в степени икс

     Размышляя над тем, «что смешнее, приколы вроде вида «25/5=14» [кстати, кто не смотрел - советую (english required)] или шутки вроде «шла террористка по метро, увидела поезд стоит, села в него и взорвалась^(*)»», вспомнил про функцию возведения в степень (реализованную над полем действительных чисел). Да, ту самую, что в школе проходят, которая "a в степени n - это a умноженное само на себя n раз". Она, если повнимательней посмотреть, тоже местами как тот "ситец весёленьких расцветочек^(**)" - прямо обхохочешься, даром что из школьной программы.

     Напомню. Для целочисленного положительного показателя степени aⁿ - это a умноженное само на себя n раз. Для степени вида a^1/n - это такое число c, что cⁿ=a. Для a^m/n - это (a^m)^1/n. Как вводится понятие степени для иррациональных показателей - лучше не задумываться, мозг целее будет (либо через предел, либо через комплексные числа).

     Копнём поглубже (для простоты - копать будем только на поле действительных чисел, и только для степени (-1)^x, x>=0).
     (-1)¹=-1. Это понятно.
     (-1)⁰=1. Нулевая степень вводится отдельно, "ручками", поэтому "дети, понять это невозможно, запомните это".
     (-1)²=1. И так для любой чётной степени (в смысле, (-1)²ⁿ=1). Для любой нечётной - (-1)²ⁿ⁺¹=-1. Это тоже понятно.
     (-1)^1/2=NaN (в смысле, не существует). И так для любой (-1)^1/(2n) - нужно число, которое в чётной степени давало бы -1, а чётные степени всегда неотрицательны.
     (-1)^1/3=-1. И так для любого корня нечётной степени (-1)^1/(2n+1), что, в-общем, тоже понятно. А вот (-1)^2/3=1, ибо это ((-1)²)^1/3, то есть "корень третьей степени из +1", а он равен +1.

     Пока вроде всё хорошо, верно? Продолжаем :-)
     (-1)^m/2n - не существует для любых целых m и n (таких, что m и 2n - взаимно простые числа). Для взаимно простых m и (2n+1), (-1)^m/(2n+1)=-1 если m - нечётное, и (-1)^m/(2n+1)=1 если m - чётное. При этом, напомню, (-1)²ⁿ⁺¹=-1, а (-1)²ⁿ=1. А в иррациональных точках (-1)^x определяется с помощью хитрой магии, которую я, честно говоря, так и не понял.

     То есть, скажем, (-1)^{1999999/999998} не существует, ибо 999998 - чётное, (-1)^{1999999/999999}=-1, ибо и числитель и знаменатель - нечётные, зато (-1)^{2000000/999999}=1, поскольку числитель чётный, а знаменатель - нет, но (-1)^{2000000/1000000} опять равен 1 ибо это тупо (-1)². При этом "почти везде" (иррациональных чисел "намного больше", чем рациональных) степень определена при помощи "магии" (пределов или ТФКП); NaN, +1 и -1 не просто "чередуются" (то же самое верно и для 199/99, и для 1999999999999/999999999999, и для любой конечной длины дроби), а "хитрым образом перемешаны, фиг пойми как" (в частности, сколь угодно близко к произвольной точке с NaN найдётся точка с -1, и наоборот); а с периодичностью 2 (в каждой чётной точке) степень внезапно превращается в 1. При этом если "для простоты" доопределить степень в точках (-1)^m/2n при помощи той же магии, которая применяется для иррациональных показателей степени (например, через предел, чтобы степень была определена на всём луче x>=0), или переопределить степень в чётных точках (например, через тот же предел - получится опять (-1)) - подозреваю, что математика "сломается" так, что в школе вместо корней квадратного уравнения придётся продолжать учить счёт на счётных палочках (впрочем, ТФКП скорее всего выстоит, хотя - не уверен).

     И это - понятие "степени" в том виде, в котором его дают в школе! Классе в шестом примерно, если не в пятом. И только для тривиального (-1)^x - а если заняться изучением какого-нибудь (-π)^x, да ещё для отрицательных x? Всё ведь на самом деле очень просто, не правда ли - школьная ведь программа, причём совсем не старших классов? ;-)


     (*) интересно, что языковая среда явно требует создания меметического маркера для обозначения "несмешного из-за затёртости анекдота" (именно не "анекдота с бородой", а истёршегося из-за частого упоминания). Во времена фидошные эту роль выполнял "анекдот про курочку и яичко", потом фидошники разбежались и растворились среди интернетчиков, анекдот про курочку был утрачен как массовый мем... и относительно недавно возродился в виде "горящего медведя".

     (**) тоже анекдот:
         - Алё, это магазин "ткани"?
         - [мрачно] Да.
         - А скажите, у вас есть бязь, такая чтобы светло-голубенькая?
         - Да, есть.
         - А есть у вас ещё гипюр, светлый, и чтобы в ажурный такой цветочек?
         - Да, есть.
         - А есть у вас ещё ситец, такой чтобы весёленьких расцветочек?
         - Приезжайте. Обхохочетесь.