Пример неэффективного спуска для проективной схемы над DVR. Пример В
предыдущем тексте я изложил мотивацию. Теперь я собственно построю явный контрпример, следуя книжке Neron Models. Для этого нам понадобится несколько утверждений про стягивание кривых из этой самой книжки.
Определение: Пусть R -- кольцо, и f:X --> Spec R -- относительная собственная нормальная кривая и C \subset X -- замкнутая R-подсхема. Мы говорим, что R-морфизм p:X --> Y в собственную нормальную R-схему Y называется
стягиванием С, если p является изоморфизмом вне C и схемно-теоретический образ f(C) есть замкнутая точка.
Замечание 1: Практически во всех примерах нас будет интересовать случай кольца дискретного нормирования R и кривой C в замкнутом слое X_s.
Замечание 2: Нетрудно показать, что если стягивание существует, то оно единственное.
Теорема 1: Пусть f:X --> Spec R есть собственная нормальная кривая над DVR R и пусть C \subset X_s -- неприводимая компонента замкнутого слоя отличная от всего слоя X_s, тогда существование стягивания C эквивалентно наличию относительного дивизора Картье D над S, такого что замкнутый слой D_{s} пересекает все неприводимые компоненты X_s кроме С.
Теорема 2: Пусть f:X --> Spec R есть собственная нормальная кривая над
гензелевым DVR R и пусть C \subset X_s -- неприводимая компонента замкнутого слоя отличная от всего слоя X_s, тогда всегда существует стягивание С.
Для доказательства смотри утверждения 6.7/3 и 6.7/4 в книжке N'eron Models.
Мне понадобится ещё одна забавная теорема из той же самой книги, но её я докажу, потому что доказательство крайне смешное.
Теорема 3: Пусть p:Spec R' --> Spec R этальный морфизм колец дискретного нормирования, который тривиален на полях вычетов и пусть f:X' --> Spec R' есть произвольная R'-схема с данным спуска на общем слое (X'_{K'}, \phi_{K'}), тогда это данное спуска единственным образом продолжается на X'.
Доказательство: Обозначим за K":=K'\otimes_K K' и R":=R'\otimes_R R', аналогично обозначим тройные произведения за K''' и R'''. Заметим, что из-за того что R --> R' тривиально на полях вычетов, то замкнутый слой (Spec R")_s равен замкнутому слою (Spec R')_s и аналогично (Spec R''')_s=(Spec R")_s=(Spec R')_s.
Теперь посмотрим на диагональное вложение \delta_{R'/R}:Spec R' --> Spec R", так как морфизм Spec R' --> Spec R -- отделимый, то \delta_{R'/R} -- замкнутое вложение. Но кроме того Spec R' --> Spec R является этальным морфизмом, а значит \delta_{R'/R} ещё и открытое вложение! Значит у нас есть разложение Spec R"=\delta_{R'/R}(Spec R') \cup T', где \delta_{R'/R}(Spec R') открыто и замкнуто, значит это объединение является дизъюнктным. Кроме того, из аргумента выше следует что замкнутый слой (Spec R'')_s совпадает с замкнутым слоем (\delta_{R'/R}(Spec R'))_s, а значит T' сосредоточено над общей точкой. Далее мы будем просто писать, что Spec R"= Spec R' \sqcup T".
Аналогичное рассуждение показывает, что Spec R'''=Spec R' \sqcup T''', где T''' сосредоточен над общей точкой. Более того, заметим, что все p_{i,j} и p_i задают тождественные изоморфизмы соответствующих Spec R'.
Теперь зададим \phi:p_1^*X --> p_2^*X (обе схемы над Spec R'') как тождественный изоморфизм над Spec R' и как ограничение \phi_K над T'' (мы здесь пользуемся тем, что T'' сосредоточен над общей точкой!). Осталось проверить, что ограничение \phi на общий слой даёт данное спуска \phi_K и что \phi удовлетворяет условию коцикла.
Чтобы проверить первое условие достаточно показать, что \phi над диагональю общего слоя \delta_{R'/R}(Spec R')_{K'}=\delta_{K'/K}(Spec K') совпадает с \phi_K над диагональю общего слоя. Первое отображение есть identity по построению, нужно показать что второе отображение всегда есть identity. На самом деле верно, что ограничение любого данного спуска на диагональ есть тождественный морфизм. Давайте это увидим:
Рассмотрим диагональные отображения \delta^2: Spec K' --> Spec K" и \delta^3: Spec K' --> Spec K''', тогда мы можем ограничить изоморфизм \phi_K:p_1^*X_{K'} --> p_2^*X_{K'} (обе схемы над Spec K'') на \delta^2, обозначим это ограничение за \phi_{delta}:t_1^*X_{K'} --> t_2^*X_{K'}, где t_1 (соотв. t_2) есть композиция \delta^2\circ p_1 (соотв. \delta^2\circ p_1). Заметим, что t_1=t_2=Id канонически, поэтому мы можем воспринимать \phi_{delta} как изоморфизм X_{K'} --> X_{K'}. Кроме того мы можем ограничить условие коцикла \p_{13}^*(\phi)=p_{23}^*(\phi)\circ p_{12}^*(\phi) на \delta_3, чтобы получить равенство \phi_{delta}\circ \phi_{delta}=\phi_{delta} => \phi_{delta}=Id (так как \phi_{delta} изоморфизм!). Другими словами для любого данного спуска ограничение \phi_K на диагональ есть тождественный морфизм! Таким образом мы действительно проверили, что ограничение построенного выше \phi на общий слой совпадает c \phi_K.
Осталось проверить условие коцикла. Но оно тавтологично выполнено над общим слоем, так как ограничение на общий слой равно \phi_K. Кроме того, оно тавтологично выполнено над \delta_{R'/R}, так как там мы определили \phi=Id => оно выполнено везде, так как Spec R"=\delta_{R'/R}(Spec R')\sqcup T", где T" лежит в общем слое.
Замечание: Теорема 3 остаётся верной, если мы заменим условие этальности морфизма R--> R' на условие инд-этальности (копредела этальных морфизмов), если при этом требовать конечной представленности морфизма f:X' --> Spec R'. Действительно, пусть R'=colim R_i, где R_i -- этально над R, тогда X' определён над одним из R_i, возьмём продолжение данного спуска над этим R_i и сделаем назад замену базы на R'. Это позволяет нам применять Теорему 3 к отображению гензелизации R --> R^h и конечно-представленных R^h-схем.
Окей, на данный момент мы уже знаем достаточно, чтобы построить контрпример к эффективности спуска схем. Идея построения следующая: мы построим относительную собственную нормальную кривую X над негензелевым DVR R и неприводимую компоненту C в замкнутом слое X_s, так что её нельзя стянуть над R. После замены базы на R^h эта кривая станят стягиваемая (Теорема 2), пусть это стягивание есть Y, тогда, используя Теорему 3, мы посмотрим на Y данное спуска, и если бы спуск был эффективен, то это бы дало нам стягивание кривой C над R, что невозможно.
Давайте постепенно выполнять данный план. Для начала нужно построить R и Х. В качестве R мы возьмём \C[T]_{T-a} для любого комплексного ненулевого числа а. Обозначим поле вычетов R за k (k изоморфно \C), и поле частных -- за K (K изоморфно \C(T)). Теперь перейдём к построению X:
Утверждение: Существует относительная эллиптическая кривая E над R и точка x\in E(k), такая что все кратности [n]x не поднимаются до E(R)-точки.
Доказательство: Будем для простоты считать, что a не равно 0, чтобы было удобнее писать формулы. Тогда рассмотрим относительную эллиптическую кривую \E над Spec C[T,T^{-1}] с непостоянным j-инвариантом и возьмём её пулбэк на R, который мы обозначим за Е (такая кривая существует, например, Y^2Z=X^3+TX^2Z работает, это единственное место, где мы используем a\neq 0). Теорема Нерона-Ленга говорит, что группа E(K) -- конечно-порождена (см.
Теорему 7.1 и обсуждение под ней для доказательства). Из валюативного критерия собственности мы заключаем, что E(K)=E(R) и эта группа конечно-порождена, в частности, счётная! Рассмотрим группу k-точек E(k), так как k изоморфно \C, то эта группа несчётна. Из этого следует, что если мы возьмём образ редукции E(R) в E(k) и рассмотрим всевозможные \Q-кратности этих точек, то мы всё равно получим счётную группу. А значит существует точка x\in E(k), такая что любая её целочисленная кратности не поднимается до E(R) точки.
Замечание: Для гензелевого DVR такой точки никогда не существует, так как для любой гладкой R-схемы X(R) --> X(k) сюрьективно.
Теперь мы определяем X как раздутие E в точке x (E и x как в теореме выше). Заметим, что раздутие -- проективный морфизм и раздутие схем над DVR сохраняет плоскость => X -- проективная плоская схема над Spec R. Кроме того, раздутие регулярной схемы в регулярной подсхеме сохраняет регулярность => X -- регулярна (но не гладкая над S!). Более того, мы можем посчитать замкнутый слой X -- это объединение P^1_k и замкнутого слоя E_s относительной R-кривой E, пересекающееся в одной точке (раздутие вклеивает проективизацию нормального конуса, так как точка внутри регулярной схемы -- локально полное пересечение, то эта проективизация ровно P^1_k). Теперь главное утверждение в том, что E_s нельзя стянуть в X.
Утверждение:: Пусть R, E, X как раньше, тогда не существует стягивания E_s в X над R.
Доказательство: Пусть стягивание существует, тогда Теорема 1 гарантирует нам существование относительного эффективного дивизора Картье D на X, такого что D не пересекается с E_s (напомню, что дивизор Картье D \subset X называется относительным для морфизма f:X --> Y, если D является плоской схемой над Y). Перейдём к приведённой структуре на D, это не испортит его плоскость над DVR R. Теперь рассмотрим общий слой дивизора D_{K} \subset X_K, из R-относительности мы заключаем, что D_K есть дивизор Картье на X_K. Вспомнив, что X_K=Y_K, мы определим D' как схемно-теоретическое замыкание D_K в Y. Схемное замыкание замкнутой подсхемы в общем слое плоской схемы над DVR всегда плоско над этим DVR, следовательно D' -- относительный эффективный дивизор Картье на Y. Более того, из собственности f следует, что f(D) -- замкнутая подсхема, содержащая D'_K=D_K, а значит f(D) содержит D'. То есть замкнутый слой D'_s лежит внутри замкнутого слоя f(D)_s, а следовательно теоретико-множественно совпадает с замкнутой точкой x. Из этого мы можем сделать вывод, что замкнутый слой D'_s равен n[x] как дивизор для некоторого натурального числа n (умножение на n как дивизоров, а не точек на эллиптической кривой). Рассмотрим дивизор Q:=D'-n[0_E], где 0_E -- единичное сечение кривой E/R. Дивизор Q является дивизором степени 0 на замкнутом слое, а значит \O_E(Q) задаёт R-точку схемы Pic^0_{E/R} (строго говоря, тут нужен аргумент. Но он стандартный и изложен, например, в главе 9 книги N'eron Models). Теперь у нас есть коммутативная диаграмма:
E(R) ---> Pic^0_{E/R}(R)
↓ ↓
E(k) ---> Pic^0_{E/R}(k)=Pic^0_{E_s/k}(k),
где горизонтальные стрелки изоморфизмы групповых схем! (Изоморфизм E_s --> Pic^0_{E_s/k} -- стандартный факт из теории эллиптических кривых, изоморфизм E --> Pic^0_{E/R} можно доказать воспользовавшись гладкостью обоих схем и послойными аргументами) Правая вертикальная стрелка переводит линейное расслоение \O_E(Q) в его ограничение на замкнутый слой, которое равно \O_{E_s}(D'_s-n[0_{E_s}])=\O_{E_s}(n[x]-n[0
_{E_s}]) (мы здесь пользуемся плоскость D', чтобы заключить, что \O_E(D)|_{E_s}=\O_{E_s}(D_s)!). Но \O_{E_s}(n[x]-n[0_{E_s}]) есть образ [n]x при нижнем изоморфизме (пользуемся, что E_s --> Pic^0_{E_s/k} изоморфизм групповых схем!), а значит [n]x лежит в образе E(R), так как соответсвующий ему элемент в Pic^0_{E_s/k}(k) находится в образе Pic^0_{E/R}(R) по построению! Но значит [n]x поднимается до R-точки схемы E, но по выбору точки x никакая её кратность не поднимается до R-точки, противоречие! Значит не существует никакого стягивания E_s внутри замкнутого слоя X.
Теперь мы уже практически победили. Мы знаем, что мы не можем стянуть E_s в X над R, однако если мы сделаем замену базу на R':=R^h, то замкнутый слой X':=X\times_R R' равен замкнутому слою X в силу того, что расширение R -->R^h тривиально на поле вычетов. Но Теорема 2 гарантирует нам, что мы можем стянуть E_s внутри X' (будем обозначать E_s внутри X' за E_s^')! То есть существует морфизм f':X' --> Y', такой что f' изоморфизм вне E_s^', f'(E_s^') равно замкнутой точке и Y' есть нормальная собственная R'-схема.
Заметим, что на X' есть каноническая данное спуска (X', can), так как X' является заменой базы схемы над Spec R. Общие слои Y' и X' совпадают в силу конструкции Y', то есть на общем слое Y'_{K'} мы можем определить данное спуска как (Y'_{K'}, can_{K'}). Воспользуемся Теоремой 3, чтобы продолжить это данное спуска на всю схему Y'! Обозначим его за (Y', \phi), нам осталось показать, что оно неэффективно. Предположим противное, пусть (Y', \phi) -- эффективно. Тогда существует схема Y над R, такая что Y\otimes_R R'=Y'. Так как собственность, нормальность и относительная размерность спускается относительно строго плоских морфизмов, то мы заключаем, что Y -- собственная, нормальная относительная кривая над R. Мы хотим показать, что Y является стягиванием E_s на X. Прежде всего нам необходимо спустить морфизм f':X' --> Y', однако заметим, что из единственности стягивания над произвольной базой, следует, что на f' имеется данное спуска (любая замена базы f":X'\otimes_R' R" --> Y'\otimes_R' R'' канонически(!) совпадает со стягиванием E_s в X'\otimes_R' R''. Отметим, что это имеет смысл, так как замкнутый слой X'\otimes_R' R" cовпадает с замкнутым слоем X'. Если проговорить это аккуратно, то это задаст данное спуска на f, согласованное с (X', can) и (Y', \phi)). Поэтому эффективность спуска на морфизмах схем влечёт, что f' спускается до морфизма f:X --> Y, такого что f\otimes_R R'=f'. Осталось показать, что f есть стягивание E_s. Заметим, что f' есть изоморфизм вне E_s^' => f есть изоморфизм вне E_s, так как свойство быть изоморфизмом спускается относительно произвольного строго плоского морфизма. Но кроме того f' совпадает с f на замкнутом слое, а значит f(E_s)=f'(E_s^')=точка=> f есть стягивание E_s! Но его не существует, противоречие. Значит данное спуска (Y', \phi) не эффективно!
Мы уже построили нормальную собственную относительную кривую Y' над гензелевым DVR и данное спуска на ней относительно расширения R --> R', такое что этот спуск неэффективен. Осталось понять почему Y' проективна над R'. Но это общая теорема, что любая нормальная собственная относительная кривая над гензелевым DVR проективна. Доказательство по существу сводится к Утверждению 6.7/4 из N'eron models и послойному критерию обильности EGA III_1 4.7.1 Можно доказать проективность другим способом, сказав, что стягивание кривой на собственной нормальной кривой над DVR всегда проективно по построению (Neron models 6.7/2)