| 3:49a |
Идеалы и факторалгебры
Вопрос по алгебре; элементарный, видимо.
Пусть A — это коммутативная алгебра (над полем характеристики нуль, если это важно), а I, J это идеалы в ней, и при этом I ⊂ J. Вопрос: какими хорошими свойствами должны обладать I и J, чтобы A/J ⊂ A/I как алгебры? (При этом можно не требовать от вложения унитальности, поскольку у меня сама A необязательно унитальная.)
На всякий случай: у Бурбаки в «Линейной Алгебре», там, где рассказывается про факторалгебры (Гл. II, § 7), я ответа не увидел.
Первое, что приходит в голову: A/J = (A/I) / (J/I) (для колец это так, но мало ли что там в случае алгебр может произойти, не знаю). Приходим к
0 → J/I → A/I → A/J → 0,
а дальше... дальше я теряюсь, потому что нетвёрдо ещё тут ориентируюсь. Если она расщепляется, то этого, вроде, достаточно, и, стало быть, достаточно требовать A/I = (J/I) ⊕ (A/J). Но расщепление ведь не необходимо, правильно? А может быть, всё ещё проще, и не надо было эту последовательность рисовать? |