религия "стандартной модели"

в масштабах истории наук все эти проблемы и временные кризисы всего лишь локальный затык, а не фундаментальное ограничение методологии

по крайней мере до тех пор, пока не доказано обратное

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 22:55 (ссылка)
стандартная модель это формальная система -попытка реализации программы гильберта математика-формалиста(6)
то есть вещь наивная и устаревшая в эпоху конструктивизма

>доказано обратное
семантика доказуемости не сильно отличается от семантики истины в контексте оснований-парадокс лжеца(доказывателя),
сентенции типа "доказать несуществование доказательств ..." и их экспоненцирование и т.д. и т.п. (безнадёжная "высокоинтеллектуальная" билиберда высокого логического порядка )

а в контексте физики ни то не другое не имеет смысла вообще

физика -основание математики

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2017-12-02 21:52 (ссылка)
конечно, не религия
понятие бога невозможно получить интуитивно как понятие бесконечности
а уж о формальных построениях вообще говорить не приходится

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2017-12-02 20:48 (ссылка)
1. использование чисел оправдано
2. арифметика натуральных чисел естественным образом приводит к той или иной абстракции бесконечности

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 21:01 (ссылка)
1 бесспорно
2 опять же не естественно а как аксиома с проблемой непротиворечивости(неразрешимой в рамках фармальных(аксиоматических) систем)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 21:46 (ссылка)
2. под "естественностью" подразумеваю следующее наивное рассуждение: раз уж используем числа, то естественно спросить "закончатся ли эти числа? есть ли самое большое?". для реальной математики этого более или менее достаточно. проблемы формализмов, оснований многократно обсуждались - это уже из области философии.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-12-02 23:02 (ссылка)
закончатся на бесконечности
прикол

(Ответить) (Уровень выше)