Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2018-08-17 19:40:00

Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Метрический смысл тензора Фробениуса
Какой наивный смысл тензора Фробениуса? поскольку он ест два вектора, можно ограничиться распределениями ранга два, и давайте для простоты смотреть в размерности три. Обозначим наше 3-многообразие за X, распределение на нём за F. Тензор Фробениуса есть мера того, насколько шарик малого радиуса отличается от плоского кружочка. Давайте введём какую-нибудь метрику g на распределении F, ну и всё ориентируем, конечно. Тогда возникнет 2-форма, определённая на распределении. С её помощью мы можем вычислять значение тензора Фробениуса только на одной паре векторов -- именно, на двух положительно ориентированных перпендикулярных единичных векторах. Кроме того, имеется четырёхмерная мера Хаусдорфа, связанная с метрикой, определённой при помощи горизонтальных путей, она задаётся какой-то 3-формой Vol_g (не уверен в этом, но давайте на секундочку в это поверим). Форму объёма можно воспринимать как спаривание \Lambda^2(F) \o T/F --> \R. Иными словами, имеем Vol_g(u, v, [u,v]) = Vol_g(u \wedge v, \Phi(u,v)). О таком объёме можно думать как об объёме 'бесконечно малого эллипсоида, получающегося экспоненциальным отображением из эллипсоида в касательном пространстве с полуосями u и v'. Говорить об эллипсоидах и об экспоненциальных отображениях в субримановой ситуации бессмысленно, но имеет смысл говорить о шарах. Поэтому давайте считать, что если u и v -- два перпендикулярных вектора одинаковой длины, то Vol(u, v, [u,v]) есть объём бесконечно малого шара с радиусом u (или v, без разницы). Если мы поменяем метрику, растянув вектор u в A раз, а вектор v в B раз, то этот объём поменяется в (AB)^2 раз, в то время как объём единичного кружка в плоскости распределения F поменяется в AB раз. Итак, определим следующую величину: для метрики g она является пределом отношения четырхёмерного хаусдорфова объёма единичного шара радиуса \eps к квадрату площади двумерного круга радиуса \eps, при \eps, стремящемся к нулю. Для интегрируемого распределения эта величина нулевая, и от выбора метрики она, кажется из вышесказанного, не зависит. Не очень понятно, что значит такая величина -- для трёхмерного многообразия, кажется, тензор Фробениуса невозможно выразить одной функцией.

Хотелось бы сказать, что эта метрическая величина имеет смысл для распределений с особенностями (например, для КР-структур на многогранниках в \C^2). Как ни странно, ничего подобного не получается. Рассмотрим эрмитово пространство \C^2, и в нём вещественный прямой двугранный угол. Если разогнуть его в трёхмерное пространство, КР-распределение на нём будет устроено следующим образом: в полупространстве z < 0 оно будет задано формой dx = 0, а в полупространстве z > 0 -- формой dy = 0. Единичный шар какого бы то ни было радиуса с центром в нуле будет выглядеть так: это фигура, составленная из двух половинок, каждая из которых -- половина тела вращения ромба вокруг его диагонали, и при этом половинки эти склеены под прямым углом. Объём такой фигуры зависит от радиуса кубически. Вообще странно, то есть получается, что при приближении гиперповерхности многогранниками с мерами Хаусдорфа, связанными с соответствующими метриками, происходит нечто странное. Зато эта вырожденная контактная структура задаётся 1-потоком, а именно формой H(z)dy + H(-z)dx, где H -- функция Хевисайда. Если бы этот 1-поток умножился на свой дифференциал, получилась бы мера, сосредоточенная на плоскости излома. Но что-то я не уверен, что так можно сделать.


(Читать комментарии)

Добавить комментарий:

Как:
Identity URL: 
имя пользователя:    
Вы должны предварительно войти в LiveJournal.com
 
E-mail для ответов: 
Вы сможете оставлять комментарии, даже если не введете e-mail.
Но вы не сможете получать уведомления об ответах на ваши комментарии!
Внимание: на указанный адрес будет выслано подтверждение.
Имя пользователя:
Пароль:
Тема:
HTML нельзя использовать в теме сообщения
Сообщение:



Обратите внимание! Этот пользователь включил опцию сохранения IP-адресов тех, кто пишет анонимно.