Below are the 20 most recent journal entries recorded in Dmitri Pavlov's LiveJournal:

[ << Previous 20 ]

Monday, February 8th, 2010
11:26 pm	Страх перед нулём и единицей. Наша жизнь полна предрассудков и необоснованных страхов. Однако не все знают, что предрассудки и страхи во множестве присутствуют в математике. Сегодня я расскажу всего лишь про один такой предрассудок — страх перед нулём и единицей. Древнегреческие математики не считали единицу числом, а понятия нуля у них вовсе не существовало. По этой причине утверждения о целых числах содержали в себе несколько аналогичных формулировок для случаев, когда рассматриваемые числа равны или не равны единице, что можно видеть у Эвклида, когда он излагает свой алгоритм нахождения наибольшего общего делителя («Начала», книга 7, предложения 1 и 2) — он вынужден формулировать два предложения вместо одного (предложение 1 излагает случай, когда наибольший общий делитель равен 1, а предложение 2 — когда не равен). За прошедшие две тысячи лет люди освоили понятия нуля и единицы, но страх перед ними остался. Далее я привожу список разнообразных верных утверждений, вызывающих отторжение под влиянием этого страха. У пустого множества есть ровно один эндоморфизм — пустая функция. Вообще, из пустого множество в произвольное есть ровно одна функция — функция с пустой областью определения. (А из произвольного непустого множества в пустое функций нет.) Натуральные числа — это те, которые используются при счёте. Это определение я услышал в пятом классе. Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств. Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное. По-другому думают только ретрограды и мракобесы. Классическое проявление страха перед нулём — нумерация всего и вся с единицы, хотя зачастую более естественно нумерация последовательными натуральными числами, начиная с минимального — нуля, а часто наиболее естественным вариантом является отказ от нумерации. Некоторые сумасшедшие продолжают утверждать, будто 0^0 не определено. Особенно популярно это мнение в среде жёстких аналитиков. (И вообще, жёсткий анализ (в противоположность мягкому) — это один из основных источников мракобесия в математике, как отметил один из моих знакомых.) Обосновывают они его следующим аргументом: функция (x,y) → x^y не является непрерывной в точке (0,0). Однако запись многочленов и рядов в форме ∑_k a_k x^k возможна только и исключительно при условии, что 0^0 = 1. Формула бинома (x+y)^n = ∑_k {n\choose k} x^k y^{n-k} верна для всех n≥0 и произвольных x и y также только при условии, что 0^0 = 1 (иначе надо потребовать, что x≠0, y≠0 и если n=0, то x+y≠0). Количество отображений из n-элементного множества в m-элементное равно m^n — смотри замечание выше про эндоморфизмы пустого множества. Отсюда тоже получаем, что 0^0 = 1. Список можно продолжать до бесконечности. Сумма пустого множества чисел есть 0. Произведение пустого множества чисел есть 1. Упражнение: вычислите значение башни степеней x^{y^{z^…}} для пустого семейства чисел. Нулевое векторное пространство имеет пустой базис и обладает ровно одним эндоморфизмом — нулевым. Определитель эндоморфизма нулевого векторного пространства равен 1, а его матрицей будет пустая матрица (матрица с пустым множеством строк и столбцов). Морфизмы из нулевого или в нулевое векторное пространство будут иметь пустое множество столбцов или строк. Произведение пустого семейства объектов (или предел пустой диаграммы) есть терминальный объект, копроизведение пустого семейства объектов (или копредел пустой диаграммы) есть начальный объект. Тензорное произведение (в моноидальной структуре) пустого семейства объектов есть моноидальная единица. В частности, тензорное произведение пустого семейства векторных пространств есть основное поле. Норму гомоморфизма нормированных пространств f: X→Y часто определяют как sup_{x∈X: x≠0} ‖f(x)‖/‖x‖ или как sup_{x∈X: ‖x‖=1} ‖f(x)‖. Эти определения не работают в случае X=0, а также, если допускаются полунормы, в случае если полунорма нулевая. Правильное определение, работающее во всех случаях, в том числе и для полунорм: ‖f‖=sup_{x∈X: ‖x‖≤1} ‖f(x)‖. Конъюнкция пустого семейства утверждений истинна, дизъюнкция пустого семейства утверждений ложна. Объединение пустого семейства множеств есть пустое множество. Пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств (или универсум, или другой аналогичный объект — зависит от используемых теоретико-множественных оснований). Например, топология на множестве X — это семейство его подмножеств, замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений внутри X. Забывающий функтор из категории пунктированных множеств в категорию морфизмов множеств, интерпретирующий пунктированное множество A как морфизм из одноэлементного множества в A, имеет левый сопряжённый функтор. Значение этого функтора на объекте A→B обозначается B/A и называется фактормножеством множества B по множеству A. (Здесь имеет место очевидная волность речи.) В случае A=∅ имеем B/∅=B⊔*, объединение B и одноэлементного множества, тем самым фактормножество иногда может быть больше исходного множества, а факторотображение может не быть сюръективным. Весьма показательна ошибка, которую сделал Hartshorne в своём учебнике алгебраической геометрии в определении предпучка — он определяет предпучок абелевых групп как предпучок абелевых групп в обычном смысле, удовлетворяющий дополнительному условию F(∅)=0. Это вызывает проблемы уже на элементарном уровне (нельзя определить постоянный предпучок обычным образом, непонятно как определить предпучок со значениями в произвольной категории), а куча утверждений про предпучки (например, про универсальные копополнения) становятся просто неверными. На самом деле это условие является следствием аксиом пучка. Действительно, для произвольной категории C предпучок со значениями в C — это контравариантный функтор из противоположной категории открытых множеств данного топологического пространства в C, а пучок — это предпучок, удовлетворяющий свойству спуска: конус спуска произвольного покрытия произвольного открытого множества является предельным конусом. Если взять пустое покрытие пустого множества, получаем, что значение пучка на пустом множестве является терминальным объектом. Желаю всем читателям избавиться от своего страха перед нулём и единицей, если он у них есть, и пользоваться этими понятиями свободно, без дополнительных оговорок. Поводом к написанию записи послужило одно замечание одного математика, в котором он использовал пучки абелевых групп, обладающие свойством F(∅)=0, и весьма обрадовался, когда я объяснил ему, что это свойство является тривиальным следствием определения пучка. (12 Comments |Comment on this)
Wednesday, February 3rd, 2010
10:55 pm	Стоимость человеческой жизни Придумал такую квазинаучную конструкцию: Предположим существование вещественнозначной функции стоимости жизни человека в зависимости от его возраста. Чтобы не вдаваться в вопрос стоимости жизни новорожденного младенца, отсчёт будем вести с нечеловеческой стадии развития организма — зиготы. Ценность жизни в начале интервала (момент слияния гамет) равна нулю, ценность жизни в конце интервала (момент смерти) также равна нулю. Если к этому добавить ещё условие непрерывности функции стоимости жизни (или хотя бы полунепрерывности сверху; впрочем, мне хочется ещё потребовать, что функция сначала возрастает, а затем убывает — но это необязательно), то тогда функция стоимости жизни имеет максимум. В каком возрасте достигается максимум? (Ответ предполагает также наличие внятного опеределения функции стоимости человеческой жизни.) (11 Comments |Comment on this)
Monday, December 28th, 2009
8:45 pm	Семинар по струнной топологии Приехав на зимние каникулы, организовал очередной топологический семинар, на этот раз будем изучать струнную топологию (Chas, Sullivan, Cohen, Jones, Воронов и другие). Первый доклад во вторник, 29 декабря 2009 года в 19 часов в ПОМИ. Приглашаются все желающие, если таковые имеются. Домашняя страница семинаров: http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/ Надеюсь записывать лекции на камеру и выкладывать их. Не уверен, правда, что это кому-то нужно. Посещаемость семинаров неуклонно падает — старые участники понемногу уезжают в аспирантуру (и не приезжают на каникулы), новых топологов не видно. Из моего потока в ЛИТМО (Институт точной механики и оптики, 2002 год поступления, на потоке изначально училось 42 человека, некоторых потом отчислили) три человека поступили в математические аспирантуры различных западных университетов (Berkeley, Yale, Northwestern). Сложно представить себе, чтобы такое могло произойти сейчас, видимо даже если рассматривать поток отделения математики матмеха, да и весь матмех. Или это не так? Будет интересно, если кто-нибудь с матмеха расскажет, сколько выпускников в среднем продолжают заниматься математикой и где. Тем временем, библиотека Эйлера выложила очередные два сборника «Математика». Кроме того, в ней по-прежнему лежат все журналы от Springera (и ещё несколько других), а скоро снова будет доступна колхозная коллекция (все выпуски вплоть до последнего 28-го, а возможно и до 32-го — когда выпустят очередное обновление). Коррекция: по пожеланиям участников семинар перенесён на 19 часов. (28 Comments |Comment on this)
Thursday, August 6th, 2009
8:05 pm	Книги по физике Мне недавно подарили библиотеку, а в ней — много книг по физике, которые я вряд ли буду читать. Отдам в хорошие руки бесплатно. Распространение списка среди заинтересованных людей приветствуется. Книги находятся в Петербурге. А вот список книг: Волошин, Тер-Мартиросян, Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц, 1984. Окунь, Лептоны и кварки, 1990. Барбашов, Нестеренко, Модель релятивистской струны в физике адронов, 1987. Трейман, Джеки, Гросс, Лекции по алгебре токов, 1977. Исаев, Квантовая электродинамика в области высоких энергий, 1984. Элементарные частицы и компенсирующие поля, 1964. Окунь, Слабое взаиомодействие элементарных частиц, 1963. Бернстейн, Элементарные частицы и их токи, 1970. Браун, Джексон, Нуклон-нуклонные взаимодействия, 1979. Ли, Ву, Слабые взаимодействия, 1968. Биррелл, Девис, Квантовые поля в искривлённом пространстве-времени, 1984. Ициксон, Зюбер, Квантовая теория поля, том 1 и 2, 1984. Хуанг, Кварки, лептоны и калибровочные поля, 1984. Коллинз, Перенормировка, 1988. Швебер, Бете, Гофман, Мезоны и поля, 1957. Балдин, Гольданский, Максименко, Розенталь, Кинематика ядерных реакций, 1968. Бьёркен, Дрелл, Релятивисткая квантовая теория, том 1 и 2, 1978. Уэст, Введение в суперсимметрию и супергравитацию, 1989. Бринк, Энно, Принципы теории струн, 1991. Кройц, Кварки, глюоны и решётки, 1987. Неупругие взаимодействия адронов и ядер при высоких энергиях, выпуск 1 и 2, 1984. Эдер, Фаулер, Странные частицы, 1966. Вильдермут, Тан, Единая теория ядра, 1980. Хелзен, Мартин, Кварки и лептоны, 1987. Кириллов-Угрюмов, Никитин, Сергеев, Атомы и мезоны, 1980. Дрелл, Захариазен, Электромагнитная структура нуклонов, 1962. Окунь, Слабое взаимодействие при высоких энергиях, 1978. Теория групп и элементарные частицы, 1967. Гольданский, Никитин, Розенталь, Кинематические методы в физике высоких энергий, 1987. Нелипа, Физика элементарных частиц. Калибровочные поля, 1985. Боум, Фогель, Физика массивных нейтрино, 1990. Новый метод в теории сильных взаимодействий. Двойные дисперсионные представления, 1960. Друкарев, Теория столкновений электронов с атомами, 1963. Мурзин, Сарычева, Физика адронных процессов, 1986. Мурзин, Сарычева, Множественные процессы при высоких энергиях, 1974. Никитин, Розенталь, Теория множественных процессов, 1976. Завьялов, Перенормированные диаграммы Фейнмана, 1979. Далиц, Странные частицы и сильные взаимодействия, 1964. Нгуен Ван Хьеу, Лекции по теории унитарной симметрии элементарных частиц, 1967. Байер, Катков, Фадин, Излучение релятивистских электроновы, 1973. Маляров, Основы теории атомного ядра, 1959. Комминс, Буксбаум, Слабые взаимодействия лептонов и кварков, 1987. Славнов, Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 1978. Коккеде, Теория кварков, 1971. Фейнман, Взаимодействие фотонов с адронами, 1975. Фейнман, Квантовая электродинамика, 1964. Весс, Беггер, Суперсимметрия и супергравитация, 1986. Тейлор, Калибровочные теория слабых взаимодействий, 1978. Индурайн, Квантовая хромодинамика, 1986. Квантовая теория калибровочных полей, 1977. Коллинз, Сквайрс, Полюса Редже в физике частиц, 1971. Электромагнитные взаимодействия и структура элементарных частиц, 1969. Клоуз, Кварки и партоны, 1982. Мигдал, Фермионы и бозоны в сильных полях, 1978. Бюклинг, Каянти, Кинематика элементарных частиц, 1975. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, 1978. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, 1983. Васильев, Квантовополевая ренормировка в теории критического поведения в стохастической динамике, 1998. Бете, Моррисон, Элементарная теория ядра, 1958. Хриплович, Несохранение чётности в атомных явлениях, 1988. Боголюбов, Ширков, Квантовые поля, 1993. Введение в супергравитацию, 1985. Райдер, Квантовая теория поля, 1987. Коноплёва, Попов, Калибровочные поля, 1972. Гриб, Мамаев, Мостепаненко, Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях, 1988. Френкель, Принципы теориия атомных ядер, 1950. Грин, Шварц, Виттен, Теория суперструн, 1990. Новожилов, Введение в теорию элементарных частиц, 1972. Сакураи, Токи и мезоны, 1972. Теория сильных взаимодействий при больших энергиях, 1963. Иоффе, Липатов, Хозе, Глубоконеупругие процессы, 1983. Адлер, Дашен, Алгебры токов и их применения к физике элементарных частиц, 1970. Соколов, Введение в квантовую электродинамику, 1958. Деформация атомных ядер, 1958. Монастырский, Топология калибровочных полей и конденсированных сред, 1995. Менский, Группа путей: измерения, поля, частицы, 1983. ДеВитт, Динамическая теория групп и полей, 1987. Боголюбов, Ширков, Введение в теорию квантованных полей, 1976. ДеФльфаро, Фубини, Фурлан, Росетти, Токи в физике адронов, 1976. Ширков, Серебряков, Мещерков, Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях, 1967. Левинджер, Фотоядерные реакции, 1962. Абрикосов, Горьков, Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, 1962. Камал, Задачи по физике элементарных частиц, 1968. Никитин, Протасов, Топоркова, Фесено, Котов, Сборник задач по физике элементарных частиц, 1992. Тамм, Основы теории электричества, 1956. Фейнман, Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, 1968. Давыдов, Квантовая механика, 1963. Блохинцев, Основые квантовой механики, 1983. Биденхарн, Лаук, Угловой момент в квантовой физике, 1984. Соколов, Лоскутов, Тернов, Квантовая механика, 1965. Паули, Общие принципы волновой механики, 1947. Мак-Витти, Общая теория относительности и космология, 1961. Варшалович, Москалёв, Херсонский, Квантовая теория углового момента, 1975. Базь, Зельдович, Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, 1966. Мигдал, Крайнов, Приближённые методы квантовой механики, 1966. Кюри, Радиоактивность, 1960. Гайтлер, Квантовая теория излучения, 1956. Бете, Солпитер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, 1960. Грин, Матричная квантовая механика, 1968. Бабиков, Метод фазовых функций в квантовой механике, 1988. Фок, Начала квантовой механики, 1976. Шифф, Квантовая механика, 1959. Топтыгин, Космические лучи в межпланетных магнитных полях, 1982. Гальцов, Частицы и поля в окрестностях чёрных дыр, 1986. Новиков, Фролов, Физика чёрных дыр, 1986. Уилер, Гравитация, нейтрино и вселенная, 1962. Бёрке, Пространство-время, геометрия, космология, 1985. Паули, Теория относительности, 1983. Кузнецов, Щеглов, Методы диагностики высокотемпературной плазмы, 1980. Михайловский, Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках, 1978. Вопросы теории плазмы, 1987. Чен, Введение в физику плазмы, 1987. Бом, Общая теория коллективных переменных, 1964. Смирнов, Проблема шаровой молнии, 1988. Заславский, Сагдеев, Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса, 1988. Каулинг, Магнитная гидродинамика, 1959. Ландау, Собрание трудов, том 2, 1969. (24 Comments |Comment on this)
Wednesday, July 15th, 2009
11:02 pm	Манифест Dieudonné («Все мы учились в одном гадюшнике…») Время от времени я начинаю разъяснять, почему геометрия, в том виде, как она сейчас преподаётся в школе, малоосмысленна, и почему ситуацию с этим необходимо менять. Вот, например, несколько недавних дискуссий, есть и другие: 1, 2, 3. Недавно я прочитал предисловие к книге Dieudonné 1964 года Algèbre linéaire et géométrie élémentaire и обнаружил, что в этом предисловии ясно и понятно изложены все те мысли, которые я уже давно пытаюсь разъяснять в различных дискуссиях. По этой причине я решил воспроизвести русский перевод этого предисловия ниже. Что (не)удивительно, с 1964 года прошло уже 45 лет, а воз и ныне там — за это время ничего не изменилось. Из различных маразмов, описанных Dieudonné, единственное, чего мне удалось избежать — шары Данделена. Зато очень много времени было потрачено впустую на окружность девяти точек, построения циркулем и линейкой, решения задач на треугольники, разучивание псалтыря тригонометрических формул и прочие бессмыслицы. В свете параграфа про высоты треугольника и сопротивление материалов донельзя забавным представляется комментарий в одной из недавних дискуссий. Система аксиом, которой мы пользовались на геометрии, была неполной, по причине чего теоремы часто «доказывались» неявным использованием интуитивно очевидного утверждения. И это — в двух лучших математических школах Петербурга — 30-ой и 239-ой. Что творится в обычных школах, страшно даже подумать. От себя могу добавить, что при первоначальном изучении геометрии, по-видимому, можно определить точку как пару рациональных чисел. После можно ввести операции векторного пространства, подробно изучить их геометрический смысл. Затем можно определить прямую параметрическим образом, научиться пересекать прямые (и доказать, что точка пересечения единственная), проводить прямую через две точки (с доказательством единственности), и так далее. Через некоторое время станет ясной необходимость введения вещественных чисел (а на алгебре будет параллельно доказана иррациональность квадратного корня из 2). Вещественные числа, по-видимому, проще всего ввести как сечения. Что самое забавное, аргументация Dieudonné точно также применима к студенческой программе по математике. Вот список некоторых вещей, которые я или люди на курс младше меня в своё время должны были изучать или делать: Условно сходящиеся ряды и интегралы; Эпсилон-дельта формализм; Остаточный член формулы Тейлора в форме Шлёмильха-Роша; Интеграл Римана; Интеграл Стильтьеса; Вычислить производные от 50 функций; Вычислить интегралы от 50 функций; Формулы Грина, Гаусса и Стокса; Вихрь, градиент и дивергенция; Раскрытие неопределённостей; Криволинейные интегралы первого и второго типа; Тензор — это набор чисел, изменяющийся следующим образом при замене системы координат…; Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом разделяющихся переменных, методом подстановки и ещё десятком трюков (про это ещё Rota написал в своё время); Курс «аналитической геометрии» (при наличии курса линейной алгебры); Набор трюков для решения трёх уравнений с частными производными («математическая физика»); Вычисление интегралов путём вычетов. Каждый может легко продолжать этот список до бесконечности. Было бы неплохо изъять из учебного плана принудительную галиматью вроде «математического анализа», «аналитической геометрии», «теории функций комплексного переменного», «дифференциальных уравнений», «теории вероятностей», «математической физики», «дискретной математики», «математической статистики», «численных методов» и им подобных и заменить их на такие: «общая топология», «линейная алгебра», «гладкие многообразия», «комплексная геометрия», «теория меры», «гармонический анализ», «микролокальный анализ», «алгебраический анализ и D-модули», «геометрический анализ» и так далее. С современным содержанием и в современном изложении. [Наличие в любом плане научно-технической специальности кучи принудительной гуманитарной ахинеи я и вовсе оставляю за скобками.] К сожалению, всё это абсолютно нереалистично в нынешних условиях… А жаль. Извините, что так резко — мне просто жаль кучи бессмысленно потраченного времени в студенческие годы. Просьба воспринимать всё это как призыв к конструктивной деятельности, а не деструктивной. [Впрочем, банальное изъятие из плана кучи гуманитарного мусора, отнимающего ценное время, можно, наверное, рассматривать как конструктивное действие.] А теперь — собственно предисловие к книге Dieudonné. Ввиду ограничения на длину записи в LJR выкладываю его отдельно здесь. (38 Comments |Comment on this)
Friday, June 26th, 2009
10:01 pm	Гомотопическая теория графов Удивительное рядом. Bisson и Tserno опубликовали статью, в которой они вводят нетривиальную модельную структуру на топосе ориентированных графов. Категория ориентированных графов определяется как категория предпучков множеств на категории, состоящей из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними. В частности, эта категория образует топос. Более удивительно, что на этом топосе можно ввести нетривиальную кофибрантно порождённую модельную структуру. Расслоениями в этой структуре будут морфизмы графов, индуцирующие для каждой вершины и её образа сюръекцию на множестве выходящих из них рёбер. Корасслоениями будут вложения, получающиеся путём приклеивания к графу путём толчка нескольких деревьев, растущих от корня. Наконец, слабыми эквивалентностями будут морфизмы, индуцирующие биекцию на множестве циклов. В этой модельной структуре граф будет фибрантным, если у него нет тупиков — вершин, из которых не выходят рёбра. Кофибрантный граф — это в точности копроизведение произвольного набора конечных циклов, к которым приклеены путём толчка несколько деревьев, растущих от корня. Кофибрантной заменой будет копроизведение всех циклов в графе с очевидным морфизмом в этот граф. У категории графов есть важная цепочка подкатегорий: полная подкатегория графов, у которых из каждой вершины выходит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория графов, у которых в каждую вершину входит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория дискретных графов: у каждой вершины есть петля. Между этими категориями есть несколько пар сопряжённых функторов, которые не являются гомотопическими, но являются функторами Квиллена, и у них есть тотальные производные функторы, вычисляющие нетривиальную информацию. А вот забавная теорема: два конечных графа гомотопически эквивалентны в том и только в том случае, если они почти изоспектральны, что равносильно совпадению дзета-функций этих графов. (2 Comments |Comment on this)
Monday, June 22nd, 2009
7:07 pm	Русская терминология При проведении семинаров на русском языке (чем я занимаюсь каждый год в зимние и летние каникулы) постоянно возникает необходимость в переводе английских терминов. В четверг участниками семинара был составлен следующий словарик: pullback — оттяг; pushforward — толчок; cup product — чашечное произведение; cap product — кепочное производение (в просторечии — шапочное произведение). Если у кого есть собственные переводы этих или других терминов — оставьте комментарий. (38 Comments |Comment on this)
Saturday, January 24th, 2009
5:00 pm	Изложение математики Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно концептуализировать и упростить а ля Гротендик изложение некоторых хорошо известных разделов математики. Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр. Частное: Lp-пространства должны формулироваться и излагаться на языке модулярных алгебр Ямагами. Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии, позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры, а также алгебр Клиффорда и Вейля. Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов. Возможно также использование языка пучков, хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий. Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии, в частности должно даваться концептуальное изложение дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек, вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия группы диффеоморфизмов суперточки. Тоже самое для комплексных многообразий — только здесь уже надо использовать пучки. (Надо сказать, что теории схем сказочно повезло — для схем координаты невозможно использовать в принципе.) Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, одновременно для топологических пространств и симплициальных множеств. Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, без упоминания резольвент, кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены. Операды должны формулироваться и излагаться на языке свёртки Дея и подстановочного произведения. Где бы теперь взять книги, излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?… Добавление: То, что некоторые области должны излагаться по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то подумали именно это. Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям, многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики. Это не так, я не предлагаю никаких программ. Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики. Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники, использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их существовании и давали ссылки на литературу. (193 Comments |Comment on this)
4:40 pm	Гипотеза о кобордизмах Jacob Lurie недавно опубликовал статью с доказательством гипотезы о кобордизмах Баеза-Долана, которая, грубо говоря, утверждает, что n-категория кобордизмов является свободной n-категорией на одном объекте (в соответствующем смысле — подробности в статье). У него же, если кто не знает, лежит замечательный обзор по топологическим модулярным формам. (12 Comments |Comment on this)
Sunday, December 7th, 2008
2:33 pm	Траур по нацистскому коллаборатору и осведомителю КГБ В России объявлен государственный траур по случаю смерти нацистского коллаборатора и осведомителя КГБ. (7 Comments |Comment on this)
Sunday, October 26th, 2008
5:01 pm	Русский Plain TeX Вот уже более восьми лет я использую исключительно TeX для набора чего-то более сложного, чем текстовый файл. Поскольку LaTeX мне освоить не удалось ввиду его колоссальной сложности, пришлось остановиться на Plain TeX. А поскольку приличной русификации в то время не было и нет до сих пор, мне пришлось сделать свою, которую и использую уже много лет. Сегодня я решил выложить её на всеобщее обозрение: http://math.berkeley.edu/~pavlov/tex/ Замечания, вопросы и комментарии приветствуются. (100 Comments |Comment on this)
Thursday, October 23rd, 2008
9:28 pm	Рентгеновские снимки при помощи скотча В журнале Nature опубликована статья, в которой рассказывается, что обыкновенный скотч служит источником рентгеновского излучения, и притом достаточно сильным для того, чтобы сфотографировать скотч в обычном спектре без дополнительной подсветки (всё освещение — от сцинтиллятора) и делать рентгеновские снимки пальца. Смотри также описание статьи на русском языке в блоге Игоря Иванова. (4 Comments |Comment on this)
Thursday, August 7th, 2008
12:25 am	Grothendieck Я, как всегда, узнаю всё последним, но если кто-то ещё не видел отчёт о поездке к Гротендику в июне 1988 года, который написал Roy Lisker, то его можно найти здесь: http://fermentmagazine.org/Quest88.html И вообще, интересная страница с материалами про Гротендика: http://fermentmagazine.org/home5.html (4 Comments |Comment on this)
Friday, April 11th, 2008
9:04 pm	Community service Если кому-нибудь нужны книги по математике (а также по физике и программированию), то я могу купить их здесь и привезти в Петербург. Я могу покупать книги в трёх местных магазинах, а также в сетевых. (Конечно, сетевыми магазинами можно пользоваться и в России, однако доставка в Россию очень дорогая, идёт очень долго (2 месяца), могут возникнуть проблемы с таможней, и кроме того, не у всех есть подходящие платёжные средства.) По этим ссылкам можно проверить, есть ли какая-нибудь книга в местных магазинах: http://nedsbooks.com/ucb/ http://www.moesbooks.com/moes/search.html http://ucberkeley.bkstr.com/ Для сетевых магазинов есть неплохая поисковая система: http://www.bookfinder.com/ (26 Comments |Comment on this)
Thursday, April 3rd, 2008
6:55 pm	Больше всего в математике я ненавижу… По мотивам известной страницы. В обозначениях Δx и δx d/dx и ∂/∂x когда используют выражение «функция f(x)», имея ввиду «функция f» когда путают расслоение и его тотальное пространство вертикальную нотацию для дробей нотацию для возведения в степень нотации для интеграла и суммы обозначение производной штрихом нотацию f(x) когда композицию морфизмов пишут справа налево (особо ненавижу) смешанную нотацию для дробей вида a b/c, обозначающую a+b/c В терминологии неопределяемые понятия утверждения, принимаемые без доказательства аксиомы В теории множеств аксиоматику Цермело-Френкеля В линейной алгебре координаты матрицы когда рассказывают внешнюю алгебру без геометрического смысла отдельной строкой я ненавижу аксиоматику Эвклида-Гильберта В топологии язык ε-δ В мере меру Жордана и интеграл Римана изложение меры по Каратеодори В многообразиях координаты (лютой ненавистью) карты и атласы производную как число или набор чисел дивергенцию, градиент и ротор В образовании школьную математику олимпиадную математику (против самих олимпиад ничего не имею) вступительную математику высшую математику прикладную математику (то, что сейчас понимают под этим термином) В изложении когда проводят длинное рассуждение и не говорят заранее, что при этом доказывается Список неполный, постоянно пополняется. (58 Comments |Comment on this)
Wednesday, January 23rd, 2008
9:58 am	Филдсовская медаль Арнольда Из статьи В. А. Успенского в журнале «Новый мир» за декабрь 2007 года: Проблемы и даже скандалы, сопровождавшие процедуры присуждения и вручения филдсовских медалей, возникали и раньше. Так, по причине Мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений в промежутке между 1936 и 1950 годами (в 1936 году в Осло прошёл последний предвоенный Международный конгресс математиков, а в 1950 году в Кембридже, что в Массачусетсе, — первый послевоенный). Все последующие причины были порождены советскими властями. Например, конгресс в Варшаве, намеченный на 1982 год, был перенесён на август 1983 года из-за объявленного в Польше военного положения. В 1966 году французский математик Александр Гротендик, один из крупнейших математиков XX века, в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов; вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов и всех чохом пригласил на сцену для получения медалей; кто есть ху, понять из зала было невозможно. В 1970 и в 1978 годах конгрессы состоялись, соответственно, в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить свои медали два математика из СССР: в Ницце — Сергей Петрович Новиков (родился в 1938 году; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки — Григорий Александрович Маргулис (родился в 1946 году). Их поездки были признаны, по советской бюрократической терминологии, «нецелесообразными», а сами они не были выпущены за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (едва ли не единственном издании, откликнувшемся на присуждение ему высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «и… [даже] докторская диссертация на подходе». Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 году. Далее — изложение рассказа самого Арнольда; надеюсь, что помню его правильно. Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Окончательное решение должен был принять высший орган Международного математического союза — его исполнительный комитет. В 1971–1974 годах вице-президентом Исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне своей поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и на беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждение тому филдсовской медали. В случае, если исполком с этим не согласится и всё же присудит Арнольду медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации в Ванкувер на очередной Международный конгресс математиков, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал ему о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые ему Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним — интересна, а обед — хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только филдсовскую медаль Арнольд тогда не получил — и было выдано две медали вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 году Арнольд исчерпал возрастной лимит. В 1995 году Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 году на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда. Осталось выяснить, кто отдал Понтрягину приказ не давать Арнольду медаль. Вообще, очень странно, что филдсовский комитет не присуждает медали единолично. Зачем нужна эта бюрократическая процедура утверждения? (6 Comments |Comment on this)
Monday, January 14th, 2008
4:28 am	Мир в ореховой скорлупке Я недавно писал про модулярное пространство стабильных карт в Википедии. А теперь обнаружился не менее интересный случай перевода, но уже в бумажной книге: название книги «The Universe in a Nutshell» (автор — Stephen Hawking) перевели как «Мир в ореховой скорлупке». По ссылке от kobak@lj. Он утверждает, что издательство «Амфора», выпустившее эту книгу, вроде бы является солидным. Модулярного пространства стабильных карт в Википедии уже нет, а эта книга так и останется свидетельством квалификации переводчиков этого издательства. Добавление: из разговора с переводчиком выяснилось, что такой перевод названия вызван содержанием третей главы, в которой этот фразеологизм используется в буквальном смысле. Как указал burcha@lj, наиболее адекватным переводом было бы «Вселенная?.. Это очень просто!», содержащее отсылку к советской научно-популярной серии. (20 Comments |Comment on this)
Thursday, December 13th, 2007
6:09 pm	Community service Сегодня я ходил по книжным магазинам и смотрел книги по математике. Возможно, кому-то в Петербурге хочется купить какую-нибудь книгу по математике на английском языке. Я могу купить её здесь и привезти в Петербург. Для облегчения задачи я привожу список увиденных мною книг, которые могут оказаться кому-то интересными. Помните, что из-за налога все цены в списке умножаются на 1.0875. Если книги нет в списке, это не значит, что её нет в магазине. Достаточно просто сказать мне её название и предельную цену в долларах, которую вы согласны за неё заплатить. Если я увижу её, то куплю и привезу в Петербург. Сначала — книга, полезная для программистов: $25: Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L. Introduction to algorithms. The MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. MIT Press, Cambridge, MA; McGraw-Hill Book Co., New York, 1990. xx+1028 pp. И вообще, если кому-то нужны программистские книги, заказывайте, тут они наверняка есть. А теперь остальные книги: $50: Eisenbud, David Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. $40: Serre, Jean-Pierre Linear representations of finite groups. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. x+170 pp. $42: Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983. ix+272 pp. $52/70: Hartshorne, Robin Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. xvi+496 pp. $25/34: Hatcher, Allen Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. $50/65: Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. $55: Ramanan, S. Global calculus. Graduate Studies in Mathematics, 65. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. xii+316 pp. $85: Frenkel, Edward Langlands correspondence for loop groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 103. Cambridge University Press, Cambridge, 2007. xvi+379 pp. $50: Dodson, C. T. J.; Poston, T. Tensor geometry. The geometric viewpoint and its uses. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 130. Springer-Verlag, Berlin, 1991. xiv+432 pp. $32: de Cataldo, Mark Andrea The Hodge theory of projective manifolds. Imperial College Press, London, 2007. xii+102 pp. $35: Halmos, Paul R. Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950. xi+304 pp. $46: Hirsch, Morris W. Differential topology. Graduate Texts in Mathematics, No. 33. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. x+221 pp. $29: Morrow, James; Kodaira, Kunihiko Complex manifolds. Reprint of the 1971 edition with errata. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006. x+194 pp. $26: Kobayashi, Shoshichi Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings. An introduction. Second edition. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2005. xii+148 pp. $20: Hörmander, Lars Linear partial differential operators. Springer Verlag, Berlin-New York, 1976. vii+285 pp. $40: Jacquet, H.; Langlands, R. P. Automorphic forms on ${\rm GL}(2)$. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970. vii+548 pp. $42: Majid, Shahn Foundations of quantum group theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. x+607 pp. $40: Aubin, Thierry Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 252. Springer-Verlag, New York, 1982. xii+204 pp. $48: Varadarajan, V. S. Lie groups, Lie algebras, and their representations. Prentice-Hall Series in Modern Analysis. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1974. xiii+430 pp. $50: van der Waerden, B. L. Algebra. Vol 1. Translated by Fred Blum and John R. Schulenberger Frederick Ungar Publishing Co., New York 1970 xiv+265 pp. Vol. 2. Translated by John R. Schulenberger Frederick Ungar Publishing Co., New York 1970 xii+284 pp. $30: Weil, André Basic number theory. Third edition. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 144. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. xviii+325 pp. $25: Zariski, Oscar; Samuel, Pierre Commutative algebra. Vol. 1. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975. xi+329 pp. $16: Jacobson, Nathan Lie algebras. Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ix+331 pp. $60: Jost, Jürgen Riemannian geometry and geometric analysis. Fourth edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xiv+566. $60: Petersen, Peter Riemannian geometry. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, New York, 2006. xvi+401 pp. $29: Mashaal, Maurice Bourbaki. A secret society of mathematicians. Translated from the 2002 French original by Anna Pierrehumbert. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. ii+168 pp. $70: Lazarsfeld, Robert Positivity in algebraic geometry. I. Classical setting: line bundles and linear series. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 48. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+387 pp. II. Positivity for vector bundles, and multiplier ideals. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 49. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+385 pp. $35: Stanley, Richard P. Enumerative combinatorics. Vol. 1. With a foreword by Gian-Carlo Rota. Corrected reprint of the 1986 original. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 49. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. xii+325 pp. $35: Ahlfors, Lars V. Lectures on quasiconformal mappings. Second edition. With supplemental chapters by C. J. Earle, I. Kra, M. Shishikura and J. H. Hubbard. University Lecture Series, 38. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. viii+162 pp. $29: Adams, Colin C. The knot book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Revised reprint of the 1994 original. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. xiv+307 pp. $40: Francis, George K. A topological picturebook. Reprint of the 1987 original. Springer, New York, 2007. xvi+194 pp. $30: Goldblatt, Robert Topoi. The categorial analysis of logic. Second edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 98. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984. xvi+551 pp. Comments | Comment on this Imported event Original
Tuesday, December 4th, 2007
1:20 am	Теперь в двух местах Поскольку наблюдается большая миграция из LiveJournal в GreatestJournal, зарегистрировался также и там. Встречайте: http://dmitri-pavlov.greatestjournal.com/ Жалко только, что комментарии туда так просто не импортируешь — надо возиться с программой. Или есть другие способы? Кто-нибудь знает, кто контролирует GreatestJournal? Мне не удалось найти никакой информации об этом. Imported event Original (9 Comments |Comment on this)
Sunday, December 2nd, 2007
9:58 pm	Пора уходить Пророчество сбылось. Поскольку только lj.rossia.org обладает достаточно большим количеством интересных мне пользователей, ухожу туда. Поскольку их сервера скоро покинут Россию, это обоснованно. Встречайте: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/. После отправки этого поста буду импортировать свой журнал туда. Некоторое время (быть может, достаточно большое) буду сохранять своё присутствие в LiveJournal, до тех пор, пока он будет представлять для меня интерес. (Я полагаю, что скоро здесь будет очередной li.ru и интерес мой скоро исчезнет.) Комментарии можно будет оставлять как здесь, так и там. Периодически все новые комментарии здесь будут импортироваться туда. Через некоторое время все посты будут стёрты. Мне интересно узнать мнение своих друзей: собираетесь ли вы оставаться здесь, удаляться или переезжать, и если переезжать, то куда и когда? Imported event Original (13 Comments |Comment on this)