крест и радуга

Потоки Риччи-2
Сегодня понял, почему потоки Риччи — это естественная вещь. До этого писал об этом же подзамком, но сегодня проделал все вычисления, и поразился тому, как всё хорошо сошлось, вплоть до коэффициента.

Как известно из Википедии, Риччи-Курбастро ввёл кривизну Риччи с целью найти адекватную замену второй квадратичной форме для пространств, априори никуда не вложенных (в этом случае у кривизны Риччи и второй квадратичной формы совпадают собственные направления). Вторая квадратичная форма для гиперповерхности M \subset N, напомню, определяется как II(x, y) = \nabla^M_x(y) - \nabla^N_x(y), где \nabla^M и \nabla^N — связности Леви-Чивиты на многообразиях M и N.

Теперь пусть M — абстрактное риманово многообразие. Давайте попробуем построить риманово многообразие N такое, что M лежало бы в нём как гиперповерхность, а вторая квадратичная форма M равнялась бы его кривизне Риччи. Топологически N должно быть в окрестности M устроено как M \times (-1; 1). Пусть t — параметр на отрезке. При t = 0 для векторных полей x и y, касающихся подмногообразия M, вложенного как {t = 0}, имеем:

\nabla^N_x(y) = \nabla^M_x(y) + Ric(x, y)(d/dt).

Допустим, метрика g^N на N такова, что \nabla^N есть её связность Леви-Чивиты, а g^N(d/dt, d/dt) = 1. По формуле Кошуля имеем:

g^N(\nabla^N_u(v), w) = 1/2(g^N(v, [w,u]) + g^N(w, [u,v]) - g^N(u,[v,w]) + L_u g^N(v,w) + L_v g^N(w,u) - L_w g^N(u,v))

Подставим в качестве w векторное поле d/dt, а в качестве u и v — поля, касающиеся {t = 0}. Поскольку w перпендикулярно u, v и их коммутатору, а также коммутирует с ними, формула упростится до

g^N(\nabla^N_u(v), w) = -1/2(L_w g^N(u,v)).

Но \nabla^N_U(v) = \nabla^M_u(v) + Ric(u,v)w. Поле \nabla^N_u(v) касается M и потому перпендикулярно w, а g^N(u,v) = g^M(u,v), так что формула упрощается до

Ric(u,v) = -1/2 d/dt(g_t(u,v)),

а это и есть уравнение, определяющее поток Риччи.

Таким образом, вопрос о полноте и каноничности потоков Риччи сквозь их особенности действительно является вопросом о существовании естественного заполнения риманова многообразия. Это выглядит как классическое знание, но нигде я его не встречал и ни от кого не слышал, а в качестве обоснования уравнения потока Риччи доселе знал только уравнение теплопроводности (откуда коэффициент, однако, неочевиден). Когда я сообщил классику этой науки о том, что аналогия между второй квадратичной формой и кривизной Риччи является мотивацией за потоками Риччи, он как-то усмехнулся, кажется, не поняв, что я имею ввиду.

Интересно, что является аналогом тождества Бохнера-Вейценбёка для второй квадратичной формы. Тот же самый классик предложил мне для ответа на этот вопрос изучить прославленный текст (PDF, 2.8 MB) Саймонса на эту тему (где, как он говорит, содержится похожая формула для минимальных подмногообразий), но едва ли у меня это выйдет.

Current Mood: calm
Current Music: Михаил Щербаков -- Интермедия 2