____shine___

2862
Само разложение делается так:

$\displaystyle \frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1-x}{1-x^3}=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}-x\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}=$

$\displaystyle =1\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}-1\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n+1}+0\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n+2}=\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k,$

где

(1)

А вот теперь эти предельно понятные формулы, для того, чтобы их смысл вбить в одну, мы начнём портить. Итак, какой должна быть функция ? Во-первых, она должна быть периодической с периодом 3. В качестве такой функции можно взять, например, $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}n\right)$ . Во-вторых, она должна быть нулевой при . Для этого необходимо к аргументу прибавить : $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}n+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}(n+1)\right)$ . Полученная функция $f(n)\equiv\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}(n+1)\right)$ имеет такие значения: $f(0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $f(1)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и . Для того, чтобы подогнать её под условия (1) на первой тройке неотрицательных целых чисел, осталось лишь разделить её на . Итак,

$\displaystyle a_n=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{2\pi}{3}(n+1) \right)$

Проверим выполнение условий (1) непосредственно:

$\displaystyle a_{3k}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{2\pi}{3}(3k+1) \right)=\......rt{3}}\sin\left(\frac{2\pi}{3} \right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{2}=1,$

$\displaystyle a_{3k+1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{2\pi}{3}(3k+1+1) \righ......{3}}\sin\left(\frac{4\pi}{3} \right)=-\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{2}=-1,$

$\displaystyle a_{3k+2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{2\pi}{3}(3k+2+1) \right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(2\pi k+2\pi \right)=0.$