m - Математическое: чем занимается теория моделей ?

m - Математическое: чем занимается теория моделей ?

[	userinfo	\|	ljr userinfo	]
[	archive	\|	journal archive	]

Математическое: чем занимается теория моделей ?

[Aug. 8th, 2004|06:06 pm]

[

Current Mood

hopeful

]

Мы берем какой-нибудь математический объект (пространство со структурой) и хотим связать с ним к-нибудь самодостаточную, алгебраическую бурбакисткую структуру: последние термины понимаются формально. Алгебраическую --- ну например выделенных множеств не более чем счетное число. Самодостаточную --- она должна описываться своими "простейшими алгебраическими" свойствами-аксиомами с точностью до изоморфизма. Какие свойства "простейшие алгебраические"---опять-таки счетные по сути: можно брать счетно-бесконечные пересечения, объединения, дополнения, проекции конечно-мерных множеств---но нельзя рассматривать бесконечно-мерные множества (их элементы---бесконечные посл-ти, а это уже континуум! этот аргумент остается в силе, даже если у нас точек континуум---речь именно о счетном характере самого свойства.)

В теории моделей мы имеем богатую теорию самодостаточных, алгебраических бурбакистких структур: таких структур мало, и они в каком-то смысле комбинаторно-геометричны. Называются они категоричными (в некотом инфинитарном) языке L_{\omega_1\omega}.

Мы верим, что многие структуры, важные (ака часто встречающиеся) в обычной математике---обладают такими свойствами:

*) множество --- тривиальный пример, выделенных подмножест нет

**) векторное простванство (над счетным кольцом)---выделен 0, график сложения, графики умножения на константу.

***) алгебраически замкнутое поле---выделены 0, 1, +, *,

***") множество точек многобразия над алг. замкнутым полем---выделены подмн-зия, определенные над полем опредения объемлющиго мн-зия.

Это были классические примеры структур, категоричных в языке перваго порядка. Есть и другие примеры, хотя бы гипотетичски.

Чем занимаюсь я ?

Я занимаюсь поиском-доказательставом подобного описания для универсального накрывающего пр-ва многобразия комплексных точек алгебраического многообразия.

Структура, сязанная с таким накрытием---выделенныв мн-ва --- компоненты связности прообразов алгебраических подмногообразий. По сути такая структура позволяет говорить о гомотопических классах путей на мгогобразии (в комплексной топологии).

Почему эта задача интересна ? Внутри т.моделей --- как нетривиальный пример категоричности.

Но гораздо более интересно, что условия категоричности ("самодостаточности") оказываются связанными с интересными арифметическими и геометрическими утверждениями.

Одно из необходимых условий сводится к следующему геометрическому свойству:

№) Пусть f: X --> Y морфизм нормальных проективных алг. многообразий,
i :Z\subset Y любое подмногообразие. Тогда

im[f_* ( i_*( \pi_1 (Z) )--> \pi_1 (Y)] имеет конечный индекс в
\pi_1( clousure f(Z) ) .

Это утверждения следует из о г. Шафаревича о стейновости универсального накрывающиго пр-ва, и связянного с этим св-вом о существовании морфизмов Шафаревича (в терм. Коллара), "стягивающих данныю подгруппу фунд. группы).
Я его нигде не встречал, и хотел бы знать, насклолько она характерно именно для алгебраических многообразий.

Для эллиптичской кривой --- морфизмы Шафаревича просто линейные отображения. Утверждение Серра о представлениях Галуа о том, что они наибольшие возможные, получается как другое необходимое условие для категоричгости данной струкруры накрытия. Что даже, наверное, интереснее. В принциме сформулировать можно и для других алгебраических многообразий. Кривых Шимура, полуабелевых мн-зий...

Link