Филиппов, 811 и 846
811 Решим систему т.е. , где Характеристическое уравнение приводит к , что означает, что действительно, , , как и было указано в задачнике. Найдём собственные векторы, принадлежащие этому собственному значению, и выясним размерность пространства, которое образуют эти векторы. Таким образом, векторы, принадлежащие собственному значению , образуют одномерное пространство, т.е. (см общий алгоритм решения в таких случаях в Филиппове). Из этого следует, что решение системы следует искать в виде

Подставляя этот вектор в исходную систему и сокращая , получим: Теперь приравняем коэффициенты при равных степенях : Первое, четвёртое и седьмое уравнения из этой системы эквивалентны и содержат три неизвестных: , , и . Из них можно вывести, что . Заменяя и выбрасывая рассмотренные уравнения из системы, получим: Из пятого, шестого и второго уравнений последней системы следует, что

Подставляя выражения для этих коэффициентов в оставшиеся уравнения, получим, что . Следовательно, и . Коэффициенты же , и не ограничиваются этой системой никак, и с учётом найденного мы можем записать следующее трёхпараметрическое решение: Переобозначив , , запишем конечный ответ: 846 У системы матрица имеет вид следовательно , . Из этой пары сопряжённых корней выделим и запишем комплексное решение для него: Как известно, самостоятельными частными решениями однородной системы являются и общее решение однородной системы записывается в виде Будем искать решение неоднородной системы в виде Подставив его в систему, получим (см. объяснения на паре): Умножив первое уравнение на второе - на и сложив эти уравнения, мы получим, что . Аналогично умножив первое уравнение на второе - на и снова сложив эти уравнения, мы получим . Отсюда , , Т.е.