| 5:44p |
теория Галуа
В гротендиковском подходе к теории Галуа изучается морфизм X \to Y и рассматривается fibre product в соответствующей категории (колец или схем или топологических пространств), X \times_Y X, при этом элементы группы Галуа Gal(X/Y) соответствуют его подалгебрам (компонентам связности), изоморфным X.
Насколько эта идеология работает, если рассматривать алгебры над k, не обязательно являющиеся полями (или несвязные накрытия)? Пусть K = \oplus K_i, где K_i --- поле, расширение k. По идее, чтобы такую алгебру считать "расширением Галуа", нужно по крайней мере потребовать чтобы каждое K_i было расширением Галуа. Но может оказаться, что размерность K как k-алгебры не совпадает с порядком n группы Gal(K/k) (например, когда все K_i изоморфны, Gal(K/k)=S_m \times Gal(K_i/k), а dim K = m|Gal(K/k)|). То есть оставить исходное определение, что K \otimes_k K есть прямая сумма n копий K нельзя. И как тогда найти группу Галуа в K \otimes_k K? |