Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2018-04-08 17:35:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: calm
Entry tags:геометрия, геометрия/исключительные голономии, лытдыбр

Метрика Лиувилля-Арнольда для G_2
Вчера съездил на Брайтон-бич, привёз оттуда кулич для офисмейта-католика. Частично съели тот кулич с его женой и его французской знакомой, а потом пели псалмы.

Кажется, что придумал аналог метрики Лиувилля-Арнольда для пучков Лефшеца-Ковалёва. Пусть, действительно, есть пучок Лефшеца-Ковалёва, то есть расслоение \pi : X \to B с кой-какими вырожденными слоями, где X -- G_2-многообразие, слои коассоциативные подмногообразия, а общий слой K3-поверхность.

Лемма 1 (предположительно). Метрика на X ограничивается на слои пучка Лефшеца-Ковалёва метрикой Яу.

Давайте возьмём касательное пространство к базе в точке p, оно отождествляется с пространством нормальных векторных полей вдоль слоя X_p, параллельных относительно связности Ботта. При помощи римановой метрики его можно вложить как ортогонал к слою в ограничение касательного расслоения TX|_{X_p}, а векторное произведение отождествляет его с подрасслоением эндоморфизмов со следом 0.

Лемма 2 (предположительно). Эндоморфизм со следом 0 касательного расслоения на K3-поверхности из пучка Лефшеца-Ковалёва параллелен относительно связности Леви-Чивиты тогда и только тогда, когда он является векторным умножением на нормальное поле, параллельное относительно связности Ботта.

Лемма 3 (предположительно). Эндоморфизм со следом 0, параллельный относительно связности Леви-Чивиты метрики Яу на K3-поверхности, пропорционален оператору комплексной структуры, согласованной с метрикой Яу.

С другой стороны, такой оператор, то есть линейная комбинация стандартных операторов I, J, K -- это то же самое, что параллельная 2-форма. Таким образом, касательное расслоение к базе пучка Лефшеца-Ковалёва (вне особых слоёв) канонически изоморфно подрасслоению ранга 3 в R^2\pi_*(\R), состоящему из форм, параллельных относительно связности Леви-Чивиты (то есть форм, пропорциональных кэлеровой для какой-нибудь комплексной структуры, согласованной с гиперкэлеровой структурой).

Если бы я не был лодырем и слушал курс [info]tiphareth по теории структур Ходжа, то я бы заключил сразу отсюда, стурктуру какой кривизны это определяет на базе. Кажется, что кривизны -1. А может вообще одна из трёх лемм неправильная. Но не очень похоже.



(Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2018-04-09 02:50 (ссылка)
>Метрика на X ограничивается на слои пучка Лефшеца-Ковалёва метрикой Яу

Если ты про метрику Калаби-Яу, это невозможно:
риччи-плоское подмногообразие в риччи-плоском всегда вполне геодезично

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-04-09 03:18 (ссылка)
Ну да, как например слой у эллиптической K3.
По-моему нет противоречия.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-04-09 14:53 (ссылка)
этот слой никогда не плоский

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-04-09 16:59 (ссылка)
Окей, тогда как ты определяешь связность Лиувилля-Арнольда?
Я бы сказал, что надо поднять касательный вектор к базе до нормального поля, параллельного относительно связности Ботта, отождествить его при помощи симплектической формы с 1-формой, которая в силу параллельности нормального поля тоже будет параллельна, и сказать, что на плоском торе параллельные 1-формы однозначно соответствуют классам первых когомологий, на которых есть связность Гаусса-Манина. Если слои не плоские, ничего такого не работает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-04-11 23:26 (ссылка)
> тогда как ты определяешь связность Лиувилля-Арнольда?

а что это такое? Ни разу не слышал такого выражения

я про то, что "лемма 1" (риччи-плоская метрика ограничивается на общий слой доминантного семейства
риччи-плоской) может быть верна, только если голономия связности приводима, о том я даже как-то писал
https://arxiv.org/abs/alg-geom/9610010

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-04-12 00:32 (ссылка)
Ты это кажется плоской аффинной структурой называл -- я не помню, как правильно, а это название от Лёни Монина почерпнул. Я имею ввиду связность Гаусса-Манина после отождествления R^1 \pi_* \R с касательным к базе вне дискриминанта.

Если эта лемма неверна, то я не умею отождествлять R^1 \pi_* \R с касательным к базе в случае лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии.

(Ответить) (Уровень выше)