| 3:51a |
когомологии групп
Пусть G проконечная группа, A — G-модуль. Из общих соображений можно ли найти какую-то связь между H^q(G,A \times A) и H^q(G,A)?
Мотивирующий пример: H^1(Gal(k^sep/k), \mu_n \times \mu_n), где k^sep сепарабельное замыкание k, содержащего корни из единицы n-й степени; поскольку действие G тривиально, это на самом деле Hom(Gal(k^sep/k),\mu_n \times \mu_n) — гомоморфизмы имеются в виду непрерывные. Каждый такой гомоморфизм задаётся отображеним из группы Галуа поля, являющегося композитумом двух линейно независимых циклических расширений k, в \mu_n \times \mu_n, фиксируем примитивные элементы групп Галуа каждого из двух полей и пошлём их в примитивные элементы каждой из \mu_n. Когда считаем H^1(Gal(k^sep/k), \mu_n) получается то же самое, но расширение одно, а вообще по теории Куммера получается k^*/(k^*)^n. Видно, что вообще говоря H^1(Gal(k^sep/k), \mu_n \times \mu_n) не просто произведение двух k^*/(k^*)^n; я честно говоря затрудняюсь назвать, чем первое является в терминах второго. Интересно, нет ли каких-то общих соображений, в которые ложится этот пример?
upd: прошу прощения, я почему-то думал, что у когомологий Галуа нет длинной точной последовательности по второму аргументу; что-то переклинило, и мне показалось, что это производный функтор функтора, определённого на категории групп (что полный бред, потому что она неабелева), а не G-модулей. |