Задачка из Давидовича:
Докажите, что отображение обратимо тогда и только
тогда, когда оно взаимно однозначно

Если $f: X \to Y$ обратимо, то $\exists y: Y \to X$ такое, что $f \circ g = g \circ f = Id$. Из этого следует, что $f$ и $g$ инъективны (в противном случае композиции не тождественны). Это значит, что $\forall y \in Y$ $f^{-1}(y)$ состоит не более чем из 1 элемента. Если $f$ инъективно и предположить, что есть $y$ такой, что $f^{-1}(y) = \emptyset$, то $g$ будет уже неинъективно, что противоречит обратимости $f$, значит у каждого $y \in Y$ только один прообраз, что есть определение взаимной однозначности.
Не очень понятно, как строго доказать обратное. Если $f$ -- взаимно однозначно, то $\exists g: Y \to X$, которое будет каждый $y$ отображать в тот $x$, который $f(x) = y$ и это вроде как очевидно.