| 12:24p |
Многомерный вычет
Рассмотрим рациональную 2-форму (скажем, dz_1 dz_2 p(z_1, z_2) / q(z_1, z_2), где p и q - полиномы) на CP^2, и проинтегрируем ее по какому-нибудь 2-циклу, не пересекающему ее сингулярности, которую обозначим D. С одной стороны, рациональная форма замкнута вне D и ее интеграл зависит только от класса гомологий цикла в CP^2 \ D. С другой стороны, такой интеграл можно вычислять с помощью т.н. "многомерных вычетов". Рецепт (из теорфизического фольклора) состоит в том, что надо найти на D коническую точку (такое бывает, если знаменатель формы разлагается на два взаимно простых множителя q_1 и q_2, с пересекающимися множествами нулей). Вычет определяется, как интеграл по маленькому тору, обходящему вокруг нулей q_1 и q_2, после чего для подсчета всего интеграла надо отлько грамотно скомбинировать вычеты, с правильными знаками.
К изложенному рецепту есть две претензии. Во первых, носителем вычета объявляется нульмерный объект, что как-то противоречит очевидным соображениям размерности (изъятие точки из четырехмерного многообразия не меняет H_2). Во вторых, интеграл может быть ненулевым даже в отсутствие конической точки - например, возьмем форму
dz_1 dz_2 / (z_1 z_2 + \epsilon)
и проинтегрируем по тору |z_1|=a, |z_2|=a, a^2>\epsilon.
Вопрос - а существует ли правильный рецепт для вычислений с "многомерным вычетом"? И где про такое можно прочитать? |