| 12:35p |
Действительная некоммутативная геометрия?
В физической задаче возникла математическая конструкция, явно принадлежащая более широкому контексту. Хотелось бы понять, какому.
Конструкция такая – дана группа, рассматривается ее групповая алгебра над R (действительная структура важна). В группе может быть подгруппа индекса 2, тогда групповая алгебра имеет естественную Z_2 градуировку. Рассмотрим (ортогональное) представление этой алгебры в действительном Гильбертовом пространстве, и его изотипическое разложение по неприводимым представлениям либо всей алгебры, либо, если она градуирована, ее четной подалгебры. Если алегбра градуирована, то нечетные элементы действуют в пространстве кратности (как по русски будет multiplicity space?) каждого неприводимого представления оператором, квадрат которого будет либо +1, либо -1 (точнее, бывает так, что два неэквивалентных неприводимых представления переставляются, но тогда оператор надо рассматривать действующим в сумме их пространств кратности). Кроме того, сами неприводимые представления над R бывают трех типов, в зависимости от коммутанта – действительными, комплексными и кватернионными. Соответствующий коммутант также действует на пространствах кратности. Всего получается 10 вариантов (на первый взгляд 9=3х3, три варианта коммутанта – R, C и H и три возможности – нет градуировки, или она есть, и квадрат нечетных элементов в multiplicity space +1 или -1, но на самом деле один из вариантов распадается на два). Совместное действие коммутанта и нечетных элементов (если они есть) на пространстве кратности, как оказалось, есть представление одной из алгебр Клиффорда, при этом 10 вариантам соответствуют 10 классов эквивалентности этих алгебр (8 действительных и 2 комплексных).
В физической задаче интересно изучать классы проекторов в исходном действительном Гильбертовом пространстве, градуированно-эквивариантных относительно действия групповой алгебры. Эти проекторы переносятся в пространства кратности соответствующих неприводимых представлений, которые, как сказано выше уже являются модулями Клиффорда. Сооветственно, если классы неприводимых представлений дискретны (группа конечна или компактна), то задача сводится к одной из десяти K-теорий точки. А что если нет, и дуальный объект устроен сложнее? Мне бы казалось, что эти задачи должны относиться к области «некоммутативной геометрии», но в действительном, а не комплексном варианте. Смущает, правда, что порядок К-теории может менятся от точки к точке дуального объекта (это как, нормально?). На что это вообще похоже? Что бы почитать по теме? |