доказательство теоремы Громова о группах полиномиального роста
Тао в своем блоге излагает
доказательство Клейнера теоремы Громова о группах полиномиального роста. По модулю
альтернативы Титса - весьма доходчиво.
Группа полиномиального роста, если кто-то не помнит -
конечно порожденная группа, в которой количество
элементов, заданных N-буквенными словами, растет
не быстрее полинома от N. Громов доказал, что
такая группа виртуально нильпотентна, то есть
проектируется в конечную с нильпотентным ядром.
Доказательство довольно сложное, и использует
решение пятой проблемы Гильберта (тот факт,
что локально связная, локально компактная
топологическая группа есть группа Ли). В версии
Клейнера пятая проблема Гильберта не используется.
Вместо этого Клейнер доказывает, что пространство
гармонических функций полиномиального роста
на графе Кэли конечномерно для каждой степени.
Альтернатива Титса утверждает, что конечно порожденная
подгруппа GL(n) либо проектируется с разрешимым ядром в
конечную, либо содержит свободную группу от двух
образующих.
Привет