____shine___

3678
Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$\displaystyle u=x^2+2y^2+3z^2$

в области, заданной условием

$\displaystyle x^2+y^2+z^2\leqslant 100.$

(1)

Решение: Найдём множество точек, в которых функция

может достигать наибольшего и наименьшего значений. 1) Внутренние точки Внутри рассматриваемой области найдём стационарные точки для функции

, для чего приравняем нулю все производные

$\begin{displaymath}\left\lbrace\begin{array}{l}2x_1=0\\4y_1=0\\6z_1=0\\ ......\begin{array}{l}x_1=0\\y_1=0\\z_1=0\\\end{array}\right.\end{displaymath}$

Координаты этой точки явно удовлетворяют условию (1), следовательно её нужно проверить. 2) Точки на поверхности Теперь найдём стационарные точки, лежащие на поверхности рассматриваемой области. Координаты этих точек удовлетворяют уравнению

. Составим функцию Лагранжа: $L=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x^2+y^2+z^2-100)$ и найдём её стационарные точки:

$\begin{displaymath}\left\lbrace\begin{array}{l}2x+2\lambda x=0\\4y+2\lambd......0\\z(3+\lambda) =0\\x^2+y^2+z^2=100\\\end{array}\right.\end{displaymath}$

Решение этой системы будет ветвящимся: i)

$\begin{displaymath}\left\lbrace\begin{array}{l}y(2+\lambda) =0\\z(3+\lambda) =0\\y^2+z^2=100\\\end{array}\right.\end{displaymath}$

i.1)

$\begin{displaymath}\left\lbrace\begin{array}{l}z(3+\lambda) =0\\z^2=100\\\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad z=\pm 10\end{displaymath}$

i.2) $2+\lambda =0$ ,

. ii) $1+\lambda=0$

$\begin{displaymath}\left\lbrace\begin{array}{l}y =0\\2z =0\\x^2=100\\\end{array}\right.\quad x=\pm 10\end{displaymath}$

Перечислим координаты найденных точек в таблице и вычислим значение функции

в них:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccccc}& x & y & z & u & \\1 & 0 & 0 & 0 &...... 10 & 0 & 0 & 100 & \\7 & -10 & 0 & 0 & 100 & \\\end{array}\end{displaymath}$