Настроение:	tired
Музыка:	The Dartz -- Старьё и медляки
Entry tags:	геометрия, геометрия/исключительные голономии, геометрия/потоки Риччи, лытдыбр

Потоки Риччи-3: сметана и Жоралемонский тоннель
Позавчера пришёл домой очень поздно, а встал очень рано, и поэтому спал часов 10. Придя в офис (а пришёл я очень поздно, часов в шесть), долго не мог сосредоточиться, и поэтому начал содержательно думать уже ближе к часу ночи. Думал вот о чём. Родная почти комплексная структура J на гиперповерхности в G_2-многообразии интегрируема тогда и только тогда, когда имеет место тождество II(x,y) + II(Jx, Jy) = 0. Говорим 'вторая квардатичная форма', подразумеваем 'кривизна Риччи'. Абстрагируясь, имеем следующee понятие: комплексно трёхмерное многообразие с голоморфно симплектической формой, а на нём эрмитова метрика, форма Риччи \rho(x, y) = Ric(Jx, y) которой является симметрической формой. Стандартное доказательство того, что фундаментальная группа голоморфно ориентируемого многообразия кручение, отчасти работает: оператор Вейценбёка удовлетворяет g(W(Jx), y) = Ric(Jx, y) = Ric(x, Jy) = g(W(x),Jy) = g(-JW(x),y), то есть аннулирует вектора типа (1,0), а, значит, по формуле Бохнера гармонические (1,0)-формы параллельны; но значит, что их нету вовсе, поскольку у группы \SU(3) нет инвариантов в тавтологическом представлении. Но это, видимо, не полезно совершенно. Кстати, небось антисимметрическая часть формы Риччи всегда является кривизной канонического расслоения, наверняка у Дюмаи или Муруяну я даже это утверждение видел.

Потом стал считать кривизну пространства-времени потока Риччи в терминах кривизны изначального пространства. Пришёл к красивой формуле

\bar{R}_{x,y}(z) = R_{x,y}(z) - W(x)Ric(y,z) + W(y)Ric(z,x),

но во временно́м направлении сочесть не смог (из-за производной кривизны Риччи по времени, которую считать уже не было сил). Считал я это уже в том числе едучи в метро домой, а приехал я пол-пятого утра. С утра делать это расхотелось: понятно, что должна быть формула присоединения Крыма, выражающая кривизну Риччи объемлющего многообразия в терминах кривизны Риччи гиперповерхности в нём и её второй квадратичной формы, потому что в кэлеровом случае форма Риччи это кривизна канонического расслоения; и что из этой формулы должно следовать, что пространство-время потока Риччи само риччи-плоское -- иначе можно было бы, как в известном меме yo dawg, запустить поток Риччи от потока Риччи, что смехотворно; ну и потом это для круглой сферы правда. А раз оно риччи-плоское, то ничего не мешает голономии пространства-времени потока Риччи от SU(3)-многообразия равняться группе G_2 (целью моего вычисления изначально и было это показать).

Чуть позже двух приехал в Транспортный музей в Бруклине. Пока ходил по нём, чуть не захлебнулся слюнёй, до того там всё хорошо. Но едва ли кто-то из моих читателей разделил бы со мной это чувство -- для этого надо быть местным и иметь хорошее отношение к поездам. Впрочем, любители рекламы 60-х, например apkallatu, наверняка бы там тоже нашли для себя много поводов для радости. Ужасно жалко, что эти уроды убили трамвай, зато теперь всё в автобусах. Как напоминал русский дворянин, сочинитель v_r, Фёдоров ненавидит поезда, а я вот ненавижу автобусы. Бензоглоты, и не ездят по таким замечательным рельсам.

Ну и к тому же, как бывшему московиту, очень больно мне было осознавать, что эти изящные станции, например на севере линии A, были открыты в 1904 году -- то есть как если бы в Москве метро построили Балинский и Кнорре, с эстакадой на Красной площади, а без этого всего вот, что в имеющемся метро имеется.

Недалеко от Транспортного музея нашёл ещё один польский ресторан. Почему-то все польские места очень дешёвые в расчёте на 100 грамм еды, -- наверное, потому что сметана, пельмени и драники непопулярны совершенно среди других бездельников типа меня, а популярна всякая шинуазерия. Хотел было написать 'оно и правильно', -- дескать, меньше надо жиров жрать, -- но потом вспомнил, что текущий мейнстрим жиры вроде как реабилитировал, а во всём обвиняет сахар. А вообще там улица красивая, и место не туристическое. Может, надо ещё сходить.

Потом пошёл в университет (откуда я всё это пишу), и, переходя Бруклинский мост, думал такое. Если поток Риччи вкладывает многообразие как гиперповерхность в нечто риччи-плоское -- можно ли всегда вложить алгебраическое многообразие, допустим проективное, как дивизор в Калаби-Яу? Вроде бы, для кривых это неверно -- дескать, кривая большого рода на K3 определит пензель Лефшеца, и это будет рациональное подмногообразие в M_{g,n}, а через очень общую точку на M_{g,n} рациональных кривых не проходит, потому что оно не унилинейчато. Но что-то меня в этом доказательстве смущает -- например, то, что я нигде не использовал, что поверхность K3 (а кривую всегда можно вложить в хоть какую-то поверхность, потому что можно провести абы какого рода кривую через соответствующую точку в M_{g,n}, и взять над ней тавтологического расслоения тотальное пространство). В любом случае, это наверняка классический и известный вопрос, и препятствия к реализации гиперповерхностью в многообразии Калаби-Яу известны (и, может быть, их даже можно перенести в риманов сеттинг).