____shine____: Филиппов, уравнение 121

Филиппов, уравнение 121
Уравнение было таким:

$\displaystyle x^3(y'-x)=y^2$

Сначала надо совершить замену переменных, чтобы привести уравнение к однородному:

$\displaystyle x^3(mz^{m-1}z'-x)=z^{2m}$

и разделим его на

$\displaystyle m\frac{z^{m-1}}{x}z'-1=\left( \frac{z^m}{x^2} \right)^2.$

Однородным оно будет, если

$\displaystyle 2\frac{z}{x}z'-1=\left( \frac{z}{x} \right)^4$

Далее делаем следующую замену:

$\displaystyle 2u(u'x+u)-1=u^4\quad \Longrightarrow \quad \frac{du}{dx}x=\frac{u^4+1}{2u}-u=\frac{(u^2-1)^2}{2u},$

разделим переменные, проинтегрируем и произведём обратные замены:

$\displaystyle \ln \vert x\vert +C_1=\ln\vert Cx\vert=\frac{-1}{u^2-1}=\frac{1}{1-\left( \frac{z}{x}\right)^2}=\frac{x^2}{x^2-y}$

$\displaystyle x^2=(x^2-y)\ln\vert Cx\vert.$

Этот ответ практически совпадает (за исключением забытых модулей) с ответом в Филиппове.