Mathematics in Russian
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Friday, February 9th, 2007

    Time Event
    2:09p
    Hall's universal group
    Замечательная штука - Hall's universal group,
    Названа так в честь математика по имени Philip Hall, который
    придумал ее в статье

    Hall, P.
    Some constructions for locally finite groups.
    J. London Math. Soc. 34 1959 305--319.

    Универсальная группа Холла U
    характеризуется следующими свойствами.

    1. Она ``локально конечна``, то есть все ее конечно
    порожденные подгруппы конечны.

    2. Для любой конечной группы G, задано вложение
    G\arrow U.

    3. Любые два таких вложения сопряжены
    внутренним автоморфизмом U.

    * * *

    Строится она весьма просто. Возьмем любую конечную группу
    G порядка больше 2. Обозначим за S_G группу перестановок
    элементов G. Поскольку G действует на себе перестановками,
    имеем вложение G \arrow S_G. Рассмотрим предел подобных
    вложений:
    \[
    G \arrow S_G \arrow S_{S_G} \arrow S_{S_{S_G}} \arrow ...
    \]
    Этот предел и есть универсальная группа Холла.
    Свойство 2 очевидно, потому что U содержит симметрическую
    группу сколь угодно большого порядка. Свойство 3
    тоже очевидно. Действительно, пусть G_1 вкладывается
    в U двумя способами. Поскольку U есть прямой предел,
    G_1 вкладывается (двумя способами) в какой-то из ``этажей`` этой
    коснтрукции, положим например $\Gamma_i := S_{... S_{S_G}}$.
    Но следующий этаж, $\Gamma_{i+1}:= S_{\Gamma_i}$
    действует на $\Gamma_i$ перестановками,
    а значит, переставляет любые вложения
    из $G_1$ в $\Gamma_i$.

    По-моему, замечательно.

    Привет

    << Previous Day 2007/02/09
    [Calendar]
    Next Day >>

About LJ.Rossia.org