Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2017-10-29 10:39:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение:awake
Музыка:Ди Курцман -- Череповец
Entry tags:геометрия, геометрия/векторное исчисление

Гессиан
Когда говорят по гессиан, то часто упоминают, что он зависит от выбора координат, а потому каноническим не является -- в отличие-де от комплексного гессиана dd^c, который в силу неких мистических причин определён инвариантно. А может, и не говорят, но я запомнил именно так. На самом деле это неправда.

Для гессиана никаких координат не нужно -- если есть связность \nabla в кокасательном расслоении, то гессиан f -- это просто форма \nabla(df). Это 1-форма с коэффициентами в 1-формах, то есть 2-форма. В силу правила Лейбница (\nabla_u(df))v + \nabla_u(df(v)) = df(\nabla_uv) имеем такое тождество: (\Hess f)(u, v) - (\Hess f)(v, u) = df(\nabla_u(v) - \nabla_v(u)) - \Lie_u\Lie_v(f) + \Lie_v\Lie_u(f) = df(\nabla_u(v) - \nabla_v(u) - [u,v]) = \Lie_{\Tors(u,v)}(f). В частности, если связность без кручения, то гессиан является симметрической 2-формой.

Положительная определённость гессиана \Hess f означает, что для любого ненулевого векторного поля u величина (\Hess f)(u, u) = \Lie_u\Lie_u(f) - \Lie_{\nabla_u(u)} положительна. Значение гессиана в данной точке определяется касательным вектором, а любой вектор в окрестности можно продолжить до киллингова поля. Поэтому из этой формулы следует, что гессиан функции положительно определён тогда и только тогда, когда она выпукла в ограничении на любую геодезическую.

Можно было бы помыслить такие связности и функции, у которых гессиан является кососимметрической 2-формой. Но на самом деле это не очень интересно -- эта функция должна быть аффинной в ограничении на каждую геодезическую, а сама 2-форма получалась бы подстановкой кручения в дифференциал этой формы. Однако, может быть, локально конформно симплектические многообразия, универсальные накрытия которых имеют такой вид, могут быть небезынтересны.

А существование инвариантного комплексного гессиана наверняка происходит из существования (0,1)-связности \bar{\partial}. Не буквально, конечно (иначе бы dd^c была симметрической формой), но думать, как именно, мне лень.



(Добавить комментарий)


[info]sasha_a
2017-10-29 16:57 (ссылка)
но думать, как именно, мне лень.
А начало было очень симпатичным.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2017-10-29 17:44 (ссылка)
На самом деле, проблема была не непосредственно в лени, а в том, что очень
хотелось есть, а продукты в доме совершенно кончились.

Но там всё и так понятно -- \db(df) = \db(\d f + \db f) = \db \d f, а знак
вылезает из того, что какие-то мнимые единицы умножаются друг на друга.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-10-29 18:17 (ссылка)
обычный гессиан зависит от плоских координат
твой гессиан зависит от связности, то есть 2-джета координат
что-то я не вижу особой разницы

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-10-29 18:18 (ссылка)
важный момент, который у тебя не прозвучал:
гессиан симметрический титт, когда связность без кручения
поэтому такие связности в устаревшей литературе называют "симметрическими"

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2017-10-29 21:17 (ссылка)
Это написано во 2-м абзаце.
Не понимаю тебя, связность -- геометричская структура, координаты -- нет.
Что значит 'нет разницы'?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]apkallatu
2017-10-30 01:04 (ссылка)
так вопрос не в геометичности, а в инвариантности

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-11-05 17:53 (ссылка)
координаты это плоская связность без кручения
вполне себе геометрическая структура

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2017-11-03 22:39 (ссылка)
К тебе когда-нибудь клеились геи?

(Ответить)