вопрос про формальные схемы пусть A \to A^1 плоское семейство многообразий, такое, что слои не над
0 абелевы многообразия (а слой над нулём A_0 в принципе может быть
что-то негладкое). если сделать замену базы для какого-то морфизма
Spec k[[x]] \to A^1 посылающего замкнутую точку в ноль, и пополнить,
получим формальную схему, то есть пучок топологических колец L и пучок
идеалов I на пространстве A_0 (специальный слой), такой, что L/I изоморфен
O_{A_0}.
конструкция Мамфорда позволяет получать такую формальную схему
напрямую, через "неархимедову униформизацию". в случае вырождения
эллиптической кривой это делается так: берётся формальная P^1 и
раздувается бесконечное число раз в специальном слое. на полученной
формальной схеме (не конечного типа) действует Z, посылающая копии P^1
друг в друга в бесконечной цепочке. по действию Z берётся фактор, и
доказывается, что получается проективное многообразие с помощью
Grothendieck existence theorem (путём продолжения обилного пучка со
специального слоя фактора на всю формальную схему).
у меня в связи с этой конструкцией три вопроса:
1) а как строить неалгебраизируемые вырождения? они должны быть,
потому что можно заставить семейство неалгебраических торов вырождаться
в алгебраический (алгебраичность --- замкнутое условие на периоды)
2) можно ли из конструкции явно вытащить инфинитецимальные утолщения
A_0, то есть ограничения формальной схемы на Spec k[x]/x^n ? в случае
конструкции мамфорда можно явно выписать порождающие сечения обильного пучка на
формальной схеме и получить наверное из них эти утолщения (вроде бы,
это делают
Алексеев и Накамура), но что делать в неалгебраическом
случае?
3) а не известен ли способ строить такие формальные деформации стартуя со специального
слоя? с случае эллиптических кривых специальный слой это несколько штук
пересекающихся P^1. может взять их стандартные утолщения, как-то хитро поклеить,
и продолжив по индукции получить формальную деформацию? аналогичный вопрос про то,
можно ли это сделать тогда, когда деформация неалгебраизуема