Щас скажу =)

Мое видение происходящего состоит примерно в следующем: проблемы, которыми занимается математика делятся на три вида - алгебра, анализ и геометрия. Конечно возможны различные сочетания и применения методов одного из разделов к другим (классический пример, на который недавно обратил мое внимание Бурман - алгебраическая топология изучает геометрию пространств используя алгебраическую технику и имея аналитические основания).

Алгебра занимается формальными объектами и операциями, не имеющими непосредственной визуальной интерпретации. Геометрия (в том числе топология, кроме общей топологии) занимается объектами имеющими визуальную интерпретацию, хотя-бы на уровне аналогий. Анализ занимается вопросами сходимости, определениями естественных понятий (типа предел, интеграл и т. д.) и всякими патологическими пространствами типа гильбертового.

То есть, если мы занимаемся определением понятия объема куба, то это анализ, если мы его вычисляем, то это геометрия, а если находим количество вершин, ребер и граней, то алгебра (т. к. решить последний вопрос в случае произвольной размерности геометрическая интуиция, прямо скажем, не очень помогает).

В первом семестре НМУ я считаю разумным на геометрии изучать векторные пр-ва (в первую очередь над R), аффинные, евклидовы пр-ва, всякие фигуры и углы в них, туда же все геометрическое про определители-объемы, кривые второго порядка, классические группы Ли.