____shine____: ММФ: Даишев, Никитин

ММФ: Даишев, Никитин - уравнение 8
Решение восьмого уравнения

$\displaystyle x^2U_{xx}-2xyU_{xy}+y^2U_{yy}+xU_x+yU_y=0$

я решил для подстраховки выложить целиком. Начнём с приведения его к канонiческому виду. Выпишем коеффициенты при вторых производных

. Дискриминант

, следовательно уравнение является параболическим, $\lambda=\dfrac{y}{x}$ . Только одну вторую производную мы сможем занулить гарантировано. Для ускорения набора и увеличения читаемости текста обозначим новые переменные как

, а не

. Функцию

найдём из условия

$\displaystyle \frac{s_x}{s_y}=\lambda=\frac{y}{x}\quad \Longrightarrow \quad xs_x-ys_y=0,$

при этом характеристическое уравнение будет таким:

$\displaystyle \frac{dx}{x}=\frac{dy}{-y}\quad \Longrightarrow \quad \ln x=\ln y+C\quad \Longrightarrow \quad xy=C.$

Следовательно,

. Функцию

найдём из условия

. Для определённости положим, что

$\begin{displaymath}J=\left\vert\begin{array}{cc}s_x & t_x \\ s_y & t_y\end{array} \right\vert =yt_y-xt_x=1.\end{displaymath}$

Этому условию, что нетрудно проверить, удовлетворяет

. Итак,

$\begin{displaymath}\boxed{\left\lbrace\begin{array}{l}s=xy \\ t=\ln y\end{......race\begin{array}{l}y=e^t \\ x=se^{-t}\end{array}\right.}\end{displaymath}$

Теперь начнём тяжёлую работу по замене свободных переменных в уравнении. Выразим производные по старым переменным через производные по новым переменным:

$\begin{equation*}\begin{aligned}U_x= & U_se^t \\U_y= & U_sse^{-t}+U_te^{-t}\end{aligned}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\begin{aligned}U_{xx}= & U_{ss}e^{2t} \\U_{xy}= & U_{ss}s+U......-2t} +2U_{st}se^{-2t} +U_{tt}e^{-2t} -U_{t}e^{-2t}\end{aligned}\end{equation*}$

Подставим полученные производные в уравнение:

$\begin{displaymath}\begin{split}s^2e^{-2t}\left( U_{ss}e^{2t}\right) -2s\left( U......t\right) +e^t\left( U_sse^{-t}+U_te^{-t}\right) =0. \end{split}\end{displaymath}$

Раскрыв скобки, мы получим

$\displaystyle s^2U_{ss}-2s^2U_{ss}-2sU_{st}-2sU_s+U_{ss}s^2+2U_{st}s+U_{tt}-U_t+U_ss+U_ss+U_t=0,$

от чего после сокращения останется, что

. Решение этого уравнения достаточно очевидно:

$\displaystyle \boxed{U=\ln y\varphi(xy)+\psi(xy)}$