azrt's Journal
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends]

Below are the 20 most recent journal entries recorded in azrt's LiveJournal:

    [ << Previous 20 ]
    Monday, February 18th, 2019
    1:45 am
    ПИСЬМО К ШОЛЬЦЕ (ЗДРАВСТВУЙТЕ, МАРТИН АЛЕКСЕЕВИЧ...)
    Сегодня долго не мог доказать результат про жёстко-аналитические пространства, который выглядит "очевидно" (напишу в комментариях результат, вдруг кто умеет такое доказывать), но при доказательстве возникает куча проблем. В основном потому, что в определении адического пространства пучок \O_X^+ должен быть целозамкнут в \O_X, поэтому при всех конструкциях (расслоенное произведение, открытое подмножество) необходимо насильно добавлять целое замыкание. Контролировать это очень сложно, возникает миллион технических проблем.

    В какой-то момент отчаялся и решил посмотреть как с этой проблемой справился Шольце вот тут (Lemma 5.5 Lemma 5.6). Так как Лемма 5.5 сформулирована максимально идиотским способом (S_0 должно быть R_0 алгеброй, иначе это не имеет смысла), то я думал, что Лемма 5.5 верна только для в предположении плоскости над R_0 (а не над Z_p). В доказательстве Леммы 5.6 Шольце применяет Лемму 5.5 к морфизму R_{m}^+ --> S_m^{(j),+}, который приходит с этального морфизма Spa(R_m, R_m^+)--> Spa(S_m^{(j)}, S_m^{(j), +}). Более того, в другой статье на странице 65 явно утверждается, что этот морфизм должен быть плоским.

    Естественная гипотеза, что должно быть верно следующее утверждение

    Гипотеза: Пусть Spa(S, S^+)--> Spa(R, R^+) этальный морфизм жёстко-аналитических пространств, тогда R^+ --> S^+ есть плоский морфизм.

    Оказалось, что это неверно! (на самом деле не очень удивительно, если об это немного задуматься, но конкретный пример мне было сложно придумать. Заняло весь день) Я написал Шольце и спросил объяснить его доказательство. Он извинился за дебиков, которые неправильно его цитируют, за "your confusion" и объяснил, что на самом деле Z_p-плоскости хватает, вкратце потому что всё приходит "заменой базы с \O_K". Толку мало, в моём случае это мало помогает (а плоскость бы сильно упростила мне жизнь!).

    Ниже контрпример к гипотезе, мне лень переводить на русский. Копирую из письма к Шольце (прошу прощения за плохой английский).

    Example: Let \X --> Spec Z_p be an arbitrary (proper) flat morphism s.t. its generic fibre is smooth, \X is normal as a scheme but not regular. For example, one can take an elliptic curve over Q_p with multiple components in a special fibre of its Neron Model, then its Minimal Weierstrass form is flat, normal over Z_p but not regular.

    Then Lipman's resolution of singularities for excellent surfaces shows that there is a resolution f:\X' --> \X s.t. \X' is flat over Z_p (because it doesn't have p-torsion), \X' is
    regular and a morphism f induces the identity morphism on generic fibres.

    I claim that f can't be flat since regularity descends along faithfully flat morphisms of noetherian schemes. Hence we can choose some open charts where morphism is not flat g:Spec A' --> Spec A. Now by fibral criterion for flatness we know that A/p --> A'/p can't be flat (since both A and A' are flat over A' and this map is an isomorphism on generic fibres). And this map g: Spec A'[1/p] --> Spec A[1/p] is an open immersion since both schemes are open subschemes of X_{\Q_p}.

    Now we can complete both A and A' with respect to the ideal (p). To get a map A^-->A'^, since a completion morphism is regular (EGA IV_2 7.8.3(v)) for excellent rings we conclude that A^ and A'^ are both normal again (R1+S2 criterion). Note that A^-->A'^ can't be flat since mod p it coincides with A/p --> A'/p which is not flat. But if we pass to generic fibres we get an open immersion Spa(A'^[1/p], A'^+) --> Spa(A^[1/p],A^+) since Raynaud generic fibre of a completion of a scheme is an open subspace of the analytification of the generic fibre of a scheme and (Spec A'[1/p])^{an} --> (Spec A[1/p])^{an} is an open immersion. So, T:=Spa(A'^[1/p], A'^+) --> S:=Spa(A^[1/p],A^+) is an open immersion of rigid-analytic spaces.

    Finally, since A'^ and A^ are normal we conclude that A'^+=A'^ and A^+=A^. Thus a map \O_T^+(T)-->\O_S^+(S) coincides with a map A^-->A'^ and fails to be flat.
    Sunday, January 27th, 2019
    12:35 am
    Этальные когомологии аффинноидов с коэффициентами в F_p
    Один из главных результатов SGA 4 1/2 гласит, что для любой схемы конечного типа над полем высшие прямые образы сохраняют конструктивность пучков N-кручения, если N взаимно-просто с характеристикой поля k.

    Теорема 1: Пусть f:X --> Y морфизм схем конечного типа над полем k и F -- конструктивный пучок N-кручения на X, где N взаимно-просто с характеристикой поля k. Тогда R^if_*F является конструктивным пучком для всех i.
    Доказательство: SGA 4 1/2, Th. Finitude Thm. 1.

    Замечание 1: На самом деле (как бы это ни было парадоксально) самый сложный случай в этой теореме -- это случай открытого вложения j:X --> Y. Любой отделимый морфизм конечного типа в квази-компактную квази-отделимую схему можно представить как композицию открытого вложения и собственного морфизма. Доказательство сохранения конструктивности при взятии высших прямых образов относительно собственных морфизмах не очень сложно и доказано в любой книжке по этальным когомологиям. Поэтому реально весь вопрос в открытых вложениях.

    Замечание 2: В характеристике 0 это утверждение намного легче благодаря разрешению особенностей.

    Следствие: Пусть Х схема конечного типа над алгебраически замкнутым полем k и натуральное число N взаимно-просто с характеристикой N, тогда (этальные) когомологии H^i(X, Z/N) и H^i(X, \mu_N) являются конечными группами для всех i.
    Доказательство: Применить теорему к морфизму X--> Spec k и пучкам Z/N и \mu_N. Конструктивность R^if_*(--) в этом случае соответствует ровно конечности групп H^i(X, --)

    Вопрос, которым можно было бы задаться, есть ли аналог этого утверждения для жёстко-аналитических пространств. Зафиксируем полное алгебраически-замкнутое неархимедово поле K с кольцом целых O_K и полем вычетов k. Так как жизнь с жёстко-аналитическими пространствами и так очень сложная, то упростим себе немножко жизнь и предположим, что K характеристики 0.

    Теорема 2: Пусть Х квази-компактное отделимое жёстко-аналитическое пространство над полным алгебраически замкнутым неархимедовым полем K смешаной характеристики (0,p). Тогда для любого конструктивного пучка F N-кручения, где N взаимно-просто с p, (этальные) когомологии H^i(X, F) являются конечными группами.
    Доказательство: Cм. статью Хубера "A finiteness result for direct image sheaves on the etale site of rigid analytic varieties" (Насколько я понимаю, в такой общности этот результат не был известен до Хубера)

    Замечание: Ситуация с высшими прямыми образами (да и высшими прямыми образами с компактным носителем) для произвольного (квази-компактного) морфизма жёстко-аналитических пространств намного сложнее.

    По аналогии с Теоремой 1 мы хотели бы сказать, что условие на взаимную простоту N с p излишне. В этом случае p -- это характеристика поля вычетов, хотелось бы, чтобы, например, на жёстко-аналитических пространствах над Q_p (или C_p) была хорошая теория когомологий с коэффициентами в F_p (как она существует в случае схем над Q_p). Первый шаг в этом направлении это теорема сравнения алгебраических этальных когомологий и аналитических.

    Теорема 3: Пусть Х cхема конечного типа над алгебраически замкнутым неархимедовым полем K характеристики 0, тогда для любого конструктивного пучка F этальные когомологии H^i(X, F) совпадают с когомологиями аналитификации H^i(X^{an}, F^{an}).
    Доказательство: Теорема 3.7.2 книжки Хубера "Etale cohomology of rigid analytic varieties and adic spaces" (Опять же, насколько я понимаю, в такой общности теорема была неизвестна до Хубера)

    То есть для аналитификаций схем мы имеем теорему конечности и в случае аналитических этальных когомологий (Теорема 1+Теорема 3). Можно предположить, что мы должны иметь разумную теорию когомологий с коэффициентами в F_p для любых жёстко-аналитических пространств. Но оказывается, что это совершенно неверно! Этальные когомологии аффинноидов с коэффициентами в F_p практически всегда бесконечномерны!

    Контрпример:

    Рассмотрим замкнутых единичный p-адический диск X:=Spa(\C_p< T>, \O_{C_p}< T>) (\C_p< T> -- одномерная алгербра Тейта над полем \C_p)и постоянный пучок \F_p на нём. Так как C_p алгебраически замкнуто, то мы можем выбрать какой-нибудь корень p-ой степени из 1 и отождествить пучок \mu_p корней p-ой степени из 1 с пучком \F_p. Тогда имеется короткая точная последовать Куммера

    0 --> \mu_p --> G_m --> G_m --> 0,

    где первое отображение -- это естественное вложение, а второе -- это возведение в p-ую степень. Так как характеристика \C_p равна 0, то эта последовательность точна в этальной топологии. Поэтому мы имеем длинную точную последовательно когомологий

    0 --> \mu_p(\C_p< T>) --> \C_p< T>^* --> \C_p^* --> H^1(X, \mu_p) --> H^1(X, G_m) --> ...

    Заметим, что H^1(X, G_m) это просто группа Пикара, то есть эта группа классифицирует линейные расслоения с точностью до изоморфизма.

    Утверждение: На замкнутом единичном шаре X=Spa(\C_p< T>, \O_{C_p}) все линейные расслоения тривиальны (изоморфны \O_X).
    Доказательство: Выберем линейное расслоение L на X, тогда по теореме Киля (Thm 6.1/4 из книжки Bosch "Formal and Rigid Geometry") L задан каким-то конечным A:=\C_p< T> модулем. Обозначим этот модуль за M, давайте докажем, что M является проективным модулем ранга 1. Это достаточно проверить для всех локализаций M в максимальных идеалах алгебры А. Но для любого максимального идеала \m\subset A и соответствующей точки x_{\m}\in Spa(A, A^0) мы знаем, что пополнение слоя пучка L в точке х совпадает с пополнением локализации модуля M в \m. Другими словами, верно следующее

    L_{x}^=M_{\m}^.

    Таким образом мы знаем, что для любого максимального идеала \m \subset A пополнение локализации модуля M в идеале \m есть свободный модуль ранга 1. Но так как отображение A_{\m} --> A_{\m}^ является строго плоским (А нётерово!!), и M_{\m}=M\otimes_A A_{\m}^ (в силу конечности А-модуля M), то строго плоский спуск для конечно-представленных проективных модулей говорит нам, что M_{\m} тоже является проективным модулем ранга 1.

    Суммируя, мы показали, что любое линейное расслоение приходит из проективного модуля ранга 1 над алгеброй А. То есть мы свели задачу к проверке Pic(A)=0. Но это следует напрямую из того факта, что А есть область главных идеалов (Cor 2.2/10 из той же книжки Bosch'a). Победа!


    Отлично, значит H^1(X, G_m)=0, следовательно H^1(X, \mu_p)=\C_p< T>^*/(\C_p< T>^*)^p=A^*/(A^*)^p (фактор алгебры Тейта по p-ым степеням). Теперь нужно понять почему это алгебра бесконечна.

    Поcтроим отображение q:A^* --> \C_p как q(f)=f'(0)/f(0). Стандартный факт из неархимедового анализа утверждает, что функций обратима в алгебре Тейта <=> она не зануляется на замкнутом единичном шаре. В частности, для любой обратимой функции f мы имеем f(0) \neq 0. А значит это отображение корректно определено. Заметим, что q является гомоморфизмом (в аддитивную группу \C_p) в силу правила Лейбница.

    Несколько свойств отображения q:

    1) Образ q лежит в \O_{C_p}. Действительно, Следствие 2.2/4 из всё той же книжки Bosch'a говорит, что функция f=a_0+a_1T+a_2T^2+... обратима в алгебре Тейта <=> валюация a_0 строго больше валюаций a_i для любого i>1. В терминах рядов отображение q записывается как q(f)=a_0/a_1, а значит в силу критерия выше v(a_1/a_0)<1 <=> a_0/a_1 лежит в \O_{\C_p} (это ровно элементы с валюацией <1).

    2) Гомоморфизм q сюрьективен. Действительно, для любого a\in \O_{C_p} просто рассмотрим функцию f=1/a+T. Легко видеть, что она обратима (из критерия выше или можно построить обратную руками), и значение q(f)=1/(1/a)=a.

    Получаем, что пункт 1) гарантирует, что отображение q:A^* --> \O_{C_p} индуцирует отображение p:A^*/(A^*)^p --> \O_{C_p}/p, и пункт 2) гарантирует, что это отображение сюрьективно.

    Последний шаг: замечаем, что \O_{C_p}/p является бесконечной группой, потому что имеет фактор \O_{C_p}/ \m_{\O_{C_p}}=\bar{F_p} -- алгебраическое замыкание конечного поля F_p, поэтому сама является бесконечной. В частности, она бесконечномерна как векторное пространство над F_p.






    P.S. Отмечу, что Шольце доказал, что для (гладких) собственных жёстко-аналитических пространств этальные когомологии H^i(X, F_p) всё-таки являются конечными группами! Доказательство вполне нетривиально и критическим образом использует развитую им теорию перфектоидов и проэтальных морфизмов. Ситуация с этальными когомологиями жёстко-аналитических пространств с коэффициентами в F_p напоминает ситуацию с кристаллическими когомологиями в хар-ке, где мы имеем разумную теорию (например, конечномерность) только на гладких(это условие необязательно? я не знаю) собственных многообразиях.
    Thursday, December 27th, 2018
    1:41 am
    Ненётерово кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом
    Примерно года полтора назад я нашёл следующую забавную лемму на стэкспроджекте:

    Теорема: Пусть I конечно-порождённый идеал в кольце R, тогда нётеровость кольца R/I влечёт нётеровость R^ (пополнение в I-адической топологии).

    Доказательство: https://stacks.math.columbia.edu/tag/05GH.

    Следствие: Пусть R есть локальное полное (относительно топологии, заданной степенями максимального идеала) кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом \m, тогда R является нётеровым кольцом.

    Следствие не суперважное, но достаточно интересное, и я пару раз применял его на практике. Естественный вопрос верно ли это следствие без предположения полноты. Не то, чтобы он было совсем уж наивным вопросом (как это демонстрирует следующая теорема), однако кажется, что ответ должен быть очевидно отрицательным.

    Теорема (Cohen): Пусть R кольцо, в котором каждый простой идеал конечно-порождён, тогда R является нётеровым кольцом.
    Доказательство: Matsumura "Commutative Ring Theory" Theorem 3.4.

    Придумать пример ненётерова локального кольца с конечно-порождённым максимальным идеалом у меня долго не получалось, но внезапно (для меня) конструкция ультрапроизведения позволяет построить очень простой и понятный пример такой алгебры.

    Контрпример: Возьмём любое локальное кольцо главных идеалов А с ненильпотентым максимальным идеалом \m (например, подходят кольца Z_{(p)} или Z_{p}) и выберем произвольный нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел \N. Под нетривиальным ультрафильтром я понимаю любой ультрафильтр, который содержит фильтр коконечных множеств (множество принадлежит фильтру, если его дополнение конечное), такой ультрафильтр существует по лемме Цорна (ультрафильтры это в точности максимальные фильтры). Везде далее ультрапроизведением я буду называть ультрапроизведение относительно какого-нибудь нетривиального ультрафильтра на множестве натуральных чисел \N.

    Возьмём наконец ультрапроизведение счётного числа копий А относительно этого ультрафильтра. Что это значит? Сначала мы берём \prod_{i=1}^{\infty} A счётное произведение копий А, а потом факторизуем по соотношению (a_i)=(b_j), если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в нашем ультрафильтре (Далее если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в ультрафильтре, мы будем говорить, что a=b почти везде).

    Обозначим теперь наше ультрапроизведение за A_*, у нас имеется сюрьективное отображение

    \prod_{i\in \N} A --> A_*
    (a) |--> [(a)] (квадратными скобками я обозначаю образ в факторе)


    Лемма 1: Если А поле, то ультрапроизведение A_* является полем.
    Доказательство: Рассмотрим любой ненулевой элемент [(a)]\in A_* и любой его представитель a\in \prod_{i\in \N} A. Так как он ненулевой, то множество индексов, где a_i=0 не лежит в ультрафильтре. Значит множество индексов i, где a_i\neq 0 лежит в ультрафильтре как дополнение до элементов вне ультрафильтра (определение ультрафильтра!). Поэтому класс [(a)] равен классу [(a')], где (a')_i=a_i, если a_i\neq 0 и a'_i=1 иначе. Но в таком случае a'\in (prod_{\i \in \N} A)* и класс [(a')^{-1}] является обратным к [a']=[a]. То есть элемент [a] - обратим.

    Лемма 2: Если А локальное кольцо с максимальным идеалом \m, то ультрапроизведение A_* является локальным кольцом с максимальным идеалом (\m)_* (ультрапроизведение идеалов \m относительно того же выбранного заранее ультрафильтра) и полем вычетов (A/\m)_*.
    Доказательство: Существует естественное отображение (\m)_* --> A_*, которое переводит элемент [(a)], где (a) \in \prod_{i\in \N} \m, в элемент [(a)], где (a) рассматривается как элемент произведения \prod_{i\in \N} A (идеал \m является подмножеством в A).

    Это отображение очевидно инъективно из определения ультрапроизведения. Образ является идеалом, так как он состоит ровно из классов, у которых существует представитель (a), где все координаты a_i лежат в максимальном идеале \m. Заметим, что для проверки максимальности этого идеала достаточно проверить, что A_*/\m_*=(A/\m)_*, так как Лемма 2 гарантирует, что правая сторона равенства является полем.

    Имеется очевидная стрелка A_* --> (A/\m)_* , и идеал (\m)_* лежит в ядре этого отображения. Сюрьективность этого отображения очевидна из определения, нужно проверить только инъективность. Действительно, пусть класс [(a)] переходит в нуль в (A/\m)_*, это означает, что для почти всех индексов i мы имеем a_i\in \m. Определим теперь элемент (a') как a'_i=a_i, если a_i\in \m, и a'_i=0 иначе. Из определения ультрапроизведения следует, что [(a)]=[(a')], но теперь класс [(a')] очевидно лежит в \m_* (представлен последовательностью со значениями в максимальном идеале для каждого индекса)! Таким образом [(a)]=\m_*.

    Обобщая всё сказанное выше, получаем, что A_*/\m_* --> (A/\m)_* изоморфизм, а значит \m_* является максимальным идеалом в A_*.

    Последняя часть доказательства -- проверить локальность кольца A_*. Локальность A_* равносильна тому, что любой элемент [(a)], который не лежит в максимальном идеале \m_*, является обратимым. Выберем любой элемент [(a)]\notin \m_*, тогда множество индексов i, таких что a_i\in \m_* не лежит в нашем ультрафильтре, а значит множество индексов i, что a_i\notin \m_* лежит в нашем ультрафильтре (как дополнение до множества вне ультрафильтра!). Сделаем стандартный трюк с заменой последовательности (a) на последовательность (a'), определённой по правилу a'_i=a_i, если a_i\notin \m_*, и a'_i=1 иначе. Тогда [(a)]=[(a')] и [(a')] уже обратим с обратным [(a'^{-1})], что и требовалось доказать.




    Теперь вернёмся к нашему случаю, когда А -- локальная область главных идеалом с максимальным идеалом \m=(x). Тогда Лемма 2 говорит нам, что A_* -- это локальное кольцо с максимальным идеалом \m_*. Из определения \m_* следует, что этот идеал главный и порождён элементом [(x,x,x,x,x,x,x,...)]. То есть A_* есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом. Осталось доказать, что оно не может быть нётеровым.

    Вспомним, что Теорема Крулля о Пересечении говорит, что в локальном нётеровом кольце пересечение всех степеней максимального идеала есть нулевой идеал. Покажем, что это не так в нашем случае.

    Рассмотрим элемент t_1:=[(x, x^2, x^3, x^4,...)] (класс последовательности a_i=x^i) в A_*. Очевидно, что t_1 лежит в максимальном идеале \m_*. Далее заметим, что t_1=t_2:=[(x^2, x^2, x^3, x^4, ...)], так как наш ультрафильтр содержит все коконечные подмножества \N, делаем вывод, что изменение конечного числа элементов в последовательности не меняет его класс в ультрапроизвдении. Таким образом t=1=t_2 лежит в (\m_*)^2. Далее элемент t_1=t_3:=[(x^3, x^3, x^3, x^4, x^5, ...)] содержится в (\m_*)^3, продолжая увеличивать индекс t, получаем, что t_1=t_N:=[(x^N, ... N раз, x^N, x^{N+1}, x^{N+2}, ...)] \in (\m_*)^{N}. Как следствие,

    t_1\in \cap_{i=1}^n (\m_*)^i.


    Последняя вещь, которую осталось проверить, -- это что построенный элемент t_1 не равен нулю. Ровно в этом месте необходимо использовать условие на ненильпотентность идеала \m. Действительно, допустим, что t_1=0. Это значит, что множество индексов i, таких что x^i=0, лежит в нашем ультрафильтре. Пустое множество не лежит в ультрафильтре из определения ультрафильтра! Следовательно, существует некое M, что x^M=0. Но это противоречит ненильпотентности идеала \m=(x). Значит t_1\neq 0.

    Таким образом мы проверили, что A_* является локальным кольцом с главным максимальным идеалом, но само при этом не является нётеровым!


    Предудыщие работы на ту же тематику
    https://www.youtube.com/watch?v=SZRKOcWuDA8
    Friday, May 25th, 2018
    12:03 am
    Ошибка!
    В предыдущем посту я совершил ошибку. Довольно забавно, что я в первый раз решил не записывать строго детали, и сразу вышла довольно типичная ошибка. На самом деле я достаточно часто совершаю идиотские ошибки, не вижу способа с этим бороться, кроме как заставлять себя каждый раз строго прописывать все детали доказательства. Иногда оказывается, что сделать это невозможно, коммутирование некоторых диаграмм находится выше моих сил.

    Тем не менее утверждение про коммутирование пушфорварда с заменами базы неверно, и всё ещё можно изготовить сколь угодно хорошие примеры, однако оказывается, что сделать это несколько сложнее, чем я думал.

    Завтра запишу новый контрпример, и скажу где у меня была ошибка. Пример, конечно, стандартный, нужно добиться, чтобы H^0(X_s, \O_{X_s}) подскакивало ровно в одной точке, проблема в том, что это не связано с (не)приведённостью слоя. Построить пример с регулярным/нормальным тотальным пространством семейства чуть более сложно, но возможно.
    Wednesday, May 23rd, 2018
    11:53 pm
    Когомологии и замена базы.
    Меня немножко утомили люди, которые считают, что когомологии когерентных пучков коммутируют с произвольными заменами базы при достаточных условиях собственности/плоскости морфизма/пучка. Это просто неверно, я сейчас построю конкретный контрпример, с некоторым трудом его можно сделать настолько хорошим, насколько это в принципе возможно. Для простоты мы ограничимся прямым образом, уже для него коммутирование с произвольными заменами базы будет неверно.

    Утверждение: Пусть f:X-->S проективный плоский морфизм нётеровых схем и F -- векторное расслоение на X, тогда f_*F коммутирует с произвольной заменой базы.

    Это утверждение неверно даже при таких хороших условиях. Мы построим пример, в котором S будет спектром DVR, X -- проективной относительной кривой со связными слоями и геометрически целым гладким общим слоем, а F просто структурным пучком. При некотором усердии можно добиться, чтобы X была регулярной схемой (но не S-гладкой), то есть это утверждение неверно при любых сколь угодно хороших условиях.

    Сначала я скажу почему утверждение выше не имеет никаких шансов быть верным. Пусть S=Spec R и R -- кольцо дискретного нормирования (конечного типа над \C, если угодно), а f:X-->S плоский собственный морфизм, такой что общий слой гладкий и геометрически связный, то есть f:X-->S есть "семейство" многообразий, в котором общий слой геометрически связный и гладкий. Тогда из конечности прямого образа при собственных морфизмах мы заключаем, что f_*\O_X -- когерентный \O_S-модуль, то есть A:=H^0(X,\O_X)--конечный R-модуль. Далее, так как X_0, общий слой морфизма f, является геометрически целым и собственным, то мы заключаем, что H^0(X_0,\O_{X_0})=Frac(R)=:K (стандартный факт, из собственности X_0 мы понимаем, что A_0:=H^0(X_0,\O_{X_0}) -- конечная алгебра над полем Frac(R). Так как X_0 геометрически связная, то A_0\otimes_K \overline{K} не имеет идемпотентов. А так как X_0 геометрически приведённая, то A_0\otimes_K \overline{K} не имеет нильпотентов. Из классификации конечных алгебр над полем легко увидеть, что при таких условиях A_0=K). Таким образом, мы знаем, что A есть конечная R-алгебра и Frac(A)=A\otimes_R K=K. Из плоскости X над S мы видим, что естественное отображение R-->A инъективно. Но тогда A является конечным расширением R внутри поля вычетов R, это влечёт R=A в силу нормальности R! То есть мы можем заключить, что \O_S-->f_*\O_X изоморфизм! А тогда принцип связности Зарисского влечёт, что все слои f:X-->S связные.


    Давайте поймём что вообще значит условие коммутирования с заменой базы. Рассмотрим замкнутое вложение замкнутой точки s в S i_s:Spec k(s) -->S. Тогда f_* F коммутирует с i_s <=> H^0(X,F)\otimes_R k(s)= H^0(X_s, F|_s), где X_s слой над замкнутой точкой и F|_{s} -- ограничение пучка на X_s. Посмотрим, что это значит в нашем случае. У нас F=\O_X, и H^0(X,\O_X)=R, таким образом мы видим, что условие коммутирования с заменой базы на замкнутое вложение замкнутой точки равносильно равенству

    k(s)=H^0(X_s,\O_{X_s}).

    Но это довольно сильное равенство! В частности, оно влечёт, что замкнутый слой приведён. Аналогичное рассуждение, применённое к отображению геометрической замкнутой точки в S i_{\overline s}:Spec \overline{k(s)}-->S, показывает, что замкнутый слой должен быть и геометрически связный. Используя связность замкнутого слоя при наших условиях и теорему Cohomology and base change (FGA Explained, глава про формальные схемы), можно понять, что эти два условия на самом деле эквивалентны при наших условиях. Это показывает, что нет никакого шанса, что \O_X будет коммутировать с произвольными заменами базы, потому что, конечно, бывают плоские морфизмы, в которых общий слой (геометрически) связен и гладкий, а замкнутый слой имеет нильпотентны (кратности). Более того, можно добиться, чтобы отображение было относительной кривой, тотальное пространство "семейства" было регулярным, база была гладкая конечного типа над \C, что хотите. Я приведу самый простой, но не самый эффективный, пример.

    В моём случае S=Spec \C[t]_{(t)} (R=\C[t]_{(t)})--спектр локального кольца аффинной прямой в нуле (эта схема не конечного типа над \C, но предел таковых. Легко можно написать мой пример над открытым куском A^1, если хочется добиться конечного типа). А Х=Proj R[x,y,z]/(x^2-tyz), тогда схема X естественным образом отображается в S. Заметим, что X не имеет вложенных точек, так как задано одним уравнением, которое не является (локально) делителем нуля, в регулярной схеме, поэтому X является Коэн-Маколеевой => не имеет вложенных точек (или можно просто проверить руками). Тогда R-плоскость равносильна тому, что в аффинных картах X не имеет t-кручения, это в свою очередь следует из того, что R[x,y,z]/(x^2-tyz) не имеет t-кручения. Следовательно, f:X-->S плоский морфизм, легко видеть, что каждый слой есть кривая (теорема Крулля о размерности). Осталось понять, что общий слой гладкий и геометрически связный. Гладкость следует из якобиева критерия гладкости (важно что мы не над полем характеристики 2!). Для геометрической связности достаточно доказать геометрическую неприводимость, это, в свою очередь, следует из целости кольца \overline{\C(t)}[x,y,z]/(x^2-tyz) (это следует из того, что x^2-tyz -- неприводимый многочлен). Поэтому общий слой морфизма f:X-->S действительно гладкий и геометрически связный!

    Осталось понять, что замкнутый слой является неприведённым, тогда из рассуждения выше будет автоматически следовать, что f_*\O_X не коммутирует с заменами базы. Действительно, так как Proj-конструция коммутирует с произвольными заменами базы, то замкнутый слой есть Proj \C[x,y,z]/(x^2), ну а эта штука уже приведена (имеет нильпотент x в аффинных картах).

    Таким образом мы построили желамый контрпример.

    P.S. Верная теорема, связанная с коммутирование (высших) прямых образов и замены базы, называется Cohomology and Base Change. Она не является тавтологией, и она не является универсальной. В каждом конкретном случае, чтобы её применить, нужно знать что-то дополнительно про геометрию отображения f:X-->S.

    UPD: Из этого примера, кстати, можно соорудить пример плоской собственной схемы X над аффинной схемой Spec R, такой что глобальные сечения структурного пучка не являются R-плоским модулем. Это тоже ошибка, которую я встречал миллион раз. В частности, она присутствует в книжке Qing Liu. Не совсем такая, но похожая ошибка встречается и в статье Артина "Algebraization of Formal Moduli I".
    Friday, May 11th, 2018
    11:11 pm
    Квази-когерентные пучки на (жёстко-)аналитических пространствах
    В этом посте я хочу показать, что квази-когерентные пучки на жёстко-аналитических пространствах ведут себя не так, как можно было бы ожидать. Например, существуют квази-когерентные пучки на аффиноидных пространствах с ненулевыми старшими когомологиями. Кроме того, категория квази-когерентных пучков на жёстко-аналитических пространствах не замкнута относительно фильтрованных копределов (но это я покажу в одном из следующих постов). Следует отметить, что все конструкции применимы в случае комплесно аналитических пространств с некоторыми оговорками: аффинноидные пространства нужно заменить на Штейновы, Sp k< T> на открытый одномерный диск радиуса 1, и некоторые конструкции нужно делать чуть более аккуратно в комплексном случае, потому что в этом сеттинге нет явной биекции между алгебрами/конечными модулями и Штейновыми многообразиями/когерентными пучками на них.

    Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве называется когерентным, если
    1) существует допустимое открытое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X, такое что для каждого i\in I существуют натуральное число s_i с сюрьективным морфизмом f:\O_{U_i}^{s_i}-->F.
    2) для любого допустимого открытого подмножества U\subset X и любого морфизма f:\O_U^t-->F ядро является пучком конечного типа (удовлетворяет пункту 1).

    Замечание: Для определения когерентных пучков на комплексно-аналитических пространствах (или вообще на любых локально-окольцованных пространствах) нужно просто убрать везде из определения слово "допустимый" (проблема в случае жёстко-аналитических пространств заключается в том, что они не являются топологическими пространствами, а только G-топологизированными пространствами)

    Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве Х называется квази-когерентным, если существует допустимое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X и индуктивная система когерентных пучков {F_{i,n}} на U_i для каждого i\in I, что F|_{U_i} изоморфен индуктивному пределу colim_n F_{i,n}.

    В жёстко-аналитической геометрии существует две важные теоремы про когерентные пучки:

    Теорема Киля: Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Х cуществует конечный А-модуль M, такой что F=M^~ (то есть F(Sp B)=B\otimes_A M для любой аффиноидной подобласти SpB \subset SpA)
    Теорема Картана B/Тейта:Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Sp A старшие когомологии H^i(X,F)=0 для любого i>0.

    Замечание: Теорема Киля не имеет аналогов в комплексном случае, теорема Тейта же верна в комплексной ситуации и называется просто теоремой Картана B.

    Естественный вопрос:"верны ли аналоги этих теорем для квази-когерентных пучков?" (В случае потенциальной теоремы Киля для квази-когерентных пучков нужно убрать требование конечности для модуля М). По крайней мере мы знаем, что оба аналога верны в случае схем.

    Оказывается, что ответ:"нет". На самом деле достаточно построить контрпример к теореме Картана B, потому что если посмотреть на доказательство Тейта своей теоремы, то можно увидеть, что на самом деле Тейт доказывает эту теорему для любого пучка вида M^{~} (важно, что в определении M^~ мы берём обычное тензорное произведение, а не пополненное!). Поэтому любой пучок \O_X-модулей на аффиноидном пространстве, для которого неверна теорема Картана B, автоматически не может быть вида M^~ для любого А-модуля M.

    Давайте теперь построим пример такого пучка. Пусть X=Sp K< T> есть "единичный неархимедов шар" (в комплексном случае нужно брать открытый шар радиуса 1). И выберем две произвольные точки x,y\in X(K). Определим U':=X\{x} и U'':=X\{y} -- открытое допустимое покрытие пространства Х, и пусть U будет пересечением U'\cap U''.

    Определим пучок F':=\sum_{i\in \Z} \O_{U'}a_i на U' и пучок F'':=\sum_{i\in \Z} \O_{U''}b_i на U'' и заметим, что оба пучка являются квази-когерентными как прямые суммы когерентных (когерентность структурного пучка \O в комплексном случае -- это содержательная теорема Ока. В жёстко-аналитическом случае это проще, но там неочевидно, что структурный "пучок" вообще является пучком. По модулю этого факта когерентность не так сложна).

    Теперь чтобы склеить F' и F'' нужно задать их изоморфизм на пересечение U'\cap U''=U. Для этого выберем произвольную аналитическую функцию h на U с существенными особенностями в x и y (которая не продолжается до мероморфной в обе точки) и зададим два изоморфизма свободного пучка счётного ранга \sum_{n\in \Z}\O_U e_i с обоими ограничениями F'|_{U} и F''|_{U} следующим образом:

    \phi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F'|_{U}, где
    \phi/(e_{2m})=a_{2m}|_{U} и \phi(e_{2m+1})=a_{2m+1}|_{U}+he_{2m+2}|_{U}

    \psi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F''|_{U}, где
    \psi(e_{2m})=b_{2m}|_{U}+hb_{2m+1}|_{U} и \psi(e_{2m+1})=b_{2m+1}|_{U}.

    Теперь мы можем склеить наши пучки F' и F'' на U по \phi\circ \psi^{-1} (очевидно, что f и g являются изоморфизмами), так как у нас покрытие из всего двух карт, поэтому нам не нужно проверять никакие условия коцикла. Обозначим эту склейку F' и F'' за F, который уже является пучком на X. Пучок F является квази-когерентным по определению, так как F|_{U'}=F' и F|_{U''}=F'' являются пределами когерентных пучков и покрытие {U',U''} является допустимым.

    Теперь нам нужно показать, что у пучка F имеются старшие когомологии. Сведём задачу к вычислению глобальных сечений F, а именно рассмотрим точную последовательность:

    0 --> F-T->F--> F/TF --> 0,

    где первое отображение есть умножение на T (напомню, что T есть выбранная образующая в K< T>), это отображение очевидно инъективно (из локального описания F) и фактор равен пучку небоскрёбу в нуле, поэтому H^0(X, F/TF)\neq 0. Более того, мы имеем точную последовательность когомологий

    H^0(X,F) --> H^0(X,F/TF)-->H^1(X,F),

    поэтому чтобы доказать, что H^1(X,F) не равен нулю, достаточно доказать, что пучок F не имеет глобальных сечений! А это уже посильная задача. Но нам понадобится следующая техническая лемма:

    Лемма: Пусть X нормальное (все локальные кольца нормальны) жёстко-аналитическое (или комплексно-аналитическое) пространство, V\subset X допустимое подмножество и G локально (то есть в каком-то допустимом открытом покрытии) изоморфен \sum_{i\in \Z} \O_X, тогда морфизм ограничения G(X) --> G(U) инъективен.
    Доказательство: Я докажу это в жёстко-аналитическом случае. В комплесном случае аргумент можно адаптировать, по существу ничего не меняется.
    Шаг 1: Свести к случае G=\O_X, нужно сначала показать, что достаточно работать локально, чтобы считать, что G=\sum_{i\in \Z} \O_X. Далее практически тавтологичный аргумент позволяет считать, что G=\O_X.

    Шаг 2: Свести к случаю X=Sp A есть связный аффиноид и V=Sp B есть связная аффиноидная подобласть. Доказательство достаточно простое: выберем допустимое покрытие X аффиноидами, чтобы свести к случае аффиноида Х, потом выберем допустимое аффиноидное покрытие V, чтобы свести к случае аффиноидной подобласти. Повторим аргумент, чтобы добиться связности SpA и SpB.

    Шаг 3: Доказать, что любой подаффиноидной области Sp B \subset Sp A канонический морфизм A-->B является плоским. Это стандартный факт в теории жёстко-аналитических (комплексных) пространств, это теорема 4.1/7 в книжке Bosch "Rigid and Formal Geometry".

    Шаг 4: Доказать, что из нормальности Sp A (все локальные кольца A в смысле жёсткой геометрии) следует нормальность кольца А. Вкратце доказывается это следующим образом: A--нормально если и только если все локализации А в максимальных идеалах нормальны. Поэтому достаточно показать, что все локализации в максимальных идеалах A_{\m_x} нормальны (Идеал \m_x соответсвует точке x\in Sp A). Теорема Киля (другая) гарантирует нам превосходность всех локальных колец \O_{X,x}, а тогда теорема 23.9 из книжки Матсумуры "Commutative Ring Theory"+критерий нормальности Серра говорят нам, что \O_{X,x} нормально, если и только если его пополнение \O_{X,x}^ нормально. Но в теорема 4.1/2 книжки Bosch'a доказано, что \O_{X,x}^=A_{\m_x}^, воспользуемся ещё раз теоремой 23.9 из книжки матсумуры (зная нётеровость A_{\m_x} для любой аффиноидной алгебры А!), чтобы заключить нормальность A_{\m}.

    Шаг 5: Конец аргумента. Из всех предыдущих шагов имеем, что Sp A -- связно => А без идемпотентов + нормально => область целостности. Морфизм A=\O_X(X)-->\O_X(V)=B плоский => инъективный, так как А не имеет делителей нуля. Победа.


    Окей, теперь посчитаем глобальные сечения. Лемма гарантирует, что F(X)-->F(U) есть вложение. Поэтому достаточно показать, что все глобальные сечения F зануляются на U. Из построения F мы знаем, что F|_{U}=\sum_{i\in \Z} \O_U e_i, хочется сказать, что любое сечение F над U есть конечная линейная комбинация e_i'ых. Но тут есть небольшая проблема, так как мы берём бесконечную прямую сумму, то наивная конструкция прямой суммы не будет давать нам пучок и нам нужно пучковизовывать наивную конструкцию. Но также U не является квази-компактным жёстко-аналитическим пространством, поэтому априори непонятно почему любое сечение есть конечная линейная комбинация e_i'ых (например, это неверно для топологического пространства X:=\Z c дискретной топологией и набора пучков небоскрёбов в каждой точке \Z_n. Тогда (\sum_{\i \in \Z}\Z_n)(X)=\prod_{i\in \Z} \Z_n(X)!). Однако нас спасает наша Лемма! Выберем любой подаффинод V\subset U, тогда F(U)--> F(V) инъективен, а на F(V)=\sum_{i\in \Z} \O_V(V)e_i из-за нётеровости V/явной конструкции прямой суммы когерентных пучков на аффиноидном пространстве [этот шаг требует чуть другого аргумента в комплексном случае, который в свою очередь тоже основывается на Лемме выше]. Окей, таким образом мы всё-таки можем сказать, что любое сечение f\in F(U) есть конечная прямая сумма

    f=\sum_{i=M}^N f_ie_{i}, где f_i\in \O_U(U).

    Нужно понять какие ограничения на f_i накладывает условие, что f на самом деле есть глобальное сечение F.

    С одной стороны мы знаем, что если f=g|_{U} для некоторого g\in F(X), тогда f=(g|_{U'})|_{U}, то есть ограничение какого-то сечения с U'. Но согласно нашему построению F (а точнее выбору \phi и \psi) это влечёт следующие условия:

    * f_i аналитично в x при чётном i и f_i-hf_{i+1} аналитично в х при нечётном i.

    Аналогичное рассуждение с заменой U' на U'' показывает, что у нас есть ещё одно условие на f_i. А именно,

    * f_i-hf_{i+1} аналитично в y при чётном i и f_i аналитично в y при нечётном i.

    Но теперь применим эти условия к i=M и i=M-1. Пусть M чётно, если оно нечётно аргумент ровно такой же с точность до замены x на y. Тогда первое условие для i=M влечёт аналитичность f_M в х. Первое же условие для i=M-1 уже влечёт аналитичность f_{M-1}-hf_M, но f_{M-1} равно 0 в силу выбора M! Следовательно hf_M тоже аналитично в x. Но это значит, что h=(hf_M)/f_M есть мероморфная функция в x, противоречие с выбором h!

    Подытоживая всё сказанное выше, мы получаем, что H^1(X,F)\neq 0 и F не равен M^~ для любого А-модуля M!
    Monday, April 30th, 2018
    5:57 am
    Великолепно!
    Уже 6 утра, сижу смотрю стрим митинга. Лучший митинг эвер.
    Не слушайте никого кроме либертарианцев (по крайней мере в России).

    TOP 10 ANIME CROSSOVERS



    UPD:
    https://twitter.com/lifenews_ru/status/990931399019565057
    Ещё лучше, чем я думал!
    Saturday, April 28th, 2018
    12:52 am
    Митинг против Роскомнадзора, 30 апреля, 14:00, Пр. Cахарова
    Либертарианская Партия России организует митинг против Роскомнадзора.
    30 Апреля, 14:00, Проспект Сахарова.
    http://digitalresistance.moscow/
    https://www.youtube.com/watch?v=FT6TVvAQ5OY

    Сам я, к сожалению, не смогу там быть, но если был бы в Москве точно бы вышел (я и так всегда выходил, когда выходило больше 30 фриков).
    Если бы знал хотя бы за месяц, то обязательно бы прилетел. Так перевёл им 1500р, завтра переведу столько же ФК партии.
    Напомню, что Либертарианская Партия России -- это единственное приличное оппозиционное движение в России.
    Будем надеяться на рождение новой оппозиции 30 Апреля.
    Пора уже навсегда распрощаться с Пархомбюро, Венедиктовым, Собчак, Митей Алешковским и прочими ублюдками, с помощью которых у нас отобрали победу в 2011.
    Wednesday, April 25th, 2018
    11:30 pm
    Гладко-этальный сайт схемы (стэка) не функториален.
    В этом посте я расскажу про знаменитую ошибку в книжке "Champs Algebriques" Laumon'a и Morret-Bailley, которую обнаружил Габбер и заделал Олссон. Для определения квази-когерентных пучков на Артиновых стэках обычно используется гладко-этальная топология (lisse-etale topology), но оказывается, что топос, заданный этой топологией, не функториален, что создаёт кучу проблем в основаниях теории. Везде далее можно считать, что X--это схема. Пример нефункториальности данной топологии будет виден уже на уровне схем, единственная причина говорить тут про Артиновы стэки--это контекст в котором актуальна гладко-этальная топология.

    Определение: Объектами гладко-этального сайта артинова стэка Х являются схемы с гладким морфизмом в U. Набор отображений {U_i}-->U является покрытием объекта U, если все отображения U_i-->U этальные и объединение образов совпадает со всем U.

    Для того, чтобы доказать, что гладко-этальный топос не функториален нужно для начала определить понятие морфизма топосов (под топосом я понимаю просто категорию пучков множеств на каком-то сайте).

    Определение: Пусть T_1 и T_2 два топоса (реально можно думать, что T_i=Shv(C_i) для какого-то сайта C_i, никакие больше случаи мне важны не будут), тогда морфизм топосов (f^{-1}, f_*): T_1-->T_2 пара сопряжённых функторов f_*:T_1-->T_2 и f^{-1}:T_2 --> T_1 (f^{-1}-левый сопряжённый, f_*-правый сопряжённый) с условием, что f^{-1}-точен.

    Замечание 1: Что вообще значит, что f^{-1} есть точный функтор? Категория пучков множеств Shv(C_i) не абелева. На самом деле это просто жаргон для функтора, который коммутирует со всеми конечными пределами и копределами (равносильно коммутирует с (ко-)эквалайзерами и (ко-)прямыми произведениями). Несложно показать, что в случае морфизма абелевых категорий понятие точного функтора равносильно понятию аддитивного точного функтора в обычном смысле.

    Замечание 2: По определению f^{-1} является сопряжённым слева функтором, поэтому он автоматически точен справа (коммутирует с конечными копределами). Следовательно, точность этого функтора равносильна его точности слева, что в свою очередь равносильно сохранению эквалайзеров и конечных произведений.

    Замечание 3: Почему это "правильное" определение? Во-первых, мы знаем, что в случае непрерывного морфизма топологических пространств f:X-->Y функтор f^{-1} действительно точен. Ну и вообще это выполняется во многих естественных случаях. Но это объяснение не математическое, давайте скажем почему это важное условие чисто математически. Для простоты ограничимся случае T_i=Shv(C_i), хотя это, конечно, не обязательно. Прежде всего стоит заметить, что f^{-1} должен коммутировать с конечными прямыми произведениями, чтобы переводить пучки абелевых групп на С_2 в пучки абелевых групп на C_1! Действительно, если вы попробуете это строго доказать, то чтобы определить операцию умножения вам будет необходимо требовать, чтобы f^{-1}(AxA) было равно f^{-1}(A)xf^{-1}(A). OK, то есть любое разумное определение морфизма топосов должно требовать, чтобы f^{-1} коммутировал с прямыми произведениями.

    Что насчёт эквалайзеров? Тут возникают две проблемы, одну я обсужу сейчас, а другую позже на конкретном примере. Первая проблема состоит в том, что без точности f^{-1} непонятно как строить спектралку Лере-Серра. То есть пусть у меня есть два морфизма топосов (f^{-1}, f_*):T_1-->T_2 и (g^{-1},g_*):T_2-->T_3, тогда хочется сказать, что существует спектральная последовательность

    E_2^{p,q}=R^pg_*(T_2, R^qf_* F)=> R^{p+q}(g\circ f)_* F.

    Действительно, это "просто" спектралка Гротендика композиции производных функторов (казалось бы). Но нет, чтобы спектралка Гротендика существовала необходимо требовать, чтобы f_* переводил инъективные объекты (пучки) в g_*-ацикличные! И единственный способ это доказывать в такой общности -- это сказать, что f_* есть правый сопряжённый к точному функтору f^{-1}, поэтому он сохраняет инъективные объекты! (Тут важно ещё, что мы считаем производные функторы в категории абелевых пучков, а не Qcoh или \O_X-модулей, чтобы f^{-1} был точен, f^* как правило не точен! Апостериори оказывается не важно считать прямые образы в \O_X-модулях или абелевых группах) Поэтому условие на точность функтора f^{-1} вполне естественно, иначе бы все основания были сильно хуже.

    Вернёмся теперь к нашему случаю.
    Что мы имеем в виду под функториальностью гладко-этального топоса для артиновых стэков? Мы хотели бы для каждого морфизма f:X-->Y артиновых стэков (опять же можно думать, что везде схемы, это не суть важно) построить морфизм топосов (f^{-1}, f_*):Shv(X_{l-e})-->Shv(Y_{l-e}), но не произвольный, а с заранее выбранным f_*. Предположим опять для простоты, что f:X-->Y представим алгебраическими пространствами (или даже схемами). Тогда у нас есть естественный кандидат на f_*, а именно, мы определяем (f_*F)(U)=F(U\times_Y X)(заметим, что при наших условиях U\times_Y X есть алгебраическое пространство (схема) с гладким морфизмом в Х, следовательно мы можем вычислять значение нашего пучка F на этом объекте. Строго говоря, это требует некоторой аккуратности в случае морфизма представимого алгебраическими пространствами (в моём определении сайте участвуют только схемы), но я не буду этого касаться). В случае произвольного морфизма артиновых стэков см. определение f_* в книжке Олссона "Algebraic Spaces and Stacks" гл.9. Теперь чтобы построить морфизм топосов необходимо построить функтор f^{-1}, сопряжённый к f_* и доказать его точность. Отметим, что у нас уже нет никакой свободы выбора по сути, если f^{-1} существует, то он единственен (вероятно, я должен сказать единственный с точностью до единственного изоморфизма)! Поэтому как только мы выбрали f_*, все остальные данные в определении морфизма топосов становятся условиями.

    Оказывается, что f^{-1} всегда существует и конструкция примерно такая же как обычно: нужно взять некоторый копредел, а потом пучковизовать получившийся предпучок (это дело работает для произвольного непрерывного морфизма сайтов, доказательство и конструкция также содержатся в книжке Олссона). И, более того, f^{-1} всегда коммутирует с конечными прямыми произведениями, что можно увидеть из явной конструкции. Остаётся единственный вопрос:"Верно ли что f^{-1} есть точный функтор?" Оказывается, что нет! По существу проблема состоит в том, что предел, который необходимо брать в определении f^{-1} не является фильтрованным, поэтому непонятно почему он должен быть точным слева. Но вместо этого я лучше построю конкретный контрпример в категории пучков абелевых групп на гладко-этальном сайте (это допустимо, так как f^{-1} коммутирует с конечными произведениями, поэтому переводит пучки абелевых групп в пучки абелевых групп).

    Явный пример: рассмотрим замкнутое вложение f:Y:=Spec(k)-->X:=A^1_k=Spec(k[t]) как нулевое сечение (k-поле). Тогда я утверждаю, что f^{-1}\O_X=\O_Y (пулбэк в категории гладко-этальных пучков). Тут я должен объяснить что такое структурный пучок в гладко-этальной топологии, я определяю его как \O_X(U)=\O_U(U), легко проверить, что это действительно пучок абелевых групп в гладко-этальной топологии. Я не описал явную конструкцию для f^{-1}, но для того, чтобы это доказать мы ничего и не будем использовать кроме сопряжённости к функтору f_*.

    OK, заметим, что пучок \O_X представлен схемой A^1_X, действительно \O_X(U)=\O_U(U)=Hom_X(U,\A^1_X). Теперь выберем произвольный пучок G в Shv(Y_{l-e}) и посчитаем Hom(f^{-1}\O_X, G) (я обозначаю за h_Z (пред-)пучок представленный схемой Z. Все представимые объекты в нашей топологии являются пучками по стандартному аргументу с строго плоским спуском).

    Hom(f^{-1}\O_X, G)=Hom(\O_X, f_*G)=Hom(h_{A^1_X}, f_*G)=(f_*G)(A^1_X)=G(A^1_X\times_X Y)=G(A^1_Y)=Hom(\O_Y,G).

    Чем я пользовался, чтобы написать эти равенства? Первое равенство -- сопряжённость f^{-1} и f_*, второе, четвёртое и пятое -- просто определения. Но чтобы написать третье (и шестое) равенство мне критически важно, что A^1_X лежит в гладко-этальном сайте Х, то есть что А^1_X гладко над Х. Иначе я бы просто не мог вычислять f_*(G) на A^1_X, эта схема бы не лежала в сайте и это значение было бы не определено! Также я пользуюсь леммой Йонеды в равенствах 3 и 6.

    Теперь мы замечаем, что лемма Йонеды влечёт, что равенство Hom(f^{-1}\O_X,G)=Hom(\O_Y,G) равносильно f^{-1}\O_X=\O_Y. Хочу отметить, что это вычисление совершенно неверно в зариской топологии (не путать с f^*!)и в малой этальной топологии, например (A^1_X-->X не является объектом этих сайтов).

    Наконец можно построить конкретный пример, когда f^{-1} не сохраняет точность слева. Рассмотрим морфизм пучков \O_X-->\O_X, заданный просто умножением на t. Этот морфизм инъективный, так как любая схема U c гладким морфизмом g:U-->A^1_k=X является гладкой над Spec k, значит там нет t-кручения, следовательно \O_X(U)-->\O_X(U) инъективно для любого объекта в гладко-этальном сайте X.

    Но как только мы возьмём пулбэк этого морфизм на Y=Spec k, то это будет морфизм \O_{Spec k}-->\O_{Spec k}, который есть умножение на "t", но t=0 на Spec k (f:Y-->X есть нулевое вложение), поэтому этот морфизм не будет инъективным! То есть f^{-1} не является точным функтором! То есть гладко-этальный топос действительно не функториален. Удивительно, что никто не замечал эту ошибку до Габбера.








    OK, теперь можно задаться насколько плохи наши дела из-за этого факта. Второй вопрос: можно ли использовать другую топологию, чтобы решить проблему нефункториальности? [Далее могут быть какие-то неточности или мелкие ошибки, я не уверен, что я ничего не пропустил или не перепутал]

    Начнём с первого. Как я уже говорил непонятно почему существует спектралка Лерэ-Серра для морфизма артиновых стэков. Есть вторая проблема (которую я упоминал выше), а именно, непонятно как определять производный функтор Lf^*:D^{-}_{Qcoh}(\O_Y-mod)-->D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) на уровне производных категорий для (представимого) морфизма f:X-->Y. Для определения квази-когерентного пучка на артиновом стэке нужно опять же смотреть в книжку Олссона. В чём проблема с Lf^*? Для начала мне нужно сказать что значат все эти символы.

    Напомню, что функтор f^* определяется как сопряжённый к f_* но в категории пучков \O_X-модулей (легко проверить, что f_*:Shv(X_{l-e})--> Shv(Y_{l-e} переводит пучки \O_X-модулей в пучки \O_Y-модулей), явная конструкция такая:f^*(F)=f^{-1}(F)\otimes_{f^{-1}(\O_Y)}\O_X. Теперь D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) является ограниченной снизу производной категорией комплексов \O_X-модулей с квази-когерентными когомологиями. Я не знаю никакой причины (мб это неверно) почему D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod)=D^{-}(Qcoh(X)), в случае локально-нётеровых схем это реальная теорема, в случае артиновых стэков я не уверен что это правда. Теперь чтобы определить морфизм Lf^*:D^{-}_{Qcoh}(\O_Y-mod)-->D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) нам необходимо проверить, что f^* есть точный справа аддитивный функтор на категории \O_Y-mod, который "переводит комплексы с квази-когерентными когомологиями в комплексы с квази-когерентными когомологиями" (не совсем).

    Оказывается, что это неочевидно, но верно, что f^* действительно сохраняет квази-когерентные пучки, но непонятно почему он сохраняет комплексы с квази-когерентными когомологиями. По сути нам необходимо проверить, что после применения f^* к комплексу \O_X-плоских модулей с квази-когерентными когомологиями получается комплекс с квази-когерентными когомологиями. Хочется сказать, что когомологии будут просто пулбэком, но для этого нужна точность f^{-1}(понятно, если попробовать строго доказать).

    Удивительным образом обе проблемы (и некоторые другие) были в некоторой степени решены Олссоном в его статье "Sheaves on Artin Stacks" с помощью симплициальных методов (но всё-таки Lf^* не определён на всей D^{-}).

    Второй вопрос: На самом деле я не знаю ответа. Большой этальный сайт и большой плоский сайт автоматически функториальны. Поэтому таких проблем не будет, будут проблемы связанные с тем, что вложение категории квази-когерентных пучков в категорию всех пучков не есть точный функтор, поэтому подкатегория квази-когерентных пучков в \O_X-модулях не подкатегория Серра и производная категория D^{-}_{Qcoh}(\O_X) имеет мало смысла, а мы действительно хотим рассматривать в основаниях именно эту категорию. Чтобы увидеть, что Qcoh(X)_{big-flat} --> (\O_X-mod)_{big flat} не является точным функтором достаточно рассмотреть ровно тот же самый пример, что я рассмотрел выше.

    Пусть X=A^1_k, тогда строго плоский спуск гарантирует, что категория квази-когерентных пучков в большом плоском сайте эквивалентна категории квази-когерентных пучков в Зарисской топологии. В частности морфизм пучков \O_X-->\O_X, заданный умножением на t инъективный. Но если мы ограничим это дело на Spec k-->A^1_k(нулевое сечение), то этот морфизм станет опять нулевым морфизмом \O_X(Spec k)=k-->k=\O_X(Spec k) (заметим, что тут Spec k-->A^1_k уже лежит в нашем сайте, значит мы можем просто вычислять \O_X на этом объекте и не должны уже доказывать, что f^{-1}\O_X=\O_{Spec k}). То есть в большом плоском сайте этот морфизм уже не инъективный, значит Qcoh(X)--> (\O_X-mod)_{big flat} уже не является точным для X=A^1_k. То есть, кажется, что проблема в обоих подходах по сути заключена в одном и том же, но проявляется чуть по разному.

    Тем не менее, на стэкспроджекте теория пучков на артиновых стэках развита в большом плоском сайте. Я это не читал, но, насколько я понимаю, от этого не становится сильно проще жить, и де Йонгу требуется всё равно огромная работа, чтобы всё работало в таком сэттинге. Поправьте меня, если я не прав.
    Wednesday, March 21st, 2018
    3:18 am
    Пример неэффективного спуска для проективной схемы над DVR. Пример
    В предыдущем тексте я изложил мотивацию. Теперь я собственно построю явный контрпример, следуя книжке Neron Models. Для этого нам понадобится несколько утверждений про стягивание кривых из этой самой книжки.

    Определение: Пусть R -- кольцо, и f:X --> Spec R -- относительная собственная нормальная кривая и C \subset X -- замкнутая R-подсхема. Мы говорим, что R-морфизм p:X --> Y в собственную нормальную R-схему Y называется стягиванием С, если p является изоморфизмом вне C и схемно-теоретический образ f(C) есть замкнутая точка.

    Замечание 1: Практически во всех примерах нас будет интересовать случай кольца дискретного нормирования R и кривой C в замкнутом слое X_s.

    Замечание 2: Нетрудно показать, что если стягивание существует, то оно единственное.

    Теорема 1: Пусть f:X --> Spec R есть собственная нормальная кривая над DVR R и пусть C \subset X_s -- неприводимая компонента замкнутого слоя отличная от всего слоя X_s, тогда существование стягивания C эквивалентно наличию относительного дивизора Картье D над S, такого что замкнутый слой D_{s} пересекает все неприводимые компоненты X_s кроме С.

    Теорема 2: Пусть f:X --> Spec R есть собственная нормальная кривая над гензелевым DVR R и пусть C \subset X_s -- неприводимая компонента замкнутого слоя отличная от всего слоя X_s, тогда всегда существует стягивание С.

    Для доказательства смотри утверждения 6.7/3 и 6.7/4 в книжке N'eron Models.

    Мне понадобится ещё одна забавная теорема из той же самой книги, но её я докажу, потому что доказательство крайне смешное.

    Теорема 3: Пусть p:Spec R' --> Spec R этальный морфизм колец дискретного нормирования, который тривиален на полях вычетов и пусть f:X' --> Spec R' есть произвольная R'-схема с данным спуска на общем слое (X'_{K'}, \phi_{K'}), тогда это данное спуска единственным образом продолжается на X'.
    Доказательство: Обозначим за K":=K'\otimes_K K' и R":=R'\otimes_R R', аналогично обозначим тройные произведения за K''' и R'''. Заметим, что из-за того что R --> R' тривиально на полях вычетов, то замкнутый слой (Spec R")_s равен замкнутому слою (Spec R')_s и аналогично (Spec R''')_s=(Spec R")_s=(Spec R')_s.

    Теперь посмотрим на диагональное вложение \delta_{R'/R}:Spec R' --> Spec R", так как морфизм Spec R' --> Spec R -- отделимый, то \delta_{R'/R} -- замкнутое вложение. Но кроме того Spec R' --> Spec R является этальным морфизмом, а значит \delta_{R'/R} ещё и открытое вложение! Значит у нас есть разложение Spec R"=\delta_{R'/R}(Spec R') \cup T', где \delta_{R'/R}(Spec R') открыто и замкнуто, значит это объединение является дизъюнктным. Кроме того, из аргумента выше следует что замкнутый слой (Spec R'')_s совпадает с замкнутым слоем (\delta_{R'/R}(Spec R'))_s, а значит T' сосредоточено над общей точкой. Далее мы будем просто писать, что Spec R"= Spec R' \sqcup T".

    Аналогичное рассуждение показывает, что Spec R'''=Spec R' \sqcup T''', где T''' сосредоточен над общей точкой. Более того, заметим, что все p_{i,j} и p_i задают тождественные изоморфизмы соответствующих Spec R'.

    Теперь зададим \phi:p_1^*X --> p_2^*X (обе схемы над Spec R'') как тождественный изоморфизм над Spec R' и как ограничение \phi_K над T'' (мы здесь пользуемся тем, что T'' сосредоточен над общей точкой!). Осталось проверить, что ограничение \phi на общий слой даёт данное спуска \phi_K и что \phi удовлетворяет условию коцикла.

    Чтобы проверить первое условие достаточно показать, что \phi над диагональю общего слоя \delta_{R'/R}(Spec R')_{K'}=\delta_{K'/K}(Spec K') совпадает с \phi_K над диагональю общего слоя. Первое отображение есть identity по построению, нужно показать что второе отображение всегда есть identity. На самом деле верно, что ограничение любого данного спуска на диагональ есть тождественный морфизм. Давайте это увидим:

    Рассмотрим диагональные отображения \delta^2: Spec K' --> Spec K" и \delta^3: Spec K' --> Spec K''', тогда мы можем ограничить изоморфизм \phi_K:p_1^*X_{K'} --> p_2^*X_{K'} (обе схемы над Spec K'') на \delta^2, обозначим это ограничение за \phi_{delta}:t_1^*X_{K'} --> t_2^*X_{K'}, где t_1 (соотв. t_2) есть композиция \delta^2\circ p_1 (соотв. \delta^2\circ p_1). Заметим, что t_1=t_2=Id канонически, поэтому мы можем воспринимать \phi_{delta} как изоморфизм X_{K'} --> X_{K'}. Кроме того мы можем ограничить условие коцикла \p_{13}^*(\phi)=p_{23}^*(\phi)\circ p_{12}^*(\phi) на \delta_3, чтобы получить равенство \phi_{delta}\circ \phi_{delta}=\phi_{delta} => \phi_{delta}=Id (так как \phi_{delta} изоморфизм!). Другими словами для любого данного спуска ограничение \phi_K на диагональ есть тождественный морфизм! Таким образом мы действительно проверили, что ограничение построенного выше \phi на общий слой совпадает c \phi_K.

    Осталось проверить условие коцикла. Но оно тавтологично выполнено над общим слоем, так как ограничение на общий слой равно \phi_K. Кроме того, оно тавтологично выполнено над \delta_{R'/R}, так как там мы определили \phi=Id => оно выполнено везде, так как Spec R"=\delta_{R'/R}(Spec R')\sqcup T", где T" лежит в общем слое.

    Замечание: Теорема 3 остаётся верной, если мы заменим условие этальности морфизма R--> R' на условие инд-этальности (копредела этальных морфизмов), если при этом требовать конечной представленности морфизма f:X' --> Spec R'. Действительно, пусть R'=colim R_i, где R_i -- этально над R, тогда X' определён над одним из R_i, возьмём продолжение данного спуска над этим R_i и сделаем назад замену базы на R'. Это позволяет нам применять Теорему 3 к отображению гензелизации R --> R^h и конечно-представленных R^h-схем.



    Окей, на данный момент мы уже знаем достаточно, чтобы построить контрпример к эффективности спуска схем. Идея построения следующая: мы построим относительную собственную нормальную кривую X над негензелевым DVR R и неприводимую компоненту C в замкнутом слое X_s, так что её нельзя стянуть над R. После замены базы на R^h эта кривая станят стягиваемая (Теорема 2), пусть это стягивание есть Y, тогда, используя Теорему 3, мы посмотрим на Y данное спуска, и если бы спуск был эффективен, то это бы дало нам стягивание кривой C над R, что невозможно.

    Давайте постепенно выполнять данный план. Для начала нужно построить R и Х. В качестве R мы возьмём \C[T]_{T-a} для любого комплексного ненулевого числа а. Обозначим поле вычетов R за k (k изоморфно \C), и поле частных -- за K (K изоморфно \C(T)). Теперь перейдём к построению X:

    Утверждение: Существует относительная эллиптическая кривая E над R и точка x\in E(k), такая что все кратности [n]x не поднимаются до E(R)-точки.
    Доказательство: Будем для простоты считать, что a не равно 0, чтобы было удобнее писать формулы. Тогда рассмотрим относительную эллиптическую кривую \E над Spec C[T,T^{-1}] с непостоянным j-инвариантом и возьмём её пулбэк на R, который мы обозначим за Е (такая кривая существует, например, Y^2Z=X^3+TX^2Z работает, это единственное место, где мы используем a\neq 0). Теорема Нерона-Ленга говорит, что группа E(K) -- конечно-порождена (см. Теорему 7.1 и обсуждение под ней для доказательства). Из валюативного критерия собственности мы заключаем, что E(K)=E(R) и эта группа конечно-порождена, в частности, счётная! Рассмотрим группу k-точек E(k), так как k изоморфно \C, то эта группа несчётна. Из этого следует, что если мы возьмём образ редукции E(R) в E(k) и рассмотрим всевозможные \Q-кратности этих точек, то мы всё равно получим счётную группу. А значит существует точка x\in E(k), такая что любая её целочисленная кратности не поднимается до E(R) точки.

    Замечание: Для гензелевого DVR такой точки никогда не существует, так как для любой гладкой R-схемы X(R) --> X(k) сюрьективно.

    Теперь мы определяем X как раздутие E в точке x (E и x как в теореме выше). Заметим, что раздутие -- проективный морфизм и раздутие схем над DVR сохраняет плоскость => X -- проективная плоская схема над Spec R. Кроме того, раздутие регулярной схемы в регулярной подсхеме сохраняет регулярность => X -- регулярна (но не гладкая над S!). Более того, мы можем посчитать замкнутый слой X -- это объединение P^1_k и замкнутого слоя E_s относительной R-кривой E, пересекающееся в одной точке (раздутие вклеивает проективизацию нормального конуса, так как точка внутри регулярной схемы -- локально полное пересечение, то эта проективизация ровно P^1_k). Теперь главное утверждение в том, что E_s нельзя стянуть в X.

    Утверждение:: Пусть R, E, X как раньше, тогда не существует стягивания E_s в X над R.
    Доказательство: Пусть стягивание существует, тогда Теорема 1 гарантирует нам существование относительного эффективного дивизора Картье D на X, такого что D не пересекается с E_s (напомню, что дивизор Картье D \subset X называется относительным для морфизма f:X --> Y, если D является плоской схемой над Y). Перейдём к приведённой структуре на D, это не испортит его плоскость над DVR R. Теперь рассмотрим общий слой дивизора D_{K} \subset X_K, из R-относительности мы заключаем, что D_K есть дивизор Картье на X_K. Вспомнив, что X_K=Y_K, мы определим D' как схемно-теоретическое замыкание D_K в Y. Схемное замыкание замкнутой подсхемы в общем слое плоской схемы над DVR всегда плоско над этим DVR, следовательно D' -- относительный эффективный дивизор Картье на Y. Более того, из собственности f следует, что f(D) -- замкнутая подсхема, содержащая D'_K=D_K, а значит f(D) содержит D'. То есть замкнутый слой D'_s лежит внутри замкнутого слоя f(D)_s, а следовательно теоретико-множественно совпадает с замкнутой точкой x. Из этого мы можем сделать вывод, что замкнутый слой D'_s равен n[x] как дивизор для некоторого натурального числа n (умножение на n как дивизоров, а не точек на эллиптической кривой). Рассмотрим дивизор Q:=D'-n[0_E], где 0_E -- единичное сечение кривой E/R. Дивизор Q является дивизором степени 0 на замкнутом слое, а значит \O_E(Q) задаёт R-точку схемы Pic^0_{E/R} (строго говоря, тут нужен аргумент. Но он стандартный и изложен, например, в главе 9 книги N'eron Models). Теперь у нас есть коммутативная диаграмма:

    E(R) ---> Pic^0_{E/R}(R)
    ↓ ↓
    E(k) ---> Pic^0_{E/R}(k)=Pic^0_{E_s/k}(k),

    где горизонтальные стрелки изоморфизмы групповых схем! (Изоморфизм E_s --> Pic^0_{E_s/k} -- стандартный факт из теории эллиптических кривых, изоморфизм E --> Pic^0_{E/R} можно доказать воспользовавшись гладкостью обоих схем и послойными аргументами) Правая вертикальная стрелка переводит линейное расслоение \O_E(Q) в его ограничение на замкнутый слой, которое равно \O_{E_s}(D'_s-n[0_{E_s}])=\O_{E_s}(n[x]-n[0_{E_s}]) (мы здесь пользуемся плоскость D', чтобы заключить, что \O_E(D)|_{E_s}=\O_{E_s}(D_s)!). Но \O_{E_s}(n[x]-n[0_{E_s}]) есть образ [n]x при нижнем изоморфизме (пользуемся, что E_s --> Pic^0_{E_s/k} изоморфизм групповых схем!), а значит [n]x лежит в образе E(R), так как соответсвующий ему элемент в Pic^0_{E_s/k}(k) находится в образе Pic^0_{E/R}(R) по построению! Но значит [n]x поднимается до R-точки схемы E, но по выбору точки x никакая её кратность не поднимается до R-точки, противоречие! Значит не существует никакого стягивания E_s внутри замкнутого слоя X.



    Теперь мы уже практически победили. Мы знаем, что мы не можем стянуть E_s в X над R, однако если мы сделаем замену базу на R':=R^h, то замкнутый слой X':=X\times_R R' равен замкнутому слою X в силу того, что расширение R -->R^h тривиально на поле вычетов. Но Теорема 2 гарантирует нам, что мы можем стянуть E_s внутри X' (будем обозначать E_s внутри X' за E_s^')! То есть существует морфизм f':X' --> Y', такой что f' изоморфизм вне E_s^', f'(E_s^') равно замкнутой точке и Y' есть нормальная собственная R'-схема.

    Заметим, что на X' есть каноническая данное спуска (X', can), так как X' является заменой базы схемы над Spec R. Общие слои Y' и X' совпадают в силу конструкции Y', то есть на общем слое Y'_{K'} мы можем определить данное спуска как (Y'_{K'}, can_{K'}). Воспользуемся Теоремой 3, чтобы продолжить это данное спуска на всю схему Y'! Обозначим его за (Y', \phi), нам осталось показать, что оно неэффективно. Предположим противное, пусть (Y', \phi) -- эффективно. Тогда существует схема Y над R, такая что Y\otimes_R R'=Y'. Так как собственность, нормальность и относительная размерность спускается относительно строго плоских морфизмов, то мы заключаем, что Y -- собственная, нормальная относительная кривая над R. Мы хотим показать, что Y является стягиванием E_s на X. Прежде всего нам необходимо спустить морфизм f':X' --> Y', однако заметим, что из единственности стягивания над произвольной базой, следует, что на f' имеется данное спуска (любая замена базы f":X'\otimes_R' R" --> Y'\otimes_R' R'' канонически(!) совпадает со стягиванием E_s в X'\otimes_R' R''. Отметим, что это имеет смысл, так как замкнутый слой X'\otimes_R' R" cовпадает с замкнутым слоем X'. Если проговорить это аккуратно, то это задаст данное спуска на f, согласованное с (X', can) и (Y', \phi)). Поэтому эффективность спуска на морфизмах схем влечёт, что f' спускается до морфизма f:X --> Y, такого что f\otimes_R R'=f'. Осталось показать, что f есть стягивание E_s. Заметим, что f' есть изоморфизм вне E_s^' => f есть изоморфизм вне E_s, так как свойство быть изоморфизмом спускается относительно произвольного строго плоского морфизма. Но кроме того f' совпадает с f на замкнутом слое, а значит f(E_s)=f'(E_s^')=точка=> f есть стягивание E_s! Но его не существует, противоречие. Значит данное спуска (Y', \phi) не эффективно!

    Мы уже построили нормальную собственную относительную кривую Y' над гензелевым DVR и данное спуска на ней относительно расширения R --> R', такое что этот спуск неэффективен. Осталось понять почему Y' проективна над R'. Но это общая теорема, что любая нормальная собственная относительная кривая над гензелевым DVR проективна. Доказательство по существу сводится к Утверждению 6.7/4 из N'eron models и послойному критерию обильности EGA III_1 4.7.1 Можно доказать проективность другим способом, сказав, что стягивание кривой на собственной нормальной кривой над DVR всегда проективно по построению (Neron models 6.7/2)
    3:17 am
    Пример неэффективного спуска для проективной схемы над DVR. Мотивация
    Сегодня я хочу привести контрпример к эффективности спуска схем для строго плоских морфизмов. Многие люди почему-то считают, что плоский спуск -- это какая-то смесь эзотерики и тавтологий. На мой взгляд это совершенно не так, большинство теорем об эффективности того или иного спуска довольно нетривиальны, а кроме того очень полезны на практике. Я попробую это объяснить ниже на конкретных примерах, а также объяснить о чём будет контрпример.

    Идея строго плоского спуска состоит в том, чтобы обобщить понятие "склейки" в топологии и спуска Галуа в арифметике. В любой задаче спуска нам дан строго плоский (плоский, сюрьективный и квази-компактный) морфизм схем p: T-->S и какой-то "объект" F на Х (нас будут прежде всего интересовать 2 случая: F -- квази-когерентный пучок на T и T-схема g:X-->T) и данное спуска или, другими словами, "коцикл". Что это такое? Пусть T^2:=T\times_S T есть расслоеный квадрат T над S, из этого произведения существуют два отображения проекции p_1, p_2:T^2 --> T, мы можем также рассмотреть тройное произведение T^3:=T\times_S T\times_S T, из него есть три проекции p_{12}, p_{23}, p_{13}:T^3 -->T^2 (p_{i,j} -- проекция на произведение слагаемых i и j). В таком случае данное спуска -- это выбор изоморфизма \phi: p_1^*(F) --> p_2^*(F) как объектов над T^2 (в нашей категории пулбэк должен иметь смысл. В двух наших примерах есть естественное определение пулбэка), такое что p_{23}*(\phi) \circ p_{12}*(\phi)=p_{13}^*(\phi). Заметим, что если задан изоморфизм F c p^*G для некоторого G -- объекта на S, то на F есть каноническое данное спуска, где изоморфизм can: p_1^*p^*(G) --> p_2^*p^*(G) приходит из равенства p\circ p_1 = p_2 \circ p.

    ОК, что это реально значит? Спуск можно понимать по-разному, но давайте просто рассмотрим два конкретных примера. Первый пример -- это T=дизъюнктное (квази-компактное) объединение открытых подсхем U_i в S, таких что {U_i} есть покрытие S в топологии Зарисского, тогда легко видеть (упражнение), что данное спуска в точности совпадает с данным склейки относительного этого покрытия. А именно, \phi задаёт изоморфизмы ограничения F на U_i \cap U_j=U_i\times_S U_j с ограничением F на U_j \cap U_i, которые согласованны на тройных пересечениях. Также можно проверить, что в случае S=Spec K, T=Spec L и L/K -- конечное расширение Галуа абстрактное данное спуска совпадает с данным спуска Галуа (идея: L\otimes_K L = \prod_{i}^{[L:K]} L).

    Теперь я должен сказать в чём заключается утверждение плоского спуска. Для этого мне нужно определить понятие эффективности спуска. Данное спуска (F,\phi) называется эффективным, если существует объект G на S, что (F, \phi)\cong (p^*G, can) (Я не определил изоморфизм данных спуска, но его несложно восстановить самому). Все основные теоремы про строго плоский спуск заключаются в том, что на какой-то категории любое данное спуска эффективно.

    Теорема: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на Qcoh(T) эффективно.

    Более или менее, эта теорема нам говорит, что мы можем склеивать векторные расслоения (более общо, квази-когерентные пучки) локально в плоской топологии. Отсюда, например, следует крайне важный факт в основаниях этальной топологии, что Pic(X)=H^1_{Zar}(X,\O_X^*)=H^1_{et}(X,G_m)=H^1_{fl}(X,G_m). Но кроме этого у этой теоремы есть другое важное следствие:

    Теорема: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на квази-аффинных T-схемах эффективно.

    Что говорит эта теорема? Она говорит, что мы можем локально в плоской топологии клеить квази-аффинные схемы . То есть если у меня есть квази-аффинная T-схема f:X-->T (квази-аффинность значит, что морфизм f:X-->T является квази-аффинным морфизмом) с данным спуска, тогда эта схема на самом деле приходит как пулбэк схемы на S. Это потрясающе важная теорема, например, из неё следует такой хорошо-знакомый всем факт:

    Следствие: Пусть G -- аффиная алгебраическая группа над схемой S, тогда множество G-торсоров над S в плоской/этальной/Зариской топологии находится в естественной биекцией с множеством H^1_{fl}(S,G)/H^1_{'et}(S,G)/H^1_{Zar}(S,G).

    Естественный вопрос заключается в том, что происходит для произвольных T-cхем, эффективен ли спуск для них? Ответ -- нет, в общем случае спуск схем не всегда эффективен, но он эффективен во многих случаях. А именно, главная идея заключается в том, чтобы вместе со схемой спускать обильный пучок. В частности, мы будем всегда вынуждены ограничиваться квази-проективными схемами.

    Теорема 1: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на категории T-cхем с выбранным T-обильным пуском является эффективным.

    Давайте расшифруем эту теорему. Она говорит, что если есть T-cхема f:X -->T и T-обильный пучок \L на X (в частности, X обязана быть квази-проективной схемой над T), тогда выбор T^2-изоморфизма схем \phi:p_1^*X --> p_2^*X и изоморфизма пучков \psi:q_1^*\L --> \phi^*q_2^* \L (где q_i:p_i^*X --> X -- естественная проекция) с естественным условием коцикла на \phi и "\phi-линейным" условием коцикла на \psi (детали опущены, но условно нам нужно обычное условие коцикла на \phi после отождествления всех расслоенных произведение X\times_T T^3 при помощи \phi) задаёт нам единственным образом S-cхему g:Y --> S и обильный S-пучок \N на Y, так что p^*(Y,N)\cong (X,L).

    Эта теорема является главной теоремой про спуск схем, и все остальные (известные мне), так или иначе, сводятся к данной. Давайте сформулируем несколько "следcтвий":

    Следствие 1: Пусть p: Spec L --> Spec K морфизм спектров полей, тогда данное спуска на категории квази-проективных схем всегда эффективно.

    Идея доказательства: свести с помощью spreading-out техник к случаю конечного расширения L/K. Далее, в случае чисто несепарабельного расширения можно показать руками, что спуск всегда эффективен. Таким образом вопрос сводится к случаю сепарабельного расширения, увеличив поле, можно считать, что это расширение Галуа. В этом случае Следствие 1 действительно является следствием Теоремы, мы выберем любой обильный пучок L' и "усредним" его относительно действия группы Галуа, получив пучок L. Данное спуска на X продолжится на пару (X, L), и по теореме 1 этот спуск уже будет эффективен.

    Куда более нетривиально следующее следствие:

    Cледствие 2 Пусть p: Spec R' --> Spec R есть строго плоский морфизм двух колец дискретного нормирования, и пусть G -- гладкая отделимая групповая схема конечного типа на R', тогда любое данное спуска на G эффективно.

    Доказательство этой теоремы изложено в книжке Neron Models, глава 6. Оно состоит из двух принципиально разных шагов: первый -- это доказать квази-проективность любой гладкой отделимой групповой схемы конечного типа над DVR, а именно, нужно доказать, что дополнение до любой R'-плотной S-аффиной подсхемы в G задаёт S-обильный дивизор на G и научиться строить такие подсхемы. Второй шаг заключается в том, чтобы имея такое описание обильных дивизоров, суметь вывести из эффективности спуска на общем слое эффективность над R'. Обозначим K':=Frac(R'), K:=Frac(R), тогда, грубо говоря, эффективность на общем слое позволяет нам найти там открытую аффиную плотную подсхему U_{K'}, такую что данное спуска на G_{K'} ограничивается на данное спуска на U_{K'}, а потом взять схемное замыкание G_{K'}-U_{K'} в G, которое задаст нам обильный дивизор с данным спуска, что позволит воспользоваться Теоремой 1, чтобы завершить доказательство. Проблема в том, что непонятно как контролировать замкнутый слой этого замыкания, поэтому действовать нужно немного иначе. Отмечу, что в случае, когда K'/K не является алгебраическим расширением, доказательство становится чрезвычайно техническим.

    Посмотрев на Следствия 1 и 2, возникает естественный вопрос: Насколько важно иметь данное спуска для пары (X,\L) в Теореме 1? Можно ли заключить, что спуск всегда эффективен на категории квази-проективных схем? Ещё более оптимистический вопрос звучит следующим образом: А существует ли вообще пример схемы и данного спуска на ней, что этот спуск неэффективен?

    Оказывается, что с первого взгляда дела обстоят настолько плохо, насколько это возможно. А именно, в следующем посту я приведу пример относительной нормальной проективной кривой над DVR и данного спуска на ней, такой что этот спуск неэффективен. Это даст пример схемы на которой спуск неэффективен, более того, в этом примере T-схема f:X -->T будет T-проективной. Это значит, что Теорема 1 -- это максимум из того, что мы можем доказать в общем случае. Однако перед тем как закончить мне нужно сказать про улучшение Теоремы 1 Артиным, которое условно говорит, что если немного увеличить категорию схем, то спуск всегда будет эффективным (по крайней мере если ограничиться конечно-представленными строго плоскими морфизмами), а значит всё не так уж плохо, как могло показаться на первый взгляд.

    Теорема: Пусть f:T --> S есть строго-плоский конечно-представленный морфизм схем, тогда любое данное спуска на категории алгебраических пространств эффективно.
    Sunday, February 11th, 2018
    2:37 am
    Пример схемы с гомотопически неинвариантной группой Пикара
    Для начала я напомню один хорошо известный факт.

    Теорема: Пусть X есть регулярная схема, тогда Pic(X)=Pic(X\times A^1).

    Стандартное доказательство критическим образом опирается на изоморфизм группы Пикара регулярной схемы с группой классов дивизоров Вейля, см. гл II книжки Хартсхорна. Естественный вопрос звучит следующим образом:"Верно ли это для произвольной (нётеровой) схемы X? Если нет, то какие условия нужно наложить на схему". Естественная догадка заключается в том, что это неверно. Например, из этого результата бы следовало, что Pic(Spec A[X])=0 для любого локального кольца А (так как Pic(A)=0 для любого локального кольца), а такой результат бы точно был написан во всех книжках по алгебраической геометрии. И, действительно, с некоторым трудом можно построить пример локального кольца А с Pic(A[X])\neq 0 (вероятно, есть и простой пример такого кольца А, но тот, который я знаю, не вполне очевидный). Однако в данном посте я расскажу другой контпример, который намного более естественный. Более того, для собственных многообразий над полем, которые имеют рациональную k-точку, можно дать критерий, при котором выполняется равенство Pic(X)=Pic(X\times A^1).

    Давайте теперь переформулируем задачу в форме, в которой на неё будет легче ответить.

    Пусть X -- любое собственное многообразие над полем k со структурным морфизмом p:X --> Spec k, тогда определим функтор Пикара как Pic_{X/k}:=R^1p_*\O_X^*, где под f_* мы понимаем прямой образ в большом этальной сайте. Совершенно нетривиальный факт гласит, что функтор Пикара Pic_{X/k} представим коммутативной групповой схемой. Хочу заметить, что это намного сложнее, чем доказательство Гротендика представимости функтора Пикара для геометрически целого проективного многообразия (см. FGA Explained), и было доказано Артином в его статье "Algebraization of Versal Deformations, I". Если же X имеет точку, то мы, кроме всего прочего, можем доказать, что Pic_{X/k}(S)=Pic(X\times S)/Pic(S) для любой k-схемы S (см. FGA Explained). В частности, так как Pic(A^1)=0, то мы заключаем, что при условии X(k)\neq 0, мы имеем Pic_{X/k}(A^1)=Pic(X\times A^1). В соответсвии с этим, мы можем переформулировать наш вопрос:

    Вопрос Пусть X--собственная схема над полем k, такая что X(k) непусто. Верно ли, что Pic_{X/k}(k)=Pic_{X/k}(A^1)? Другими словами, существует ли непостоянное отображение f:A^1 --> Pic_{X/k}?

    Теперь я хочу построить многообразие, в которое существует непостоянное отображение из G_a. Ответ достаточно простой, подходит любая каспидальная кривая. А именно, рассмотрим

    С:=V(Y^2Z-X^3) \subset P^3_k, и обозначим за p:C --> Spec k структурный морфизм.

    Рассмотрим нормализацию f:P^1 --> C (нормализация C равна P^1 есть стандартное упражнение), обозначим за p':P^1 --> Spec k структурный морфизм. Тогда у нас есть точная последовательность пучков в (малом) этальном сайте

    0 --> \O_C^* --> f_* \O_{P^1}^* --> i_* \O_{Spec k} --> 0, где i:Spec k --> C замкнутое вложение единственной особой точки в C.

    [Строго говоря, мы знаем, что такая последовательность пучков точна в категории пучков в топологии Зарисского. В случае этальной топологии мы всё ещё имеем данную последовательность пучков, и чтобы проверить точность достаточно проверять это послойно, что сводит вопрос к проверке точности на строгой гензелизации локального кольца в особенности C (нормализация коммутирует с строгой гензелизацией). На уровне строгой гензелизации уже можно доказывать точность на глобальных сечений, поэтому это довольно легко (можно свести к точности 0 --> \O_C --> f_* \O_{P^1} --> i_* \O_{Spec k} --> 0, а это можно проверять на пополнении (все пучки когерентные), где это сводится к прямым вычислениям). Доказывать точность этой последовательности в плоской топологии было бы куда сложнее!]

    Теперь применим к данной короткой точной последовательности p_* и напишем соответствующую длинную точную последовательность высших прямых образов (и вспомним, что пучок \O_{Spec k} в этальной топологии по определению равен пучку G_{a,k}).

    0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> (p\circ i)_*G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> R^1p_*\circ i_*G_{a,k} (*)

    Заметим, что p\circ i=Id_{Spec k}, кроме того Supp(i_*G_{a,k})=Spec k, а значит все высшие прямые образы этого пучка зануляются. Из этого следует, что точная последовательность (*) может быть записана следующим образом:

    0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> 0 (**)

    Так как для любой R-алгебры k, p'_*\O_{P^1}^*(Spec R)=Г(P^1_R, \O_{P^1_R}^*)=R^*, а также p_*\O_{C}^*(Spec R)=Г(C_R, \O_{C_R}^*)=R^*. Таким образом первое отображение в точной последовательности (**) изоморфизм! Теперь, вспомнив определение функтора Пикара, заключаем, что имеет место следующая короткая точная последовательность:

    0 --> G_{a,k} --> Pic_{C/k} --> Pic_{P^1/k}-->0.

    Более того, Pic_{P^1/k}=\Z (равенство пучков! Более или менее, это эквивалентно равенству Pic(P^1_A)=\Z для любого локального кольца А. Это не очень сложно доказать при владении некоторой когомологической техникой, но это совершенно не очевидно. К сожалению, я не знаю никакой ссылки на этот факт), так что мы можем наконец заключить, что Pic_{C/k} есть расширение \Z при помощи G_a. В частности, существует нетривиальное отображение из A^1 в Pic_{C/k}, так как G_a=A^1 на уровне схем. То есть Pic(C)\neq Pic(C\times A^1) для нодальной кубики!

    Заметим, что в этом случае мы доказали нечто большее, а именно, существует не только непостоянное отображение A^1 --> Pic_{C/k}, а существует даже подгруппа G_a \subset Pic_{C/k}. И оказывается, что на самом деле существование непостоянного отображения A^1 --> Pic_{C/k} равносильно существованию подгруппы изоморфной G_a.


    Теорема: Пусть X -- cобственная схема над полем k, такая что X(k) непусто, тогда следующие условия эквивалентны:
    1) Pic(X)\neq Pic(X\times A^1)
    2) Существует непостоянное отображение f:A^1--> Pic_{X/k}
    3) Pic_{X/k} содержит подгруппу изоморфную G_a.
    Доказательство:
    Мы уже обсудили эквивалентность 1) и 2). Условие 3) очевидно влечёт условие 2). Осталось доказать 2)=>3).

    Докажем более общее утверждение: Пусть G--коммутативная групповая схема локально конечного типа над полем k, предположим, что существует непостоянное отображение A^1 --> G, тогда G содержит подгруппу изоморфную G_a.

    Выберем точку 0\in A^1(k), образ f(0) есть k-точка схемы G. Обозначим эту точку за x\in G(k) и прокомпонируем f со сдвигом на -x, чтобы свести к случае f(0)=0. Так как A^1 есть связная схема, то f пропускается через связную компоненту G^0. Поэтому можно считать, что G -- связная групповая схема локально-конечного типа над k. Так как любая связная групповая схема локально-конечного типа над полем квази-компактна, то мы также можем считать, что G конечного типа.

    Теперь мы хотим свести к случаю гладкой групповой схемы. Рассмотрим схемное замыкание точек G(k_{sep}) внутри G\otimes k_{sep} -- замены базы G на сепарабельное замыкание поля k. Это геометрически приведённая схема групповая схема над k_{sep} (Теорема 3.2.1). Кроме того, это подсхема замкнута относительно действия группы Галуа Gal(k_{sep}/k) => cпуск Галуа гарантирует, что эта замкнутая групповая подсхема спускается до замкнутой групповой подсхемы G'\subset G. Из построения G' -- геометрически приведённая подсхема. Так как k_{sep}-точки A^1(k_{sep}) плотны по Зарисскому в A^1, то мы заключаем, что любой морфизм f:A^1--> G пропускается через G'(для строгого доказательства сначала нужно сделать замену базы на k_{sep} доказать там, а потом воспользоваться cпуском). Следовательно мы можем считать, что G--геометрически приведённая групповая схема конечного типа. Отметим, что любая геометрически приведённая групповая схема является гладкой, поэтому мы свели к случаю G -- гладкая групповая схема конечного типа. Воспользовавшись, если нужно, опять аргументом из предыдущего абзаца, мы можем считать, что G кроме того связная.

    В итоге, у нас есть отображение f:A^1 --> G c условием f(0)=0 и G -- гладкая связная коммутативная групповая схема конечного типа над k. Рассмотрим теперь замкнутую подгруппу H, порождённую f(A^1) (Утверждение 16.2.1). Тогда существует число n и набор e_{i}\in {+1/-1}, такой что F:A^n=A^1x...xA^1 --> G, определённое по правилу F(x_1,...,x_n)=f(x_1)^{e_1}f(x_2)^{e_2}...f(x_n)^{e_n}, сюрьективно отображается на H.

    Я утверждаю, что H -- гладкая связная унипотентная подгруппа. Это условие можно проверять над алгебраическим замыканием, поэтому, сделав замену базы, можно считать, что k=\bar k. H -- гладкая связная группа по утверждению 16.2.1, осталось показать, что она унипотентная группа. Так как алгебраически замкнутые поля совершенны и H--гладкая и связная, то к H применимо разложение Шевалле (которое неверно без предположения совершенности базового поля!), а именно, существует гладкая связная нормальная линейная алгебраическая подгруппа H^{aff}, такая что X:=H/H^{aff} является абелевым многообразием. То есть существует точная последовательность

    0 --> H^{aff} --> H -p-> X-->0.

    По построению F:A^n -->H есть сюрьективное отображение, но p\circ F:A^n-->X есть нулевое отображение, так как из A^n нет непостоянных отображений в абелевы многообразия (все такие отображения продолжаются до отображений (P^1)^n-->X, но из P^1 нет отображений в X, так как P^1 имеет тривиальное альбанезе). С другой стороны p\circ F есть композиция двух сюрьективных отображений, а значит сюрьективное. То есть p\circ F одновременно сюрьективное и нулевое => X=0. Другими словами, H=H^{aff} есть линейная группа.

    Любая линейная группа над алгебраически замкнутым полем есть произведение G_m^d\times U, где U -- унипотентная группа. Опять же заметим, что F:A^n-->H --> G_m^d должно быть сюрьективным морфизмом, как композиция сюрьективных морфизмов. С другой стороны, Hom_{Sch}(A^n,G_m^d)=Hom_{Sch}(A^n, G_m)^d=Г(k[x_1,...,x_n]^*)^d=(k^*)^d, то есть все отображения постоянные. Значит из сюрьективности F заключаем, что d=0, то есть H=U -- унипотентная группа.

    Теперь возвращаемся к нашему оригинальному вопросу, где H -- подгруппа в G и поле k -- любое. Мы показали, что H -- связная гладкая унипотентная группа. Однако унипотентная группа не обязана иметь подгрупп изоморфных G_a, если она не является расщепимой (пример существует над любым несовершенным полем). Однако оказывается, что наличие сюрьективного отображения из A^n в H автоматически влечёт расщепимость этой группы! Это является одним из утверждений из теории Титса о строении унипотентных групп, например, это утверждение доказано здесь Следствие 3.9.
    Saturday, February 10th, 2018
    11:59 pm
    Пример абелева многообразия без сепарабельных поляризаций
    При изучении абелевых многообразия часто бывает удобным переходить к двойственному абелеву многообразию. Кроме этого нужно уметь связывать абелево многообразие с двойственным, это делается при помощи поляризаций.

    Определение: 1) Морфизм f:A --> A^ называется поляризацией, если после замены базы на алгебраическое замыкание этот морфизм может быть представлен в виде \phi_{L} для некоторого обильного пучка L\in Pic(A\otimes \bar k), где \phi_{L}(a)=t_a^*L\otimes L^{-1} (под t_a я имею сдвиг на а абелевом многообразии А).
    2) Поляризация называется главной, если f:A --> A^ есть изоморфизм.

    Несколько фактов про поляризации абелевых многообразий (все эти факты не вполне тривиальны, если базовое поле не равно \C):

    * Любая эллиптическая кривая имеет каноническую поляризацию, которая задана пучком \O(e), где e\in E(k)--нулевое сечение.

    * Любое абелево многообразие допускает неканоническую поляризацию.

    * Любое абелево многообразие накрывается главно-поляризованным многообразием

    * Степень любой поляризации есть квадрат натурального числа.

    * Пучок L из определения поляризации всегда определён над сепарабельным замыканием k, но не всегда определён над самим полем k!

    * Изогения f:A --> A^ является поляризацией, если и только если этот морфизм симметричен, то есть каноническая композиция A --> A^^ -f^->A^ совпадает с f (первая стрелка -- канонический изоморфизм абелева многообразия с дважды двойственным).

    Это всё очень удобные и важные свойства, но давайте я теперь скажу что всё-таки неверно про поляризации. Зафиксируем простое число p и алгебраически замкнутое поле k, тогда неверно что для любого абелева многообразия А над полем k существует поляризация, степень которой взаимно-проста с p. В частности, неверно что любое абелево многообразие главно-поляризованное. Куда более интересный пример получается, если положить поле k характеристики p, тогда пример выше будет давать нам пример абелева многообразия над k, у которого нет ни одной сепарабельной поляризации!

    Чтобы построить пример зафиксируем две (ординарные, если char k = p) неизогенные эллиптические кривые E и E' (то есть между ними нет нетривиальных отображений). Тогда из алгебраической замкнутости (и ординарности) следует, что Z/pZ подгруппа E[p] и E'[p]. Положим A:=ExE'/(Z/pZ), где Z/pZ вложено диагонально в E\times E'. Фактор является абелевым многообразием размерности 2. Я утверждаю, что степень любой поляризации на A делит p.

    Зафиксируем два канонических вложения j:E --> A и j':E' --> A и предположим, что f:A--> A^ есть поляризация, степень которой взаимно-проста с p. Рассмотрим композицию

    g:E-j-->A -f-->A^-j^-->E^ и g':E'-j'-->A-f-->A^-j'^-->E'^.

    Легко видеть, что обе эти композиции (g и g') являются симметрическими морфизмами (условно f симметрический, так как поляризация, а при переходе к двойственному j и j^ меняются местами). Я утверждаю, что они являются поляризациями, действительно, чтобы проверить, что они являются поляризациями достаточно проверить, что они являются изогениями (по последнему факту о поляризациях в начале поста). Рассмотрим теперь следующую композицию:

    h:ExE'-jxj'--> A-f-->A^-(jxj')^-->E^xE'^.

    Любое отображение из произведения полных многообразий в групповую схему есть произведение ограничений на обе координаты. То есть, h(x,y)=h|_{E}(x)*h|_{E'}(y). Но заметим, что h|_E=g, так как E'^ изоморфно E' (факт 1 о поляризациях), а по предположению между ними нет морфизмов. Значит h|_{E}:E --> Ex{e'}, легко видеть из определений, что этот морфизм по определению совпадает с g. Аналогично h|_{E'}=g', таким образом, мы видим, что h=g\times g'. В свою очередь h есть изогения как композиция изогений. В частности, каждый морфизм из g и g' является изогенией.

    Заметим теперь, что jxj':ExE'--> A является каноническим отображением факторизации ExE'-->A, а значит имеет степень p (это факторизация по действию Z/pZ). Степень двойственного морфизма всегда равна степени самого морфизма, а значит deg(jxj')=p. Так как по предположению степень f не делится на p, то мы заключаем, что deg(h) делится на p^2, но не делится на p^3.

    Теперь по факту 4 об изогениях и равенству h=gxg' заключаем, что степень одной из этих изогений делится на p^2, а степень другой взаимно-проста с p. Не нарушая общности, можно считать, что deg(g) делится на p^2. Но для любого числа m^2 существует ровно одна изогения E степени m^2, а именно, после канонического отождествления E с E^ это отображение переходим в умножение на m. Из этого следует, что ker g содержит полность E[p], а ker g' не пересекается с E'[p].

    Заметим, что из того, что deg f взаимно-просто с p, мы можем вывести, что f является изоморфизмом на p кручении. А значит p-кручение ядра g (соотв. g') равно схемно-теоретическому пересечению p-кручения ядра (jxj')^ и образа j(E) (соотв. j'(E')). Так как ker g содержит E[p] (которое содержит нашу копию Z/pZ), то получаем что j(Z/pZ) содержится в ker (jxj')^. Но j(Z/pZ)=j'(Z/pZ) => j'(Z/pZ) лежит внутри ker(jxj')^ => ker(g') содержит копию Z/pZ внутри E'! То есть имеет p-кручение, противоречие => deg(f) обязана делиться на p.
    Saturday, January 13th, 2018
    9:29 pm
    Группа Брауэра и расширения полей III. Вопрос 2.
    В данном посте я хочу ответить на второй вопрос из моего предыдущего текста. А именно, показать, что над несовершенным полями Br(A^1_k) не равно Br(k). Для этого мне сначала необходимо напомнить несколько фактов про кэлеровы дифференциалы и оператор Картье.

    Пусть X -- произвольная регулярная схема над полем k характеристики p. Тогда мы можем определить абсолютные кэлеровы дифференциалы \Omega^1_{X/F_p}, или просто \Omega^1_{X}. Отметим, что X не является, в общем случае, схемой конечного типа над F_p (потому что уже Spec k не является конечного типа над F_p, кроме случая конечного поля k), поэтому \Omega^1_X не является когерентным пучков. Тем не менее, \Omega^1_X является квази-когерентным пучков, так как конструкция кэлеровых дифференциалов коммутирует с локализациями. Пучок \Omega^1_X приходит с естественным отображением дифференциала d:\O_X --> \Omega^1_X. Обозначим за B_X пучок кограниц, то есть im(d:\O_X --> \Omega^1_X).

    Определим теперь оператор Картье C:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X (строго говоря, его обычно обозначают за C^{-1}, но в нашем случае в этом нет никакого смысла) по формуле C(fdg)=f^pg^{p-1}dg. Для начала давайте проверим корректность этого определения, а именно, что С(d(f+g))=C(df+dg).

    C(d(f+g))=(f+g)^{p-1}d(f+g)=f^{p-1}df+g^{p-1}dg + (f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg=C(df+dg)+(f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg.

    Заметим, что из этого вычисления видно, что C не определён как морфизм \Omega^1_X --> \Omega^1_X, и нужно действительно брать фактор по B_X. Другими словам, наша задача сводится к доказательству того, что (f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg является кограницей. Но это действительно так в силу формулы

    (f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg=d(((f+g)^{p}-f^{p}-g^{p})/p).

    Таким образом, оператор Картье корректно-определённый Фробениус-линейный морфизм C:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X. Нам будет важен ровно один нетривиальный факт про оператор Картье:

    Теорема Пусть X -- регулярная схема над F_p (не обязательно конечного типа!), тогда следующая последовательность этальных пучков точная:

    0 --> G_m/G_m^p -dlog-> \Omega^1_X -(C-Id)-> \Omega^1_X/B_X --> 0. (*)

    Давайте я объясню откуда берутся отображения в этой последовательности. Первая стрелка dlog:G_m/G_m^p --> \Omega^1_X есть морфизм, заданный по правилу dlog(x)=(dx)/x. Это выражение имеет смысл, так как элементы x обратимы, и dx^p=px^{p-1}dx=0. Вторая стрелка C-Id:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X есть разница оператора Картье и проекции. Легко видеть, что (*) является комплексом. Не очень сложно доказать, что (*) точна в первом и третьем члене, основная сложность в доказательстве точности в среднем члене.

    Последнее, что необходимо сказать перед доказательством -- это тривиальность пучка \mu_p на любой приведённой схеме X над полем k характеристики p. Действительно, любая схема U, которая этальна над X, является приведённой, так как этальные морфизмы сохраняют свойство приведённости. Тогда сечение \mu_p на U есть корни p-ой степени из 1 в Г(U,\O_U^*). Но так как U есть приведённая схема над полем характеристики p, то единственный такой корень -- это единица. То есть пучок \mu_p тривиален на (малом) этальном сайте любой приведённой схемы. Из этого следует инъективность отображения [p]:G_m --> G_m в этальном сайте Х. В частности, мы имеем точную последовательность этальных пучков

    0 --> G_m --> G_m --> G_m/G_m^p -->0 . (**)

    Давайте теперь доказывать нетривиальность Br(A^1_k) для несовершенного сепарабельно-замкнутого поля k.

    Теорема: Для любого поля характеристики p верно следующее равенство

    Br(A^1_k)[p]=\Omega^1/(B+(C-id)(\Omega^1)),
    где Br(A^1_k)[p] обозначает p-кручение в группе Брауэра, а \Omega^1 (соотв. B) обозначает \Omega^1_{A^1_k} (соотв. B_{A^1_k}).

    Доказательство: Напишем точную последовательность этальных когомологий, ассоциированную с (**),

    H^1_{et}(A^1_k,G_m) -[p]-> H^1_{et}(A^1_k,G_m) --> H^1_{et}(A^1_k, G_m/G_m^p) --> H^2(A^1_k,G_m) -[p]-> H^2(A^1_k, G_m).

    Теперь вспомним, что H^1_{et}(A^1_k,G_m)=Pic(A^1_k)=0, а H^2_{et}(A^1_k,G_m)=Br(A^1_k). Откуда получаем получаем изоморфизм
    Br(A^1_k)[p]=H^1_{et}(G_m/G_m^p).

    Но эти когомологии мы можем считать с помощью точной последовательности (*):

    0 --> G_m/G_m^p -dlog-> \Omega^1 -(C-Id)-> \Omega^1/B --> 0

    Взяв соответствующую длинную точную последовательность когомологий имеем

    H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1) -(C-Id)->H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1/B) --> H^1_{et}(A^1, G_m/G_m^p) --> H^1_{et}(A^1, \Omega^1).

    Общая теория этальных когомологий говорит, что этальные когомологии квазикогерентного пучка равны когомологиям этого квазикогерентного пучка в топологии Зарисского. Вспомнив также, что высшие зарисские когомологии квазикогерентных пучков зануляются на аффинных схемах, мы видим, что

    H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1)=\Omega^1, H^1_{et}(A^1, \Omega^1)=0, H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1/B)=Г(A^1_k, \Omega^1/B)=\Omega^1/B.

    Таким образом мы имеем точную последовательность:

    \Omega^1 -(C-Id)--> \Omega^1/B --> H^1_{et}(A^1, G_m/G_m^p).

    Таким образом, Br(A^1_k)[p]=\Omega^1/(B+(C-Id)\Omega^1)

    Замечание: Ровно такой же аргумент показывает, что для любой регулярной факториальной аффинной схемы X (например, A^2_k), группа Брауэра Br(X)[p]=\Omega^1_X/(B_X+(C-Id)\Omega^1_X).

    Теперь нам необходимо предъявить нетривиальный элемент в группе \Omega^1_{k[X]}/(B_{k[X]}+(C-Id)\Omega^1_k[X]) для какого-нибудь/любого несовершенного поля. Так как у меня нет цели доказывать всё в максимальной общности, я приведу пример для конкретного (на самом деле Br(A^1_k) нетривиально для любого несовершенного поля k, но доказательство этого, более сильного утверждения, сводится к примеру, который я обсужу ниже) несовершенного поля k:=F_p(T)_{sep} (сепарабельное замыкание F_p(T)). А именно, я утверждаю, что класс XdT в \Omega^1_{k[X]}/(B_{k[X]}+(C-Id)\Omega^1_{k[X]}) не равен нулю.

    Отметим, что формация групп Брауэра коммутирует с индуктивными пределами, а поле F_p(T)_{sep} есть прямой предел конечных сепарабельных расширений F_p(T). И для каждого такого расширения k'/F_p(T) класс XdT корректно-определён в Br(A^1_{k'})[p]. Поэтому достаточно доказать, что для каждого конечного расширения k'/F_p(T) класс XdT не равен нулю в Br(A^1_{k'})[p]. Говоря иначе, можно предполагать, что k' -- глобальное поле характеристики p.

    Заметим, что с каждым элементом a\in k' связано естественное отображение специализации k'[X] --> k', которое переводит X в a. Это задаёт отображение ev_a:Br(A^1_{k'})[p] --> Br(k')[p]=\Omega^1_{k'}/(B_{k'}+(C-Id)\Omega^1_{k'}). Глобальная теория полей классов (для функционального поля k') говорит нам, что существует короткая точная последовательность

    0 --> Br(k') --> \osum_{v\in C(F_p)} \Q/\Z --> \Q/\Z --> 0, где C(F_p) есть F_p-рациональные точки единственной регулярной проективной кривой с полем частных k'.

    В частности Br(k')[p] нетривиально. Из нашего описания p-кручения группы Брауэра аффинных регулярных схем следует, что
    Br(k')[p]=\Omega^1_{k'}/(B_{k'}+(C-Id)\Omega^1_{k'}). Выберем теперь a\in k', такое что a*dT не равно нулю в Br(k')[p]. Тогда отображение специализации ev_a:Br(A^1_{k'})[p] --> Br(k')[p] переводит XdT в ненулевой элемент a*dT группы Брауэра Br(k'). А значит, что XdT был не равен нулю и в Br(A^1_{k'}).

    То есть Br(A^1_{k'}) не равно нулю для любого сепарабельного расширения k'/F_p(T). Более того, для каждого такого k', канонический элемент XdT не равен нулю в группе Брауэра. А значит и в пределе Br(A^1_k) не равно нулю. Напомним, что k=F_p(T)_{sep}, а значит Br(k)=0, так как группа Брауэра сепарабельного-замкнутого поля тривиальна. Таким образом Br(A^1_k) не равно Br(k)!

    Более того, практически дословно такой же аргумент показывает, что Br(A^2_k) не равно нулю для (как минимум) конечного поля k. Вспомнив, что группа Брауэра конечного поля тривиальна, то из этого следует, что группа Брауэра не является гомотопическим инвариантом и для совершенных полей в характеристике p.
    Saturday, December 2nd, 2017
    1:22 am
    Группа Брауэра и расширения полей II. Вопрос 1.
    Давайте теперь обсудим Вопрос 1 из моего предыдущего поста . А именно, я приведу пример поля k и гладкой, геометрически целой, собственной схемы Х, такой что отображение Br(X) \to Br(X \otimes_k \bar k) не инъективно. Мой пример будет не совсем явным, а опираться на пример Мамфорда гладкой, проективной поверхности с неприведённой схемой Пикара. Я этот пример не разбирал, надеюсь, что Мамфорд доказал существование такой поверхности для произвольного поля. По крайней мере я буду предполагать, что для любого поля k положительной характеристики существует гладкая, геометрически целая, проективная поверхность X, такая что Pic_{X/k} не является приведённой.

    Давайте начнём строить пример. Выберем поля k таким образом, чтобы оно было сепарабельно-замкнутым полем характеристики p и группа k^*/(k^*)^p была бесконечной. Например, подойдёт сепарабельное замыкание F_p(T). Теперь зафиксируем поверхность Мамфорда X над выбранным полем k. Я утверждаю, что отображение Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) не является инъективным.

    Давайте потихоньку изучать ситуацию. Для начала напишем спектальную последовательно Лерэ-Серра для отображения f:X --> Spec k:

    E_{2}^{p,q}=H^p_{fl}(k, R^qf_* G_m) => H^{p+q}_{fl}(X, G_m).

    Теперь мы хотим доказать, что достаточно много членов в этой спектралке зануляется, чтобы мы могли вытащить какую-нибудь полезную информацию.

    Шаг 1: E_2^{p,0}=H^p_{fl}(k,f_*G_m) зануляется при p>0. Во-первых, из геометрической целости X следует, что f_* G_m=G_m. Таким образом, H^p_{fl}(k,f_*G_m)=H^p_{fl}(k,G_m). Теперь применим теорему Гротендика , чтобы получить H^p_{fl}(k,G_m)=H^p_{et}(k,G_m). Но этальные когомологии сепарабельно-замкнутого поля нулевые с коэффициентами в любом пучке! Поэтому E_2^{p,0}=0 при p>0. (Далее мы часто будем использовать аргументы такого типа, иногда опуская часть деталей)

    Шаг 2: Из Шага 1 следует, что E_2^{1,1}=E_{\infty}^{1,1}, потому что ему не с чем сократиться. А так как E_{\infty}^{2,0}=E_{2}^{2,0}=0, мы заключаем, что у нас имеется инъективное отображение E_{2}^{1,1} \to H^2(X,G_m) (так как спектралка сходится к H^{p+q}_{fl}(X,G_m)). Подставляя значение E_2^{1,1} получаем инъективное отображение H^1_{fl}(k, R^1f_*G_m) --> Br(X). Более того, R^1f_*G_m=Pic_{X/k} примерно по определению функтора Pic_{X/k}. Таким образом, имеем инъективное отображение H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) \to Br(X).

    Шаг 3: Из Шага 1 также следует, что E_{\infty}^{0,2}=E_{3}^{0,2}.

    Распишем теперь E_3^{0,2} по определению

    E_3^{0,2}=ker (d:E_2^{0,2} --> E_2^{1,1})=
    =ker(d:H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, R^1f_*G_m))=
    =ker(d:H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k}))

    Шаг 4: Опять же из Шага 1 следует, что E_{\infty}^{3,0}=0, поэтому общая теория спектральных последовательностей говорит нам, что у нас есть точная последовательность

    0 --> E_{\infty}^{1,1} --> H^2_{fl}(X, G_m) --> E_{\infty}^{0,2} --> 0.

    Подставляем сюда результаты Шагов 2 и 3 и получаем следующую точную последовательность.

    0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> ker(H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k})) -->0.

    Или, переписывая чуть красивее, видим следующую точную последовательность:

    0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k}) (*)

    Теперь давайте попробуем посчитать H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m). Обозначим X':=X\otimes_k \bar k и X'':=X\otimes_k (\bar k \otimes_k \bar k). Так как любое покрытие в плоской топологии U \to Spec k доминируется покрытием \Spec \bar k \to Spec k (теорема Гильберта о нулях), то R^2f_*G_m(Spec \bar k)=H^2_{fl}(X',G_m)=Br(X') (тонкость в том, что в определении R^2f_* участвует пучковизация. Априори это довольно загадочный функтор, но в нашем случае теорема Гильберта о нулях позволяет нам посчитать R^2f_* довольно явно). Сказав все эти слова, мы посчитаем H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m), применив определение пучка к плоскому покрытию Spec \bar k \to Spec k. А именно,

    H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m)=ker(R^2f_*G_m(Spec \bar k) --> R^2f_*G_m(Spec \bar k \otimes_k \bar k))=ker(H^2_{fl}(X', G_m) -->H^2_{fl}(X'',G_m))=ker(Br(X') --> Br(X'')).

    Подставим теперь это в точную последовательность (*) и прокомпонируем с естественным пложением ker(Br(X') --> Br(X'')) в Br(X'), чтобы получить точную последовательность

    0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> Br(X')


    Давайте поймём что мы тут уже понадоказывали про Br(X) \to Br(X'). А мы уже "посчитали" интересующее нас ядро отображения Br(X) --> Br(X'), и оно равно H^1_{fl}(k, Pic_{X/k})!

    Наблюдение: Сейчас мы легко можем заключить, что Br(X) --> Br(X') инъективно, если Pic_{X/k} есть гладкая схема. Воспользуемся опять теоремой Гротендика, чтобы сказать, что H^1_{fl}(k,Pic_{X/k})=H^1_{et}(k,Pic_{X/k})=0 в силу сепарабельной замкнутости k. Таким образом, вся наша беда действительно сосредоточена в негладкости схемы Pic_{X/k}.

    Нам осталось посчитать H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}). Это будем довольно большая серия редукций, в итоге все сведётся к когомологиям \mu_{p^n} и \alpha_{p}. Давайте попорядку, в Pic_{X/k} мы можем выделить связную компоненту единицы Pic^0_{X/k}, фактор по которой будет этальная группа NS_{X/k}.

    0 --> Pic^0_{X/k} --> Pic_{X/k} --> NS_{X/k} --> 0 (**)

    В SGA 6 доказана довольно нетривиальная теорема о том, что NS всегда является конечно-порождённой группой. Помимо этого, она этальна, в частности, гладкая. А значит, что
    H^1_{fl}(k, NS_{X/k})=H^1_{et}(k, NS_{X/k})=0. Напишем теперь длинную точную последовать, ассоциированную с (**), чтобы получить точную последовательность:

    NS_{X/k}(k) --> H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k}) --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> 0

    Замечаем, что так как NS_{X/k}(k) конечно-порождена, то для доказательства нетривиальности H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) достаточно доказать, что абелева группа H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k}) не является конечно-порождённой. Теперь ключевой момент, нам нужно воспользоваться следующей леммой.

    Лемма: Пусть G -- собственная коммутативная связная групповая схема над полем k, тогда G_red является гладкой собственной замкнутой подгруппой в G.
    Замечание: Эта Лемма совершенно нетривиальна и удивительна! Конечно, она тривиальна над совершенными полями, но над несовершенными полями она абсолютно нетривиальна и неверна без предположения собственности. Существуют примеры, когда G_red не является подгруппой или не является гладкой. Я не знаю никакой ссылки на этот факт, вероятно, я его докажу в отдельном посту.

    Воспользуемся этой леммой, и напишем следующую короткую точную последовательность:

    0 --> Pic^0_{X/k}_{red} --> Pic^0_{X/k} --> I -->0

    Заметим, что из гладкости Pic^0_{X/k}_{red} следует зануление H^i_{fl}(k, Pic^0_{X/k}_{red}) при i>0 (опять теорема Гротендика). Поэтому H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k})=H^1_{fl}(k,I).

    Давайте поймём, что мы знаем про I. Во-первых, I является конечной групповой схемой в силу квази-компактности схемы Pic^0_{X/k} (любая связная групповая схема над полем квази-компактна, несложный факт). Во-вторых, она является связной коммутативной групповой схемой в силу связности и коммутативности Pic^0_{X/k}. В сумме, I является конечной коммутативной групповой схемой, поэтому мы можем изучать её с помощью стандартных способов в духе двойственности Картье и local-'etale точных последовательностей. (См. Лекции Pink'a для определений и доказательств основных теорем теории конечных коммутативных групповых схем) Рассмотрим групповую схему D(I), которая является двойственной по Картье к I. Для неё существует local-etale короткая точная последовательность

    0 --> D(I)^0 --> D(I) --> D(I)^{et} --> 0

    Перейдя обратно к двойственным по Картье, получаем точную последовательность:

    0 --> D(D(I)^{et}) --> I --> D(D(I)^0) --> 0.

    Отметим, что из сепарабельной замкнутости k следует, что все этальные коммутативные конечные группы -- постоянны, то есть равны произведению различных Z/NZ. Картье-двойственная группа к Z/NZ есть \mu_N. Отсюда следует, что A:=D(D(I)^{et})=\prod_N \mu_{N}^{m_N}. Но также мы знаем, что I локальная группа, поэтому и все подгруппы должны быть такими, следовательно, все подгруппы \mu_N, встречающиеся в A, должны быть локальными. Но конечная группа \mu_N является локальной только в случае N=p^k для некоторого натурального числа k. Заключаем, что A=\prod_k \mu_{p^k}^{m_k}.

    Докажем, что если A есть нетривиальная схема, то H^1_{fl}(k,I) не конечно-порождённая группа. Обозначим D(D(I)^0) за B. Мы имеем короткую точную последовательность

    0 --> A --> I --> B --> 0 (***)

    Так как A, I и B являются локальными групповыми схемами, то A(k)=I(k)=B(k)={0}. Откуда следует, что написав длинную точную последовательность когомологий, ассоциированную с (***), получаем точную последовательность

    0 --> H^1_{fl}(k,A) --> H^1_{fl}(k, I) --> H^1_{fl} (B) --> H^2_{fl}(k, A).

    В частности, H^1_{fl}(k,A) вкладывается в H^1_{fl}(k,I). Вспомним, что A есть произведение групп вида \mu_{p^k}, а значит, что нам достаточно доказать, что H^1_{fl}(k,\mu_{p^k}) не является конечно-порождённой группой, чтобы заключить такое же следствие для A. В плоской топологии мы имеем точную последовательность Куммера

    0 --> \mu_{p^n} --> G_m --> G_m --> 0

    Применяю вездесущую теорему Гротендика, мы видим из длинной точной последовательности когомологий, что H^1(k, \mu_{p^n})=k^*/(k^*)^{p^n}. Но по предположению на наше базовое поле k, группа k^*/(k^*)^{p} бесконечна. Следовательно, и группа k^*/{k^*}^{p^n} является бесконечной. Кроме того, это группа кручения, поэтому из бесконечности следует, что эта группа не конечно-порождена. То есть, если A не равно нулю, то H^1_{fl}(k,A) вкладывается в H^1_{fl}(k, I) и мы победили!

    Теперь пусть A=0. В этом случае I=B=(D(I)^0) есть нетривиальная группа. Этот случай самый сложный, но давайте проанализируем и его. B является локальной конечной коммутативной групповой схемой (так как B изоморфна I). С другой стороны, Картье двойственная к ней является также локальной. Классификация конечных коммутативных групповых схем говорит нам, что в этом случае операторы Фробениуса F и Фершибунга V нильпотентны на B (См. Prop. 15.6 в записка Pink'a). Профильтруем B по ядрам степеней F и V, чтобы предполагать, что B является последовательным расширением групп, на которых F и V действуют нулём. Обозначим эту фильтрацию за

    0\subset B_{n+1} \subset B_{n} \subset B_{n-1} \subset ... \subset B_0=B.

    Классификация конечных коммутативных групповых схем c F=0 и V=0 говорит, что (B_i/B_{i+1}) изоморфно групповой схеме \alpha_{p}^{m_i} (См. Prop. 16.2 в записках Pink'a). Уплотним нашу фильтрацию, чтобы предполагать, что B_i/B_{i+1}=\alpha_p.

    Схоже с тем, что мы делали в случае нетривиальной подсхемы A, мы можем показать, что H^1_{fl}(k, B_n) вкладывается в H^1_{fl}(k, B) (мы используем, что все группы B_i и все их факторы являются локальными). То есть нам достаточно показать, что H^1_{fl}(k, \alpha_p) не является конечно-порождённой группой. Для этого рассмотрим короткую точную последовательность Артина-Шрайера

    0 --> \alpha_p --> G_a --> G_a -->0

    Точно такой же аргумент, как в случае короткой точной последовательности Куммера, показывает, что H^1_{fl}(k, \alpha_p)=k/k^p (фактор как аддитивной группы). Теперь выберем базис {e_i} векторного пространства k над полем k^p, то есть k=\osum_{i\geq 0} e_i*k^p. Не нарушая общности, можно считать, что e_0=1, тогда k/k^p\subset \osum_{i>0} e_i*k^p. То есть фактор содержит как минимум одну копию k^p. Из несепарабельности k заключаем, что k не конечно, то есть k/k^p --бесконечная группа, но она ещё и группа кручения, так как char k =p. А значит, что k/k^p не конечно-порождена! Победа!

    Суммируя всё сказанное выше, мы показали, что H^1_{fl}(k, I) не конечно-порождённая группа. А значит, H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) является нетривиальной группой, как было объяснено выше. То есть Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) действительно имеет нетривиальное ядро!
    12:13 am
    Группа Брауэра и расширения полей I. Мотивация и введение
    В своих предыдущих постах я довольно подробно объяснил как себя ведёт группа Пикара при расширении полей. В этом же посту я хочу дать какую-то мотивацию к изучению поведения группы Брауэра при расширении полей.

    Начнём с того, что Группа Пикара имеет довольно простое когомологическое описание, а именно, Pic(X)=H^1(X,\O_X^*). Интересный вопрос -- насколько сильно нам важно явное описание через обратимые пучки или дивизоры Картье, чтобы реально изучать этот объект. Можем ли вывести большинство свойств Pic(X) просто из когомологического описания. Например, как сильно H^1(X,\O_X^*) отличается от H^i(X,\O_X^*) при i>1?

    Для начала заметим, что на самом деле поставленные выше вопросы чересчур наивны. Например, плоский спуск нам гарантирует, что Pic(X)=H^1(X,\O_X^*)=H^1_{et}(X,G_m)=H^1_{fl}(X, G_m). Не очень понятно когомологии в какой из топологих естественно сравнивать с функтором Пикара. На самом деле когомологии в топологии Зариского нам совсем не годятся, как по простым целям таким, как невозможность что-либо явно посчитать в них, так и по более разумным: определение относительного функтора Пикара морфизма f:X --> S нам говорит, что Pic_{X/S}=R^1f_* G_m, но где f_* рассматривается как прямой образ в плоской(!) топологии. При разных условиях на морфизм f, можно работать и в этальной топологии, но в общем случае правильнее всего работать в плоской. Из этого следует, что при изучении функторов Пикара естественным образом мы будем иметь дело с H^i_{fl}(X, G_m), а не с H^i(X, \O_X^*). Поэтому правильный вопрос всё-таки заключается в том, чтобы понять насколько далёки свойства H^1_{fl}(X,G_m) от H^i_{fl}(X,G_m) при i>1. Плоская топология -- вещь довольно страшная, но в данном случае нас спас Гротендик следующей теоремой.

    Теорема (Гротендик): Пусть G -- гладкая коммутативная квази-проективная групповая схема над X, тогда H^i_{fl}(X,G)=H^i_{'et}(X,G).

    Доказательство: Cм. статью Brauer III Гротендика или Теорему 3.19 в книжке Милна по этальным когомологиям.

    Замечание: В случае i=1 эту теорему можно доказать напрямую. А именно, H^1_{C}(X,G) классифицирует G-торсоры в топологии Гротендика C. Но для любой гладкой группы все плоские торсоры имеют сечение этально-локально (см. Neron Models гл.2), а значит H^1 в этальной и плоской топологии для таких групп совпадают. В дальнейшем мы будем часто пользоваться этой теоремой для i=1 и иногда для i=2 и G=G_m.

    Теорема говорит, что нам всё равно изучать H^i_{et}(X, G_m) или H^i_{fl}(X, G_m), эти группы равны. Кроме этого, теорема Гротендика очень важна тем, что позволяет переключаться между топологиями. Мы знаем довольно много нетривиальных теорем из этального мира, которые можно с разным успехом использовать на практике. Но как только речь заходит о p-кручении в хар. p, мы не может сказать практически ничего в этальном мире, однако на удивление можем сказать что-то в плоском.


    Давайте я теперь наконец скажу, что на самом деле группы H^i_{fl}(X,G_m) ведут себя совершенно не как Pic(X). Мы это увидим довольно скоро, но уже сейчас мы сфокусируемся на i=2, H^2_{fl}(X, G_m) называется (когомологической) группой Браэура. В этом случае мы ещё иногда имеем явное описание для H^2_{fl}(X,G_m), но ситуация уже достаточно сложная. В случае X=Spec k у группы Брауэра есть стандартное, хорошо известное описание. А именно, каждый класс в H^2_{fl}(k, G_m) представляется центральной простой алгеброй над k. И две алгебры A и B задают один класс когомологий, если существуют целые числа n и m, такие что Mat_n(A)=Mat_m(B). Это называется Морита-эквивалетностью. Стандартные результаты из теории центральных простых алгебр говорят, что Br(\R)=Z/2Z и Br(\C)=0. Таким образом, даже в случае полей ни о каком вложении Br(k) --> Br(\bar k) говорить не приходится.

    Но можно задаваться другими вопросами. Во-первых, в теории центральных простых алгебр есть важный результат, который говорит, что для любого сепарабельно-замкнутого поля k выполнено равенство Br(k)=0 (Частный случай теоремы Гротендика, процитированной выше!). Интересный вопрос состоит в том, верно ли, что все классы в H^2_{fl}(X, G_m) для достаточно хорошей схемы над полем k, которые умирают после замены базы на алгебраическое замыкание \bar k (то есть в H^2_{fl}(X\otimes_k \bar k, G_m)), умирают уже в H^2_{fl}(X\otimes_k k_{sep}, G_m)? Чтобы сделать вопрос более конкретным, давайте его сформулируем следующим образом:

    Вопрос 1: Пусть $X$--собственная, геометричеки целая, гладкая схема над сепарабельно-замкнутым полем k. Верно ли, что естественное отображение Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) является вложением?

    Второй тип вопроса, который естественно задать, -- это гомотопическая инвариантность группы Брауэра. В случае групп Пикара мы знаем, что для любой регулярной схемы X группа Пикара Pic(X\times A^1)=Pic(X). Чтобы доказать это утверждение, мы существенным образом пользуемся изоморфизмом между группой Пикара и группой классов дивизоров Вейля. Совершенно непонятно почему похожее равенство могло бы выполняться для групп Брауэра, но его хотелось бы иметь. Давайте для простоты сформулируем куда более слабый вопрос:

    Вопрос 2: Верно ли, что Br(A^1_k)=Br(k)?

    Ответы: Оказывается, что ответ на оба вопроса отрицательный!

    В первом случае проблема состоит в том, что Pic_{X/k} может являться не приведённой схемой. Более того, мы увидим, что на самом деле это единственное препятствие к инъективности отображения Br(X) \to Br(X \otimes_k \bar k).

    Во втором случае проблема будет заключаться в несовершенности поля k. Для несовершенных сепарабельно-замкнутых полей в характеристике p, p-кручение группы Брауэра Br(A^1_k) будет огромным. К сожалению, я пока не знаю является ли группа Брауэра гомотопическим инвариантом на категории гладких схем над совершенным полем.

    Сами же контрпримеры я приведу в следующих постах. Контрпример к вопросу 1 уже записан. Мой вопрос заключается в том, читает ли кто-нибудь вообще эти посты? Есть ли люди, которые хотели, чтобы я не расписывал все детали, и это им мешает понимать? Или вдруг есть кто-то, кто хочет, чтобы я научился вставлять ТеХ формулы в тифаретник, и тогда бы это можно было читать? В общем, если есть какие-то ответы/предложения -- напишите. Я исхожу из того, что эту писанину никто не читает, а пишу я в основном для себя. В таком варианте улучшать читаемость формул смысла большого не имеет.
    Saturday, November 18th, 2017
    12:28 am
    Контрпример к Seesaw principle в аффинном случае
    При изучении абелевых многообразий важной технической леммой является, так называемый, Seesaw Principle.

    Теорема: Пусть T целая схема и f:X --> T плоский собственный морфизм с геометрически целыми слоями и пускай L\in Pic(X) есть обратимый пучок. Тогда множество точек (не обязательно замкнутых) t\in T, таких что ограничение L|_{X_t} на слой t изоморфно \O_{X_t}, замкнуто. И, более того, если обозначить это замкнутое множество с приведённой схемной структурой за Z, то L|_{X_Z} изоморфно f^*N для некоторого (единственного) обратимого пучка N\in Pic(Z).

    Сначала я должен сказать, что эта теорема несколько удивительна, потому что в ней фигурируют слои, а не геометрические слои. Как правило, чтобы иметь какие-то хорошие свойства P в семействах нужно обычно рассматривать выполнения свойства P на геометрических слоях. Например, как правило, для данного морфизма g:X --> Y множество точек, слои над которыми неприводимые/cвязные, неконструктивно. А в случае геометрической неприводимости/cвязности --- конструктивно.

    [Давайте построим конкретный пример. Пусть k любое алгебраически замкнутое поле и X=V(X^2-T) \subset Spec k[X,T] из X имеется естественное отображение f:X --> A^1=Spec k[T]. Посчитаем слой над каждой замкнутой точкой a\in A^1(k), пусть b^2=a (такое b существует, так как k-- алгебраически замкнуто), тогда X_a=Spec k[X]/(X^2-a)=Spec (k[X]/(X-b)\times k[X]/(X+b)) есть несвязная схема, в частности приводимая. Но над общим слоем слой равен Spec k(T)[X]/(X^2-T). Эта схема неприводима, так как X^2-T есть неприводимый многочлен (так как степени 1 по T). Получаем, что X_t несвязная (значит и приводимая) схема над всеми замкнутыми точками, но неприводимая (значит и несвязная) над общей точкой. Если бы условие связность/приводимости слоёв было бы конструктивным условием, то это бы значило, что общая точка в A^1 является конструктивным подмножеством. Но это не так, например, потому что конструктивное подмножество, содержащее общую точку, должно содержать открытое подмножество. Обратим внимание на то, что геометрический слой над общей точкой равен Spec (\bar k(T))[X]/(X^2-T), и эта схема является несвязной, так как квадратный корень из T лежит в \bar k(T) (аргумент аналогичен аргументу над замкнутыми точками). То есть в данном конкретном случае геометрическая связность/неприводимость слоёв всё-таки является конструктивным условием. Ну и на самом деле всегда является. Это доказано в EGA IV_3, 9.7.7]

    Возвращаясь к Seesaw principle, идеологическим обоснованием почему локус является хотя бы конструктивным является модифицированный аргумент из первой части вот этого поста . А именно, я утверждаю, что для любой геометрически целой собственной схемы над полем K группа Пикара Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes_K \bar K). В цитируемом выше тексте мы уже показали, что для любой собственной геометрически целой схемы X над полем K Pic(X) вкладывается в Pic(X \otimes_K K_{sep}). То есть, не нарушая общности, мы может можем предполагать, что X -- собственная геометрически целая схема над сепарабельно-замкнутым полем K. Далее, так как X геометрическая целая, то она геометрически приведённая, а значит имеет непустое открытое подмножество U \subset X, такое что U является гладкой схемой, но любая гладкая схема над сепарабельно замкнутым полем K имеет K-точку. Это позволяет нам сказать, что Pic_{X/K} представим и Pic_{X/K}(K')=Pic(X\otimes_K K') для любого расширения K'/K (см. FGA Explained, наличие точки критически важно для верности последнего равенства). Но для любой схемы Y мы имеем вложение Y(K) \to Y(\bar K). Применяя это соображение к Pic_{X/K}, получаем, что Pic(X) \to Pic(X\otimes \bar K) вложение. Таким образом, мы доказали, что для любой геометрически целой схемы собственной схемы X над полем K, Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes \bar K). Давайте теперь использовать это условие в нашем случае, f:X \to T является собственным морфизмом с геометрически целыми слоя, поэтому аргумент выше показывает, что требование тривиальности ограничения пучка L на слой X_t равносильно требованию тривиальности ограничения пучка L на геометрический слой X_t \otimes_{k(t)} \bar k(t). То есть условие на слои из теоремы на самом деле является геометрическим. Поэтому небезнадёжно ожидать, что этот локус хотя бы конструктивный.

    Теперь я хотел бы объяснить контрпример в аффинном случае. Я построю гладкий морфизм f:X \to S гладких схем конечного типа \C и обратимый пучок L на S, такой что ограничение L на слой над общей точкой S будет нетривиально (не изоморфно структурному пучку слоя), но ограничение L на слои над всеми замкнутыми точками тривиально. Это повлечёт за собой неконструктивность локуса точек s\in S, таких что L|_{X_s}=O_{X_s}. Более того, в данном примере S будет гладкой кривой, а X одномерной групповой схемой над S с геометрически целыми слоями. Я буду делать всё над \C только потому, что это ярче демонстрирует разницу между алгебраической и аналитической геометриями в несобственном случае. Данную конструкцию можно проделать над любым алгебраически замкнутым полем (с некоторой осторожность в случае характеристики 2, которую я опустил в прошлом посте ).


    Перейдём теперь непосредственно к примеру. Положим K:=\C(T), заметим, что K есть индуктивным пределом гладких конечно-порождённых \C-подалгебр, K=colim A_i с dim A_i=1 (каждое из A_i -- локализация C[X] в ненулевом элементе). Пусть G' есть форма G_m, построенная в прошлом посте . Тогда Pic(G')=Z/2Z, и пусть L' будет нетривиальным линейным расслоением на G. Стандартные техники 'spreading out', развитые в EGA IV_3 в главах 8, 9, 11, позволяют найти большое i, такое что G' определено над A_i (грубо говоря, G задана конечным числом уравнением, у них конечное число коэффициентов, поэтому все лежат в какой-то конечной алгебре A_i). Обозначим эту схему за G_i и для любого j>i положим G_j:=G_i \otimes_{A_i} A_j. Далее, увеличивая i, мы можем найти достаточно большое i, такое что морфизмы умножения, обратного элемента и нулевого сечения продолжаются на G_i, и эти отображения удовлетворяют всем необходимым условиям групповых операций. Другими словами, мы можем считать, что G_i групповая схема над Spec A_i. Кроме того, мы можем считать, что L' продолжается до обратимого пучка L_i на G_i. Более сложно показать, что мы можем выбрать i настолько большим, чтобы все слои G_i над Spec A_i были геометрическими целыми и морфизм f_i:G_i \to Spec A_i был гладким, но это так же доказано в EGA IV_3. Давайте я теперь скажу почему можно считать, что все слои G_i над Spec A_i являются торами. Так как G' -- тор, то существует конечное сепарабельное расширение K \subset L, такое что G изоморфно G_m. Применяя техники spreading out опять, мы можем продолжить морфизм Spec L \to Spec K до этального морфизма Spec B_i \to Spec A_i (как всегда, вероятно, после увеличения i). Далее мы имеем изоморфизм G\otimes L \to G_{m,L}, и мы можем продолжить его до G_i\otimes_{A_i} B_i \to G_{m,B_i} для большого i. Ограничивая этот морфизм на слои, получаем что cлой G_i над каждой точкой Spec A_i изоморфны G_m после этального расширения. Но все этальные расширения поля есть просто прямые суммы сепарабельных расширений этого поля. То есть получаем, что ограничение G_i на каждый слой Spec A_i становится изоморфным G_m после сепарабельного расширения полей, то есть все слои торы. Переобозначим теперь G_i за G, A_i за A и L_i за L.

    Я утверждаю, что пара (f:G \to Spec A, L) противоречит Seesaw Principle. Так как dim A=1, то Spec A имеет два вида точек: одну общую точку y и замкнутые точки. Выберем любую замкнутую точку x\in Spec A_i, тогда поле вычетов k(x) есть конечное расширение \C, то есть равно \C. Тогда слой G_x:=G\otimes_A k(x) есть тор над \C, над алгебраически замкнутым полем существует ровно один тор, поэтому G_x=G_m, Pic(G_m)=0. Отсюда заключаем, что ограничение пучка L на G_x изоморфно структурному пучку \O_{G_x}. Однако над общем точкой мы имеем, что L|_y=L' по построению, поэтому L|_y=L' \in Pic(G') есть ненулевой элемент! Значит ограничение на общий слой пучка L нетривиально. Другими словами, локус точек, над которыми пучок L тривиален, является множеством замкнутых точек. Но это множество неконструктивно для одномерных схемах над полем (см. предыдущую часть)
    Wednesday, November 15th, 2017
    8:57 pm
    Группа Пикара может уменьшаться при сепарабельном расширении полей
    В своём предыдущем посте я вкратце рассказал почему для полной(!) геометрически целой схемы X над полем k и (конечного) сепарабельного расширения k'/k, отображение групп Пикара Pic(X) \to Pic(X_{k'})^{Gal(k'/k)} всегда является вложением. Кроме того, я привёл пример геометрически целой гладкой одномерной схемы X и несепарабельного расширения полей k'/k и доказал, что соответствующее ядро есть бесконечная группа кручения, в частности, она даже не конечно-порождена.

    В этот раз я хочу показать, что само по себе условие сепарабельности k'/k не влечёт инъективности отображения групп Пикара. В данном примере наша схема опять будет геометрически целой одномерной гладкой линейной алгебраической группой. Но в этот раз вместо формы G_a мы будем иметь дело с формой G_m. Кроме того, как следствие этой конструкции в следующем посте я построю забавный контрпример к Seesaw principle в аффинном случае.

    Пусть K-- любое поле характеристики не 2, допускающее расширение степени 2 (которое всегда сепарабельно, так как char K\neq 2). Выберем любое такое квадратичное расширение, обозначим его за L. Группа Галуа Gal(L/K) есть Z/2Z, зафиксируем там образующую t. Мы будем рассматривать группу, которая получается из G_{m,L} с помощью ограничения скаляров Вейля. А именно, G':=R_{L/K} G_{m,L}, стандартный аргумент с инфинитезимальным критерием гладкости показывает, что G' всегда гладкая. Кроме того, сепарабельность расширения L/K влечёт геометрическую связность R_{k'/k}, так как (R_{k'/k} G_m)\otimes k_{s} = G_m \times t^*(G_m) -- связная схема. Более того, этот аргумент показывает, что G' --- двумерная групповая схема, которая является формой G_m^2.

    Теперь мы вспомним определение отображения нормы Nm:R_{L/K} G_m \to G_m. Понятие нормы можно определить для любой группы мультипликативного вида, но давайте сделаем это в самом простом случае группы G_m. По определению R_{L/K} G_m(A)=G_m(A\otimes_K L)=(A\otimes_K L)^*, A\otimes_K L является конечным свободным A-модулем, поэтому там определено отображение нормы N:A\otimes_K L \to A (элемент a отправляет в det(L_a) -- детерминант линейного оператора умножения на a). Выберем базис в L над K вида <1,x>, тогда в явном виде это отображение записывается как a+bx|-->a^2-b^2x^2 \in A. Заметим, что N отправляет обратимые элементы в обратимые и является гомоморфизмов групп обратимых элементов. Другими словами, N:(A\otimes_K L)^* \to A^* есть функториальный по А гомоморфизм групп. По лемме Йонеды это задаёт морфизм групповых схем Nm:R_{L/K} G_m \to G_m.

    Легко проверить, что отображение R_{L/K} G_m \to G_m сюрьективно. Давайте вычислим его ядро, будет делать это функториально. На уровне A-точек ядро есть пары {(a,b) \in A^2| a^2-x^2b^2=1}. Обозначим ядро за G, я утверждаю, что G_{L} изоморфно G_m. Действительно, определим отображения в обе стороны функториально на уровне А-точек для всякой L-алгебры A. Положим f:G_{L}(A) \to G_m(A) равным f((a,b))=(a+xb) и отображение g:G_m(A) \to G_L(A) равным g(y)=((y+y^{-1})/2,(y-y^{-1})/(2x)). Легко видеть, что эти отображения корректно определены и взаимно-обратны друг другу (важно, что А есть L-алгебра! иначе эти отображения не определены). Таким образом, мы проверили, что G есть геометрически связная гладкая одномерная форма группы G_m. Теперь нам необходимо посчитать группу Пикара G.

    Для того, чтобы вычислить Pic(G), мы воспользуемся стандартной теоремой о том, что Pic(G) изоморфно расширениям G при помощи G_m в категории алгебраических групп над k. Мы будем обозначать последнюю группу за Ext^1(G,G_m). Это теорема не вполне тривиальна, я не хочу сейчас вдаваться в подробности её доказательства, давайте я только объясню как строятся отображения. Морфизм Ext^1(G,G_m) \to Pic(G) построить несложно, любое расширение задаёт G_m торсор над G, а G_m-торсоры находятся в биекции с обратимыми расслоениями. Таким образом мы определяем i:Ext^1(G,G_m) \to Pic(G), заметим, что это отображение определено для любой группы G. В другую сторону определить отображение несколько сложнее, и на самом деле не для любой группы это возможно. Идея заключается в том, чтобы по данному пучку L\in Pic(G) построить канонически структуру группы на "L^*", где под последним я имею тотальное пространство линейного расслоения L с выкинутым нулевым сечением. Более или менее, это сводится к равенству m^*L=p_1^*L\otimes p_2^*L, где m (соотв. p_1, p_2): G\times G \to G есть морфизм умножения (соотв. проекция на первый и второй факторы) и теореме Розенлихта об единицах. Грубо говоря, первое равенство позволяет определить структуру группы на L^*, а теорема Розенлихта об единицах позволяет сделать эту структуру группы согласованной со структурой группы на G и, более того, показывает единственность такой групповой структуры на L^*. То есть линейному расслоению мы сопоставляем расширение

    0 --> G_m --> L^* --> G --> 0.

    Зная единственность групповой структуры на L^* нетрудно проверить взаимно-обратность построенных отображений. Теперь я должен объяснить как можно доказывать равенство m^*L=p_1^*L\otimes p_2^*L. Ключевым соображением является рациональность G_{k_{sep}}, из которой следует равенство Pic(G\times G)=Pic(G)\oplus Pic(G). В нашем случае группа G_{k_{sep}}=G_m безусловно рациональна.

    Мы свели задачу к вычислению Ext^1(G,G_m). Заметим, что G есть тор, ровно как и G_m. Расширение тора при помощи тора всегда тор (например, потому что расширение разрешимых разрешимо, а разрешимая группа в которой все \bar k точки полупросты есть тор). Значит мы может считать Ext уже в категории торов над k. Но категория торов над k антиэквивалентна категории свободных конечных Z-модулей с действием группы галуа Г_K:=Gal(K_{sep}/K). При этом отображении тор T переходит в Hom_{gp}(T_{k_{sep}},G_m). Очевидно, что решётка, соответствующая G_m, есть просто Z. Пусть M=Hom_{gp}(G_{k_{sep}},G_m), так как dim G=1, то заключаем, что размерность M равна 1. Кроме того, G становится изоморфным G_m уже над L, то есть действие Г_K пропускается через Gal(L/K)=Z/2Z. Если бы G было изоморфно G_m, то R_{L/K}G_m было бы расширением G_m при помощи G_m. Все такие расширения тривиальны, то есть в этом случае мы бы имели R_{L/K}G_m =G_m^2. Легко видеть, что это не так, например, из того, что (R_{L/K}G_m)_L=G_m\times t^*(G_m). В частности действие Gal(L/K) нетривиально на решётке, соответствующей R_{L/K}G_m. Получаем, что G не изоморфно G_m, следовательно, действие Gal(L/K) должно быть нетривиально на M. Единственное такое действие -- это действие, при котором образующая t действует умножением на -1.

    Собирая всё вместе, мы получили, что Pic(G)=Ext^1(G,G_m)=Ext^1_{Z[Г_L]}(\Z, M). Но последняя группа по определению равна H^1(Г_L,M). Осталось её посчитать, в Г_K есть нормальная подгруппа Г_L индекса 2. Из спектральной последовательности Хохшильда-Серра мы имеем точную последовательность

    0 --> H^1(Gal(L/K), M) --> H^1(Г_K, M) --> H^1(Г_L, M).

    Действие Г_L на М тривиально, поэтому H^1(Г_L,M)=H^1(Г_L,Z)=Hom_{cont}(Г_L,Z)=0, так как G_L компактна, а Z -- дискретна. Значит, H^1(Г_K,M)=H^1(Gal(L/K),M)=H^1(Z/2,Z), но где действие Z/2 на Z нетривиально.

    Прямое (несложное) вычисление с коциклами показывает, что H^1(Z/2Z,Z)= {(0,b)|b\in Z}/{(0,2b)|b\in Z}=Z/2Z. Таким образом, Pic(G)=H^1(G_K,M)=Z/2Z! Но как мы уже заметили G_{L}=G_m, а значит Pic(G_L)=0. Как следствие, Pic(G) \to Pic(G_L)^{Gal(L/K)} не инъективно!
    Saturday, October 28th, 2017
    12:07 am
    Пример линейной алгебраической группы с бесконечной группой Пикара
    В книжке 'N'eron Models' Рэйно периодически довольно небрежно пишет, что можно предполагать базовое поле алгебраически замкнутым. Почти всегда это лёгкое упражнение на плоский спуск/спуск Галуа. Но в одном месте я никак не мог понять как строго доказать эту редукцию, и, более того, я обнаружил удивительный эффект, пытаясь разобраться с тем как группа Пикара взаимодействует с расширениями полей.

    Часть 1: Стандартные Результаты
    Существует классический результат, что если X -- полное, геометрические целое многообразие, то Pic(X) всегда вкладывается в инварианты группы Галуа Pic(X\otimes k_{sep})^{Gal(k_s/k)}. Доказательство использует три важные факта:

    1) Спектральную последовательность Хохшильда--Серра для этальных когомологий и пучка G_m.
    А именно, H^i(Gal(k_{sep}/k),H^j(X\otimes k_{sep}, G_m)) => H^{i+j}(X, G_m).
    2) Теорема Гильберта-90 о занулении когомологий H^1(Gal(k_{sep}/k), G_m)=0.
    3) Утверждение о том, что на полном, геометрически целом многообразии нет обратимых функций кроме констант. Выражаясь точнее, что Г(X, \O_X^*)=k^*.

    Если предполагать ещё существованиe рациональной k-точки на X, то есть что X(k) непусто, то можно заключить, что инъекция групп Pic(X) \to Pic(X\otimes k_{sep})^{Gal(k_s/k)} на самом деле равенство. Это довольно просто, и доказано, например, в FGA Explained в главе про функторы Пикара. Пусть есть сечение s:Spec k \to X, тогда идея в том, чтобы рассматривать линейные расслоения L с *фиксированным* изоморфизмом s^*L\cong \O_{Spec k}. Такая пара уже не обладает автоморфизмами, и это позволяет воспользоваться плоским спуском, чтобы спускать Gal-инвариантые расслоения сверху вниз.



    Часть 2: Чего Хотелось
    Мне было интересно понять насколько часто Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes \bar k). Рассуждения выше показывают, что это верно в случае собственного (геометрически целого) X и совершенного поля k. Однако меня больше интересовал случай X -- (связной, гладкой) линейной алгебраческой группы и K-- поля частных глобального поля, которое уже никогда не является совершенным в характеристике p (Оно всегда есть конечное расширение F_q[T]). И как оказалось, при таких предположениях условие на вложение групп Пикара не обязательно верно!

    Есть общий факт (логически он нам не будет нужен, но он показывает насколько всё становится плохо над несовершенными полями), который говорит, что для (связной гладкой) линейной алгебраической группы G над *совершенным полем* Pic(G) конечен. Ключевым фактом при доказательстве является рациональность G_{k_{sep}} для любой связной гладкое линейной алгебраической группы G.

    Сейчас я приведу пример связной гладкой алгебраической группы U над произвольным несовершенным сепарабельно-замкнутым полем характеристики не 2 (на самом деле пример можно построить над любым несовершенным полем), такой что Pic(U) бесконечен, но Pic(U\otimes \bar k)=0. Более того, U\otimes \bar k= G_a.




    Часть 3: Контрпример
    Пусть k -- любое сепарабельно-замкнутое несовершенное поле (например, F_p(T)_{sep}), и G -- линейная группа, определённая уравнением y^p=x-ax^p в A^2, где a\in k -- k^p. В этом посте https://lj.rossia.org/users/azrt/7510.html?nc=4 показано, что это гладкая групповая схема, такая что её регулярная компактификация C имеет ровно одну точку на бесконечности порядка p. Более того, в том же посте показно, что над \bar k эта групповая схема изоморфна G_a. То есть чтобы доказать, что Pic(U) \to Pic(U\otimes \bar k) не инъективно, достаточно показать, что Pic(U)\neq 0. Мы покажем большее, а именно, что эта группа бесконечная, и даже скажем что-то об её строении.

    Прежде всего, из явной формулы для C (V(Y^p+aX^p-XZ^{p-1}) \subset P^2_k) легко видеть, что C является геометрически целой схемой, и она по определению проективная, как замкнутая подсхема проективной схемы. Из этого следует, что Pic_{C/k} представим схемой. Общий факт гласит, что группа Пикара кривой всегда гладкая, когда представима. Это следует из инфинитезимального критерия гладкости, за деталями см. главу 8 книжки 'N'eron Models'. И кроме того, Pic^0_{C/k} имеет размерности H^1(C, \O_X)=k^{(p-1)(p-2)/2}>0. То есть Pic^0_{C/k} является гладкой групповой схемой размерности (p-1)(p-2)/2>0 при p>2.

    Теперь мы хотим вычислить Pic(U) через Pic(C). Прежде всего, обозначим точку на бесконечности за c \in C--U. Мы имеем точную последовательность вырезания

    Z[c] \to Pic(C) \to Pic(U) \to 0.

    Заметим, что deg([c])=p по построению, поэтому отображение ограничения Pic^0(С) \to Pic(U) инъективно.

    Теперь вспомним, что на проективной кривой С мы имеем отображение степени deg:Pic(C) \to \Z, а так как Pic(U)=Pic(C)/Z[c] и deg([c])=p мы получаем корректно-определённый морфизм deg:Pic(U) \to Z/p. Более, того это сюрьективный морфизм в силу того, что мы имеем точку (0,0)=e\in U(k) и deg(e)=1. Суммируя, мы имеем следующую тройку морфизмов:

    0 \to Pic^0_{C/k}(k) \to Pic(U) \to Z/pZ \to 0.

    Я утверждаю, что эта тройка точная. Действительно, мы уже доказали точность в первом члене и в третьем. Осталось показать точность в среднем. Так как все расслоения в Pic^0_{C/k}(k) по определению имеют степень нуль, то композиция этих двух морфизмов нулевая. Осталось проверить, что ядро второго морфизма лежит в образе Pic^0_{C/k}(k). Для этого мы отождествим линейные расслоения с классами эквивалентности дивизоров Вейля. Выберем L=\O_U(D) в ядре deg: Pic(U) \to Z/pZ, другими словами, deg(L)=deg(D)=pk делится на p. Тогда \O_C(D-k*[c]) является дивизором степени 0 на C, и его ограничение на U совпадает с \O_U(D). Следовательно, это короткая последователь точна в среднем члене, а значит и вообще точна.

    Заметим, что мы уже доказали, что Pic(U) ненулевая группа, так как она сюрьективно отображается в Z/pZ. Более того, из точной последовательности следует, что Pic(U) конечна, если и только если Pic^0_{C/k}(k) есть конечная группа. Но Pic^0_{C/k} является гладкой(!) схемой, а значит k-точки Pic^0_{C/k}(k) плотны в Pic^0_{C/k} в силу сепарабельной замкнутости k. А значит это множество не может быть конечно, так как размерность Pic^0_{C/k} равна (p-1)(p-2)/2>0 при p>2. Следовательно, Pic(U) так же не является конечной группы.


    Собрав всё воедино, мы построили пример гладкой, геометрически целой схемы U над несовершенным полем (а на самом деле такой пример существует над любым несепарабельным полем), такой что Pic(U) \to Pic(U\otimes \bar k) не инъективно, и даже не имеет конечного ядра. Кроме того, мы построили пример гладкой связной линейной алгебраической группы U над несовершенным полем, такой что Pic(U) не конечен.




    P.S. Интересный вопрос в том, чтобы как-то описать структуры гладкой группы Pic^0_{C/k}. На самом деле оказывается, что это всегда коммутативная k-wound унипотентная группа размерности (p-1)(p-2)/2. Добавлю это чуть потом.
    Friday, October 13th, 2017
    12:30 am
    Пример непревосходного кольца дискретного нормирования
    В ближайшее время я хочу дописать ещё несколько примеров из стандартной теории алгебраических групп, про которые я забыл два предыдущих раза. Кроме того, в моих планах записать несколько контрпримеров к совершенно естественным утверждениям, касающихся адельной топологии на адельных точках многообразий над глобальными полями. Сейчас же я хочу рассказать пример кольца дискретного нормирования, которое не является превосходным кольцом (в смысле Гротендика, cм. https://en.wikipedia.org/wiki/Excellent_ring для определения).

    Определение превосходных колец довольно сложное, да и проверка основных свойств требует неплохой техники в коммутативной алгебре, однако они являются довольно простым объектом в управлении. Как только выстроена основная теория превосходных колец (условно EGA IV_2 6.1-7.9), они становятся очень удобным объектом, который можно реально применять в задачах. В некотором смысле они являются кольцами, над которыми 'можно заниматься геометрией'. Хотя я лично с этим утверждением не согласен, если посмотреть на EGA IV_3, EGA IV_4 и доказательства многих базовых свойств этальных когомологий (например, гладкой и собственной замен базы), то можно увидеть, что почти все утверждения в итоге доказываются даже без предположений нётеровости, но тем не менее доказательства часто сводятся к случаю превосходных колец с помощью техник spreading out, которые Гротендик разработал в начале EGA IV_3. На мой взгляд это несколько удивительный приём, и я не знаю никакого идеалогического обоснования почему этот трюк работает практически всегда.

    Однако оказывается, что класс этих колец не настолько обширен, как можно было бы думать. И я хочу объяснить, что уже не все DVR являются превосходными. Я не хочу давать строгое определение превосходного кольца, скажу лишь, что в случае когда R есть DVR, то R -- превосходно, если и только если Frac(R) \subset Frac(\hat R) является сепарабельным (как правило, неалгебраическим) расширением полей (тем самым в хар-ке 0 все DVR всё-таки превосходны). Давайте теперь перейдём к примеру.

    Рассмотрим локальное кольцо F_p[X]_{(X)} и его пополнение F_p[[X]]. Заметим, что F_p(X) счётно, а F_p((X)) континуально, следовательно, оно не может быть алгебраическим расширением. Выберем элемент T\in F_p[[X]], который неалгебраичен над F_p(X), и обозначим Y:=T^p. Тогда положим L:=F_p(T,Y) -- поле порождённое T и Y, и R:=L\cap F_p[[X]].

    Я утверждаю, что R -- DVR с пополнением изоморфным F_p[[X]].

    1) R--локальное кольцо с максимальным идеалом (X). Прежде всего заметим, что все элементы вида 1+XF, F\in R, являются обратимыми (так как они обратимы в F_p(X,Y) и F_p[[X]]). Значит идеал (X) лежит в радикале R. Покажем, что (X) является максимальным идеалом, тем самым он автоматически будет единственным максимальным идеалом. Действительно, легко видеть, что (X)F_p[[X]]\cap R=(X)R. Значит R/(X)=F_p[[X]]/X=F_p (строго говоря, нужно ещё проверить сюрьективность, но это очевидно). Значит, X максимален, как следствие, R является локальным кольцом.

    2) R размерность хотя бы 1 по Круллю. R-- область целостности, значит (0) является простым идеалом. Следовательно, (0) \subset (X) есть цепочка простых идеалов => dim R>=1.

    3) Теорема 11.2. в книжке матсумуры 'Commutative Ring Theory' доказывает, что этих данных в сумме с тем, что \cap_n (X^n)R=0 (очевидное равенство, так как оно верно в F_p[[X]]) хватает, чтобы заключить, что R является кольцом дискретного нормирования (строго говоря, Матсумура предполагает нётеровость R, но единственное свойство, которое он использует в доказательстве -- это что пересечение степеней максимального идеала есть нулевой идеал). В частности, заключаем, что R является нётеровым.

    Заметим, что мы доказали чуть большее, а именно, что ограничение X-адической топологии с F_p[[X]] на R совпадает с X-адической топологией на R. Это гарантирует нам, что инъективное отображение R\to F_p[[X]] индуцирует инъективное отображение \hat R \to F_p[[X]] (я тут пользуюсь, что F_p[[X]] полно, то есть равно своему пополнению). С другой стороны у нас есть вложение F_p[X]_{(X)} \to R, пополнив это отображение и, взяв композицию с предыдущим, получаем отображения

    F_p[[X]] \to \hat R \to F_p[[X]],

    композиция которых есть тождественный морфизм. Откуда заключаем сюрьективность отображения \hat R \to F_p[[X]]. Таким образом, имеем Frac(\hat R)=F_p((X)). В итоге мы получаем, что T\in Frac(\hat R) (определение T в самом начале доказательства), но T\notin Frac(R) (так как T не лежит в F_p(X,Y)). По построению T^p=Y\in R. Следовательно расширение Frac(R) \subset Frac(\hat R) не может быть сепарабельным расширением. То есть R не является превосходным кольцом.
[ << Previous 20 ]
About LJ.Rossia.org