| 6:05p |
"ортогонализация с ограничениями"
Имеется на первый взгляд несложная задача.
Нужно построить на отрезке [0,1] полную систему
ортогональных полиномов порядка не выше p вида:
$L_0(x) = x * M_0(x)$
$L_i(x) = x * (1-x) * M_i(x), i=1,..p-1$
$L_p(x) = (1-x) * M_p(x)$
$(L_i, L_i) = 1, i=0,..p$
$M_i$ также полиномы порядка p-1 или p-2.
Скалярное произведение - обычное в $L^2$ : $(a,b) = int_0^1{a(x)*b(x) dx}$.
К этой задаче сводится задача построения ортогонального базиса для МКЭ
на ортогональной сетке.
Вот. Решение существует для p >= 3 - начиная с 3 число неизвестных
больше или равно числу уравнений. Для p=3 оно единственно. Процентов
на 90 задача решается тривиально - финитные полиномы (т.е. со второго
по p-1ый) ортогонализуются обычной процедорой Грама-Шмидта. Однако,
вызывают сложности первый и последний.
Вопрос - есть ли какая-то аналитическая процедура, которая может
приводить к подобному? И куда можно копать вообще? В более-менее
доступной литературе/гугле никакой "ортоголизации с ограничениями"
или чего-то подобного я не нашел.
Полиномы Лежандра и пр. товарищей очевидно не подходят.
Идея ортогонализации $M_i$ с весами $x^2 (1-x)^2$ тоже не работает
(или может заработать?).
Численное же решение оказалось весьма трудным - у всех на данный момент
испробованных функционалов (при сведении к задаче оптимизации) или при
использовании метода Ньютона выплывает масса всяких локальных минимумов
и прочих прелестей. |