По теории меры есть классический Халмош, ещё более классический Сакс "Теория интеграла" (её не нужно воспринимать как учебник, нет, но она хорошо написана и её легко читать).

Есть книжка Фолланда, по которой это много где преподают на западе. Называется Real Analysis Modern Techniques and their applications. Она плотная и читается не легко. Пользуются потому, видимо, что изложение короткое и довольно общее.

Есть очень хороший учебник Рудина Real and Complex Analysis. Там много красивых выводов и непростых задач. Сама мера там строится не как функция на сигма алгебре измеримых множеств, а как функционал на пространстве функций. Если меру преподают первый раз, то такой подход обычно не используют, потому что не так наглядно.