|
|
Пишет aldanov_mark (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} aldanov_mark)@ 2025-03-20 09:08:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
| Entry tags: | бесконечно малое, дифференцирование, интегрирование, математика, философия |
Суть дифференциального и интегрального "чуда" ч. 1
• Время и пространство
Автора статьи с первых уроков дифференциального и интегрального исчисления до сего дня не оставляло чувство недосказанности, а сам метод казался висящим в воздухе. Куча вопросов остаётся без ответа. Создаётся впечатление, что суть этого метода мало кто понимает до сих пор, но религиозная точность придерживания канону позволяет обходиться и без него. Нам же хочется полного и абсолютного осмысления вдоль и поперёк. Это совершенно иное, нежели запоминание и повторение соответствующих разделов учебников математики.
Иоган Кеплер придумал оригинальный способ расчёта площади круга "на коленке". Он разбивал его на сектора, число которых предполагалось как угодно большим, так что площадь каждого стремилась к нулю. Бесконечно малый сектор имеет такое бесконечно малое основание, которое, будучи куском дуги превращается в прямой отрезок. Затем он мысленно составлял из этих секторов прямоугольный треугольник с большим катетом 2
R и высотой R. Каждый бесконечно малый сектор из круга был равен бесконечно малому своему эквиваленту в треугольнике, поскольку площадь треугольника это произведение полувысоты на основание. (Остроугольный треугольник сектора равен площади тупоугольного треугольника своего эквивалента, высота которого далеко выходит за пределы самого треугольника, так как равны их основания и высоты.) Посчитать же площадь большого треугольника не составляет труда. Мысленной заменой криволинейной фигуры, площадь или объём которой мы не можем посчитать в лоб, на простейшую площадь или объём, мы получаем возможность узнать их. Интегральный метод это способ такой трансформации для любой подобной задачи. 
Для того, чтобы посчитать объём любого тела, например, шара мы помещаем его центр в центр нашей системы координат. X будет скользящая вдоль оси абсцисс точка перпендикулярного ей сечения шара, становящаяся тем самым центром этого сечения. Для вычисления площади сечения мы используем теорему Пифагора. Записав площадь через X в общем виде, мы получили все возможные сечения. В плоской системе координат это перевёрнутая парабола пересекающая ось абсцисс при X = +/-R. Каждой абсциссе теперь соответствует ордината, являющаяся площадью сечения, а все вместе сечения, которые мы называем бесконечными, образуют объём шара. Таким образом объём стал площадью под кривой, и вывод об этом мы сделали в рамках простых логических рассуждений. Все возможные сечения заключены под кривой, и там нет никаких лишних сечений. Мы "берём" математическую "палку" и последовательно "прикладываем" её к "удаву" выясняя какому количеству черепах он равен. Помогли нам в этом декартова система координат и знание площади круга, позволившая записать в общем виде формулу площадей сечений для любого X. Шар теперь создаётся движением сечения по закону окружности. Мы абстрактно задаём фигуру при помощи формулы, потом переводим её в другую такую же абстрактную фигуру попроще, и в конце концов получаем самый простой вид абстракции. Для того, чтобы появилась площадь поверхности и объём фигуры, мы должны их вырезать из единой реальности, "оцифровать" формулами.
При таком подходе нам даже не понадобилось бесконечно складывать бесконечно малые. Теорию о бесконечно малом и большом мы развиваем уже исходя из этого переноса, чтобы его прокомментировать.
Бесконечно-малое и бесконечно-большое
Понятие бесконечно малого в корне отличается от просто очень маленького числа. Важным свойством поля вещественных чисел является выполнимость в нём аксиомы Архимеда: если имеются два отрезка a и b, причем a меньше b, то взяв a некоторое количество раз можно превзойти b. С бесконечно малым этот принцип не работает, - сколько n раз не бери бесконечно малое, оно не превзойдёт никакое сколь угодно малое вещественное число. Но если его взять бесконечное число раз, бесконечно-малое обретает вещественное протяжение.
Бесконечное множество отличается от любого самого большого числа тем, что невозможно назвать "сколько это в цифрах", а это возможно только при одном условии, - численность такого множества меняется, и меняется в сторону увеличения с бесконечно большой скоростью, никогда не прекращая рост. Изгибающаяся на графике функция в каждой точке своей кривой имеет строго определённый наклон к осям координат. Если у точки обозначающей этот наклон есть реальная протяжённость в пространстве, между ней, и точкой находящейся рядом, должна быть строго определенная граница. Но между двумя какими угодно близкими точками мы всегда можем всунуть бесконечное их множество. Значит, границ у бесконечно малых точек нет, поэтому нет и реальной вещественной протяжённости. Хотя у такой точки есть наклон и "центр" обозначающий её место на оси координат. Суммирование всех бесконечно малых, бесконечно возрастающих в числе, не имеющих никакой вещественной протяженности точек, составляющих вещественный отрезок, даёт нам реальную протяжённость. Вот какими рассуждениями мы приходим к понятию бесконечно малого.
1. Все согласны с тем, что на любом отрезке можно разместить бесконечно много бесконечно-малых.
2. Если мы разделим этот отрезок на бесконечно много частей, длина каждой такой части будет равна нулю, так как деление числа на бесконечность даёт ноль.
3. Если мы разобьем на бесконечное число частей два отрезка, один из которых будет длиннее другого вдвое, то у каждого бесконечно малого отрезка в результате разбиения длина будет равна нулю, но длина равная нулю большего отрезка будет в два раза превосходить равное нулю бесконечно-малое меньшего отрезка. (Именно поэтому деление на ноль неопределённость. Ноль это бесконечно-малое, которое может иметь какое угодно значение.)
4. Если мы плавно изогнём отрезок, каждая его точка изогнута не будет, так как она не имеет вещественного протяжения. Но изгиб присутствует физически, а вещественное существование отрезка обеспечивает бесконечное множество бесконечно-малых. Значит, изгиб должен затрагивать все бесконечно-малые, наклоняя их подобно звеньям цепи под действием силы тяжести, и каждое бесконечно-малое будет иметь свой наклон, отличный от соседнего. Таким образом, бесконечно-малое не имея вещественного протяжения, имеет ориентацию в пространстве.
Приведём практический пример пользы от этой "эквилибристики", посчитав площадь круга, составив из секторов на этот раз не треугольник, а параллелограмм или трапецию, соединяя сектора "вершина к основанию", словно всовывая зубья одной пилы в зубья другой. Поступим так со всеми секторами и соединим параллелограммы. У нас получится фигура с двумя параллельными сторонами равными
R и двумя сторонами равными R. Как мы знаем, её площадь должна быть равна R2, а это значит, что параллелограмм прямоугольный, то есть высота равнобедренного треугольника (бесконечно-малого сектора) равна двум его сторонам. У сектора ставшего треугольником вершина и основание оказываются безразмерными, равными нулю точками, но за счёт бесконечного суммирования оснований они обретают протяжённость. Точки вершины треугольников-секторов - центр круга, будучи единственным на все треугольники-сектора, не суммируется в протяженность, оставаясь невещественной точкой. В результате наших мысленных экспериментов с превращением пространства в нуль и обратно в пространство мы реально решили довольно сложную задачу! Бесконечно малое равно нулю и оно же "в потенции" от него отлично. Если сектор круга отличен от нуля, то дуга не полностью выпрямиться, и при суммировании мы потеряем часть площади круга. Если сектор равен нулю, то, сколько бы мы не складывали нули, ничего кроме них мы не получим. Следовательно, под бесконечно малым мы должны понимать некую среднюю, отличную и от нуля и от какого-либо протяжения величину. Мы продифференцировали круг, потом проинтегрировали и получили площадь. Эти приёмы неосуществимы в физическом мире, так как очевидным образом в его логике абсурдны. Математическую же логику они не нарушают.
При интегрировании подсчитывается бесконечная сумма площадей прямоугольников с бесконечно малым основанием и высотой равной ординате функции в этой точке. Верхушкой этого прямоугольника обычно является наклонённое под разными углами бесконечно малое, то есть некоторый треугольник. Если мы прочертим через середину гипотенузы линию, параллельную основанию этого прямоугольного треугольника, она разрежет другой катет тоже ровно пополам. Образуются два равных треугольника, один под чертой, участвуя в подсчёте общей площади, другой над, - не участвующий. Нижний в точности компенсирует верхний. Таким образом, никаких потерь или излишков при подсчёте интегральной площади не происходит. Выражения "пренебрежимая малость", "приближенность" описывающие этот момент в учебниках математики, вводят в заблуждение.
Интегральный метод расчёта процессов
Возьмём функцию y=x и построим на её основе другую функцию по определённой закономерности - ордината Y при той же абсциссе X на втором графике должна быть числено равна площади, отсекаемой на первом графике абсциссой, графиком функции, и перпендикуляром, установленным в точке X. Эта площадь будет половиной квадрата со сторонами X. В общем виде получаем функцию y=x2/2. Назовём первую функцию производной, а вторую первообразной.
Какую бы точку второй функции мы не взяли, ей соответствует площадь на первом графике. Если мы на втором графике берём две соседние точки, то та точка, что расположена правее, имеет эквивалент площади чуть больший, чем точка левее. При этом отображение Yпроизводной - Yпервообразной и обратно происходит с помощью прямого и обратного коэффициента х/2. (Площадь под кривой для степенной функции пропорциональна степени. Для x2 это 1/3 (установлено ещё Архимедом), для x3 1/4, для xn 1/(n+1). Это требует отдельного и пространного доказательства.) Отсчёт нашей производной мы вели от начала координат, но можем задать любой интервал на оси абсцисс и получить результат, в том числе отрицательный, если площадь находится под осью абсцисс производной.
- Возьмём на первом графике две соседние, не имеющие между собой вещественного расстояния точки X-X0=∆X, и опустим из них перпендикуляры на ось абсцисс. Получится столбик с невещественной площадью ∆s, который, по условиям договора будет иметь на втором графике невещественный эквивалент в виде отрезка Y=Yпервообразной-Y0первообразной.
- Разбиваем первообразную кривую на точки, каждую из которых рассматриваем прямой, и поступаем с ней, словно она линейная функция нулевой протяженности, назвав касательной. Тем самым мы перешли от двух соседних точек к одной точке с двумя краями невещественной протяженности по соответствующим осям Yпервообразной и гипотенузой, являющейся прямолинейным куском функции или касательной к графику Y=x2/2 в точке X.
- Так, как площадь прямоугольника на первом графике ∆s=∆Yпервообразной второго графика, основание его равно ∆X, то высота прямоугольника получается ∆s/∆X, или что то же самое, ∆Yпервообразной/∆X, а это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс первообразной, или значение графика производной функции в этой точке, то есть в данном случае Yпроизводной при нашем X. "Кривизна" первообразной переходит в ординату производной. Отсюда известное определение: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс первообразной в этой точке. Получив его, мы можем построить из первообразной функции производную, и из производной первообразную, умножением на прямой и обратный коэффициент.
Сказанное выше сформулировано в учебнике математики так: f`(x)=lim∆f(x)/∆x
∆x->0
Производной функции f`(x) равен предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.
Показательно можно наблюдать связь между производной и первообразной через геометрию. Представим функцию f(x)=x2 как площадь квадрата со стороной x. Нарастим стороны на dx, тогда приращение площади df=xdx+xdx=2xdx (произведение бесконечно малого на себя dxdx даёт ноль) откуда df/dx=2x будет скоростью нарастания площади при увеличении стороны, то есть производной.
Как видно, это тот же самый кеплеровский приём мысленного разбиения на бесконечно-малые с последующим сложением, расширенный для любых фигур до универсального.
При интегрировании и дифференцировании функция обычно меняет свою форму, но есть функция, которая её меняет в свою же собственную. Если исходная сумма $1 и начисляется 100% годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1,5 дважды, получая $ 1,00*1,52 = $2,25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1,00*1,254 = $2,44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел:
lim(1+1/n)n=e=2,718 28…… Функция вида ex и будет той магической функцией, которая
∆n->∞
описывает в природе радиоактивный распад, когда из некоего числа радиоактивных ядер за время T распадается строго половина. А потом из той половины за это же время распадается снова половина. И т.д. N = Nое-λt где Nо начальное количество ядер, а N через время t. Так происходит потому, что у функции ex площадь под ней от начала координат до любой абсциссы в точности соответствует ординате этой абсциссы. Тогда тангенс угла наклона касательной в любой точке равен значению её же ординаты. Когда площадь под какой-либо функцией от начала координат до некоторой абсциссы больше или меньше значения соответствующей ординаты, ордината этой абсциссы на графике первообразной тоже становится больше или меньше.
Разберём работу метода на примере расчёта объёма шара.
Мысленно разбиваем шар на бесконечное количество сечений, и находим функцию, которая описывает изменение площади этих сечений. (Начало координат помещено в центр шара.) Радиус окружности, мысленно движущейся от одного края шара через центр к другому, рассчитывается через теорему Пифагора – корень квадратный из разности квадратов радиуса шара и квадрата х – расстояния центра "движущейся" окружности до центра шара. Искомая функция - изменяющаяся площадь "движущегося" круга. В итоге получаем перевёрнутую параболу S(х)=
(R2-х2), огораживающую над осью Х площадь (площадь площадей сечений шара) - искомый объём шара (2R32/3=4R3/3 Расчёт методом Архимеда). Каждое значение Х это конкретное значение площади соответствующей ему окружности (Y), а все вместе они образуют площадь в точности эквивалентную объёму шара. |
 |
Чтобы посчитать общую толщину не имеющих толщины двумерных площадей, то есть площадь под параболой
(R2-х2) интегральным способом, используя наш договор о двух графиках, находим функцию, которая переводит всю искомую двумерную площадь в одномерный отрезок по ранее условленному принципу. Измерение отрезка даёт нам искомую площадь (в данном случае объём).
1. Устанавливаем соответствие между площадью сечения шара и ординатой (длиной отрезка) функции S(х)=(R2-х2) при любом Х.
2. Чтобы посчитать площадь под параболой, находим функцию, которая переводит всю искомую двумерную площадь в одномерный отрезок по ранее условленному принципу. Измерение отрезка даёт нам искомую площадь, - в данном случае объём.
Мы приравниваем объём шара как целого, целой и нераздельной площади под кривой, потом приравниваем её к единому и неразрывному отрезку, длинной которого становится искомый объём. Без всяких бесконечно малых. То, что в интегральном методе расчёта "захотела природа" выражается кривой, описывающей исследуемый процесс нарастания площади кругов по мере продвижения к центру. Остальное лишь условность.
Остаётся найти дифференциально-интегральную связь разных функций, доказать что, например, производная синуса есть косинус, чтобы расширить интегральный метод на все функции. И ещё кое-какие мелочи. Интегрирование это нахождение функции, связанной договором с имеющейся функцией о равенстве площади под кривой ординате искомой функции. Интегрирование позволяет рассчитывать суммарный итог непостоянного изменения.
Дифференциальный метод расчёта процессов
Бесконечно малое приращение радиуса шара, равное во всех направлениях от некоего центра даёт одно и то же во всех направлениях приращение объёма, который соответствует строго определённой площади. И это очевидное тройное соответствие мы можем взять в качестве доказательства работающей дифференциально-интегральной связки S=∆R/∆V. (Кстати вот зримый пример соотношения двух равных нулю величин, дающего в итоге вещественную величину.)
Найдя объём, мы получаем площадь поверхности шара из нашей формулы, добытой "на коленке" V= SшR/3, приравнивая объёмы шара и пирамиды высотой равной радиусу шара, с основанием равным площади его поверхности. Тот же результат мы можем получить, если сделаем переменной радиус шара и продифференцируем по нему формулу его объёма. V`=(4/3)х3dx= 4х2=Sш
Площадь поверхности шара — это скорость изменения его объёма. Так произошло потому, что переменная, в роли которой выступает радиус, всегда строго перпендикулярна тому бесконечно малому и потому плоскому кусочку поверхности шара, до которого радиус проводится, а радиус одинаков по всем направлениям. Любой бесконечно малый кусок поверхности шара является касательной плоскостью к радиусу. (То же происходит с кубом, если его объём записать формулой переменной в которой будет расстояние из центра куба до его граней: Vкуба= (2х)3, где х половина ребра куба. Тогда Sповерхности=2х*2х*6=V`куба=(2х)3dx=8*3х2=24х2) Если мы возьмём полусферу, половину куба, дифференциально-интегральная связь объёма и площади поверхности разорвётся. Пропорциональность приращения во всех направлениях объёма к приращению площади нарушается. При анализе соотношения площади поверхности и объёма шара, куба, правильного икосаэдра соотношение их объёмов и площадей поверхности, записанных через радиус вписанной сферы - 1/3, а это ещё и коэффициент дифференцирования описывающей объём степенной функции. Производная объёмов перечисленных фигур, записанных через радиус вписанной сферы, равна соответственно площадям их поверхностей записанных так же. Аналогичное соотношение 1/3 площади поверхности к объёму у правильного тетраэдра, но приращение площади поверхности и его объёма не во все стороны от центра равномерно, поэтому интегрально-дифференциальной связи между объёмом и площадью не наступает.
Нестрогое, но наглядное объяснение было в школьном учебнике под редакцией Колмогорова. Представим себе, что мы покрыли поверхность шара тонким слоем краски равной толщины. Приращение объёма шара - это объём израсходованной краски ∆V. Делим его на толщину слоя краски - на приращение радиуса шара. Получаем, что площадь S поверхности шара - это отношение ∆V/∆R - тангенс угла наклона первообразной, где ∆R мало. Если радиус шара увеличить на ∆R то объем шара увеличится на ∆V, причем приращение объема равно дифференциалу (от лат. differentia «разность, различие») объема ∆V=S∆R. График первообразной показывает нам, какой объём шара будет при заданном R(х), а угол наклона касательной в этой точке покажет, чему будет равна при этом площадь шара. График производной показывает нам, какую площадь приращений под параболой нужно просуммировать, чтобы она равнялась своему объёму на графике первообразной, и как меняется площадь поверхности шара, выраженная ординатой в отношении к отсекаемой площади под кривой, символизирующей изменение его объёма.
(R2-х2) при любом Х.2. Чтобы посчитать площадь под параболой, находим функцию, которая переводит всю искомую двумерную площадь в одномерный отрезок по ранее условленному принципу. Измерение отрезка даёт нам искомую площадь, - в данном случае объём.
Мы приравниваем объём шара как целого, целой и нераздельной площади под кривой, потом приравниваем её к единому и неразрывному отрезку, длинной которого становится искомый объём. Без всяких бесконечно малых. То, что в интегральном методе расчёта "захотела природа" выражается кривой, описывающей исследуемый процесс нарастания площади кругов по мере продвижения к центру. Остальное лишь условность.
Остаётся найти дифференциально-интегральную связь разных функций, доказать что, например, производная синуса есть косинус, чтобы расширить интегральный метод на все функции. И ещё кое-какие мелочи. Интегрирование это нахождение функции, связанной договором с имеющейся функцией о равенстве площади под кривой ординате искомой функции. Интегрирование позволяет рассчитывать суммарный итог непостоянного изменения.
Дифференциальный метод расчёта процессов
Бесконечно малое приращение радиуса шара, равное во всех направлениях от некоего центра даёт одно и то же во всех направлениях приращение объёма, который соответствует строго определённой площади. И это очевидное тройное соответствие мы можем взять в качестве доказательства работающей дифференциально-интегральной связки S=∆R/∆V. (Кстати вот зримый пример соотношения двух равных нулю величин, дающего в итоге вещественную величину.)
Найдя объём, мы получаем площадь поверхности шара из нашей формулы, добытой "на коленке" V= SшR/3, приравнивая объёмы шара и пирамиды высотой равной радиусу шара, с основанием равным площади его поверхности. Тот же результат мы можем получить, если сделаем переменной радиус шара и продифференцируем по нему формулу его объёма. V`=(4/3)
х3dx= 4х2=SшПлощадь поверхности шара — это скорость изменения его объёма. Так произошло потому, что переменная, в роли которой выступает радиус, всегда строго перпендикулярна тому бесконечно малому и потому плоскому кусочку поверхности шара, до которого радиус проводится, а радиус одинаков по всем направлениям. Любой бесконечно малый кусок поверхности шара является касательной плоскостью к радиусу. (То же происходит с кубом, если его объём записать формулой переменной в которой будет расстояние из центра куба до его граней: Vкуба= (2х)3, где х половина ребра куба. Тогда Sповерхности=2х*2х*6=V`куба=(2х)3dx=8*3х2=24х2) Если мы возьмём полусферу, половину куба, дифференциально-интегральная связь объёма и площади поверхности разорвётся. Пропорциональность приращения во всех направлениях объёма к приращению площади нарушается. При анализе соотношения площади поверхности и объёма шара, куба, правильного икосаэдра соотношение их объёмов и площадей поверхности, записанных через радиус вписанной сферы - 1/3, а это ещё и коэффициент дифференцирования описывающей объём степенной функции. Производная объёмов перечисленных фигур, записанных через радиус вписанной сферы, равна соответственно площадям их поверхностей записанных так же. Аналогичное соотношение 1/3 площади поверхности к объёму у правильного тетраэдра, но приращение площади поверхности и его объёма не во все стороны от центра равномерно, поэтому интегрально-дифференциальной связи между объёмом и площадью не наступает.
Нестрогое, но наглядное объяснение было в школьном учебнике под редакцией Колмогорова. Представим себе, что мы покрыли поверхность шара тонким слоем краски равной толщины. Приращение объёма шара - это объём израсходованной краски ∆V. Делим его на толщину слоя краски - на приращение радиуса шара. Получаем, что площадь S поверхности шара - это отношение ∆V/∆R - тангенс угла наклона первообразной, где ∆R мало. Если радиус шара увеличить на ∆R то объем шара увеличится на ∆V, причем приращение объема равно дифференциалу (от лат. differentia «разность, различие») объема ∆V=S∆R. График первообразной показывает нам, какой объём шара будет при заданном R(х), а угол наклона касательной в этой точке покажет, чему будет равна при этом площадь шара. График производной показывает нам, какую площадь приращений под параболой нужно просуммировать, чтобы она равнялась своему объёму на графике первообразной, и как меняется площадь поверхности шара, выраженная ординатой в отношении к отсекаемой площади под кривой, символизирующей изменение его объёма.
Чтобы понять символизм записи снова вернёмся к подсчёту площади круга. Разобьём его на множество бесконечно малых колец. Тогда площадь любого из них будет подсчитываться по формуле ∆S=2πR∆R. Поскольку точка безразмерна, ожерелье из них составляющее протяжение 2πR, будет иметь равную длину на внешней и внутренней стороне кольца. Чем больше R, тем больше приращение ∆S, так как при равном увеличении ∆R каждый последующий шаг даёт большее приращение площади, - нелинейность её прироста. Произведение двух линейных величин R⋅∆R это площадь. Значит, для подсчёта всех площадей нам нужна формула их изменения на всём протяжении R. Но 2πR⋅∆R ещё площадь под линейной функцией, с которой мы начали наше исследование интегрирования вида x⋅∆x. Её первообразная парабола, а описываемая формула 2πR2/2=πR2.
