Опять глупые вопросы
Сергей Александрович!
Примите критики?

Определение модуля и его вариаций было дано настолько хорошо, что я даже не поверил что такое возможно. А вот теорему об изоморфизме модулей порожденных одинаковым числом элементов понять так и не удалось. Я, в силу своей ограниченности знаний, так и не понял она ли это вообще. Скорее всего да.

Суть дела. Вы говорите о том что конечнопорожденный модуль над кольцом,например, есть само кольцо(базис этого модуля один элемент - почему-то Вы умолчали об этом, на самом деле не так очевидно все, при первом знакомстве то.). Далее берем прямую сумму экземпляров таких колец и говорим что это свободный модуль ( кстати было бы интересно услышать почему именно такое название, есть мнение что содержательная история в его основе) т.е. модуль порожденный своим базисом (а1....аn) где аi - порождающие модуль над каждым кольцом в сумме. Нулевой модуль является свободным(и почему если да? про пустое множество верно все?)?

Далее мы говорим что такое конечнопорожденный модуль (вообще говоря свободный модуль тоже является таким, по мне так путаница дикая) если модуль конечнопорожден, то наша прямая сумма(i.e. "свободный") в него вкладывается при учете того что слагаемых в прямой сумме меньше или равно чем образующих модуля (?). Легко установить что как минимум гомоморфизмом это является. т.е. для любого (a1.....an) есть ему в соотв элемент a1x1+....+anxn "натянутый" на порождающие модуля. ну и действие заложено в отображении (a1.....an) -> a1x1+....+anxn т.е. ф(ai*e)=ai*ф(xi), где e порождающие колец из суммы т.е. грубо говоря отображение поменяло базис, а действие в старом соответсвует действию в новом(это верно?)

А вот дальше непонятно. Что значит что модуль определяется с точностью до изоморфизма ядром отображения?
Я читал это в Ленге когда-то и там достаточно лаконично было написано что если базисы одинаковой размерности то модули изоморфны, модули над одним кольцом ессно. А если вложение есть, но во втором модуле беда с базисом то всего гомоморфизм. Вообщем никак не могу это с Вашими рассуждениями соединить, к сожалению( Не понятно зачем тут фактор-модуль и вообще по какой причине конструкции в лекции изоморфны. В смысле Ленга изоморфизм понимаю.

з.ы. обвиняю скорее себя из-за того что въехать не могу.