крест и радуга [entries|friends|calendar]
rodion n. déev

[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ calendar | livejournal calendar ]

Противоречие в математике [15 Oct 2021|02:05pm]
[ mood | bored ]

Объясню для приличия чуть более подробно предыдущий пост. Возьмём кривую C рода g, и отметим на ней 2N точек, а потом возьмём и двулистно накроем с ветвлением в этих точках. Получится кривая S рода g', давайте вычислим его по формуле Римана-Гурвица: 2-2g' = 2(2-2g-2N) + 2N, то есть 1-g' = 2-2g-N, то есть g' = 2g+N-1. Инволюция, возникающая на кривой S, действует на голоморфных 1-формах, причём собственное подпространство, на котором она действует с плюсом, это в точности формы, поднятые с C. Их пространство g-мерно, а стало быть размерность собственного подпространства с минусом равняется g'-g = g+N-1. Заметим, что инволюция сохраняет целочисленную структуру Ходжа, а следовательно и её собственные пространства приходят из целочисленных подструктур Ходжа. Целочисленная подструктура Ходжа в первых когомологиях это то же самое что фактор якобиана; то есть кривая S отображается в некое абелево многообразие A размерности g+N-1, причём формы, ограничивающиеся с него, суть собственные формы для инволюции с собственным числом -1, и можно выбрать вложение так, чтобы отображение x \mapsto -x на A сохраняло образ кривой и индуцировало на ней ту же самую инволюцию. Тем самым, фактор S по инволюции -- то есть исходная кривая C -- отображается в фактор A/\pm 1, и значит поднимается в его десингуляризацию, многообразие Куммера. Итого: всякая кривая рода g может быть вложена в куммерово многообразие размерности g-1 или выше.

Остановимся на случае куммеровой поверхности. У нас есть следующее данное: тор A, кривая рода g < 6 на нём, сохраняемая инволюцией x \mapsto -x, на которой она индуцирует инволюцию с 10-2g неподвижными точками. Малая деформация кривой, после подходящего сдвига, сохраняет это условие, ибо оно топологическое; стало быть, возникает семейство кривых -- и после факторизации они определяют (g-2)-параметрическое семейство кривых рода g-2 на поверхности Куммера. Для g = 2 это почти тавтология, для g = 3 это любопытное наблюдение, производящее неизотривиальные эллиптические расслоения на куммеровых К3 (оно присутствует ещё у Барта, но теряется в грудах формул). Остановимся на нём чуть подробнее.

10-2*3 = 4, так что у нашей инволюции на кривой 4 неподвижных точки. Неподвижные точки инволюции это точки 2-кручения поверхности, причём других точек пересечения у них нет. Так что когда мы их раздуваем соответствующие нодальные особенности фактора, получаются 4 рациональные кривые, пересекающиеся с каждой гладкой эллиптической кривой нашего пучка. Это его 4 рациональных сечения. Другие 12 точек 2-кручения на гладких представительницах пучка не лежат, но через них проходят нодальные вырождения, которые после раздутия превращаются в особые слои, устроенные как две рациональные кривые, пересекающиеся в двух точках. Сдвиги на элементы 2-кручения либо сохраняют расслоение (и переставляют его 4 рациональных сечения), либо переводят в одно из трёх других эллиптических расслоений -- у которых также будут 4 сечения, бывшие в других расслоениях компонентами исключительных слоёв. Ничего не предвещает беды.

Давайте теперь g = 4. Тогда 10-2g=2, то есть имеется двухпараметрическое семейство гладких кривых рода четыре, проходящих через две точки 2-кручения, и сохраняемых умножением на -1. При факторизации они превращаются в двухпараметрическое семейство кривых рода два, проходящих через две нодальные особенности. Заметим, что у кривой рода четыре на абелевой поверхности самопересечение 6, так что пересечение двух наших кривых S и S' состоит из шести точек, из которых две точки 2-кручения, а остальные четыре симметричны под действием умножения на -1. Значит у факторов C = S/\pm 1 и C' = S'/\pm 1 получается 2 + (6-2)/2 = 4 точки персечения, из которых первые две это особенности, и после их раздутия остаётся ровно две точки пересечения. Хочется сказать, что тем самым точки нашей поверхности разбиваются на пары, то есть на поверхности возникает инволюция, фактор по которой есть двойное накрытие P^2, на котором наше двухпараметрическое семейство кривых рода два это линейная система поднятия O(1).

Но всё это чрезвычайно подозрительно. Например, куда деваются две исключительные кривые, которые по одному разу пересекают каждую гладкую кривую нашего семейства? Из тех соображений, что две точки 2-кручения, попадающие на наши кривые рода четыре, суть нули дифференциалов, задающих деформации -- а следовательно нули дифференциалов, сохраняемых инволюцей -- а следовательно нули дифференциалов, приходящих с кривой рода два -- а следовательно прообразы точек, переходящих друг в друга при её родной гиперэллиптической инволюции -- кажется, что эти исключительные кривые должны переставляться инволюцией на куммеровой поверхности, и тем самым давать рациональную кривую на P^2. Поскольку всякая кривая рода два из линейной системы пересекала обе исключительные кривые по одной точке, значит и всякая прямая на P^2 будет пересекать эту рациональную кривую по одной точке, то есть сама будет являться прямой. Но тогда она не может лежать в общем положении: её прообраз будет иметь род два!! значит, это что-то вроде би- или даже трикасательной (у нас очень необщая поверхность, так что никто не может заболтать возможность наличия трикасательных мнимыми разглагольствованиями об общем положении).

Но есть тут и более глубокая трудность. А именно, с линейной системой кривых рода g на абелевой поверхности A можно связать голоморфно симплектическое многообразие размерности 2g-4, повесив над каждой точкой, соответствующей гладкой кривой с точностью до сдвига, ядро отображения её якобиана в A, а потом правильным образом замкнув. Это называется расслоением Дебарра, его тотальное пространство бирационально 2g-4-мерному обобщённому многообразию Куммера от A. Мы видели это явно для g=3. Но в случае рода g = 4 ядра такого отображения -- это якобианы соответствующих факторов по инволюции! То есть, если мы действительно можем так получить линейную систему рода два на куммеровой К3, то вне особого локуса многообразие Дебарра будет расслоением на такие же абелевы поверхности, что и расслоение Маркушевича (в большой науке принято говорить 'Бовиля-Мукаи', но в этом блоге устоялась альтернативная терминология) той линейной системы на куммеровой К3, а многообразие Маркушевича бирационально изоморфно двухточечной схемы Гильберта. Если бы эти два лагранжевых расслоения имели голоморно симплектоморфные тотальные пространства, то схема Гильберта была бы деформационно эквивалентна обобщённому многообразию Куммера, что невозможно из-за разных чисел Бетти. Не могут они быть связаны даже вырожденной твисторной деформацией: над аффинной базой это влечёт биголоморфность.

Решений этого противоречия два: либо действительно множеством гладких слоёв (как локусом в пространстве модулей абелевых многообразий) невозможно уловить даже число Бетти тотального пространства, либо конструкция, производящая из поляризации рода четыре на абелевой поверхности куммерову поверхность, реализующуюся как двойное накрытие плоскости, была порочна изначально. Впрочем это тоже было бы интересно понять.

6 comments|post comment

Геометрические структуры на куммеровых поверхностях [14 Oct 2021|06:26am]
[ mood | awake ]
[ music | Jarosław Ławnicki – Affine varieties with simple topology ]

Хорошо известен пример эллиптической К3, для которого можно всякие вещи легко посчитать: это кумметова поверхность произведения двух эллиптических кривых. Сами эти кривые отображаются в две рациональные кривые на куммере, но их сдвиги отображаются в честные эллиптические кривые, и отображения проекции задают два взаимно трансверсальных эллиптических пучка. К сожалению, эти пучки изотривиальны.

Но на куммеровой поверхности можно сделать и неизотривиальный эллиптический пучок! Для этого надо взять абелеву поверхность с гладкой кривой рода три. Барт заметил, что такая кривая есть всегда двулистное накрытие эллиптической кривой, и обратно. В частности, умножение на -1 на абелевой поверхности индуцирует на кривой рода три инволюцию, переставляющую листы этого накрытия, и в куммерову поверхность кривая рода три после подходящего сдвига отображается эллиптической кривой. Начиная деформировать кривую по поверхности так, чтобы она продолжала сохраняться инволюцией, мы получим семейство эллиптических кривых, пересекающихся в четырёх точках кручения, которые после раздутия становятся нетривиальным эллиптическим пучком (с двенадцатью особыми слоями типа I_2).

Аналогично, исчислением размерностей доказывается, что общая кривая рода четыре на абелевой поверхности есть двулистное накрытие кривой рода два, ветящееся в двух точках, а рода пять -- неразветвлённое накрытие кривой рода три. Соответственно, при подходящем сдвиге кривая рода четыре отображается в куммера как кривая рода два, деформирующаяся в двумерном семействе, то есть прообраз прямой на плоскости при двойном накрытии, ветвящемся в секстике, а рода пять -- как кривая рода три с трёхмерным семейством деформаций. Заметим, что для рода два также бывает тривиальный пример: это куммер якобиева многообразия кривой рода два, её сдвиги определяют изотривиальное двумерное семейство. Что такое изотривиальное семейство кривых рода три на куммеровой поверхности, я уже не понимаю.

Интересно, можно ли соорудить у этих семейств послойные якобианы. Так можно было бы опровергнуть гипотезу Мацушиты: если взять кривую рода три на абелевой поверхности, её всевозможные деформации, в том числе и сдвиги, спустятся в куммерову К3 как слои эллиптического пучка плюс некоторое семейство кривых рода три, изотривиальное по двум направлениям, но неизотривиальное по третьему, как бы коллинеарному направлению эллиптического пучка. Послойный якобиан был бы шестимерным многообразием с лагранжевым расслоением, изотривиальным всего по двум направлениям, и нетривиальным по третьему.

4 comments|post comment

[07 Oct 2021|07:45am]
Ответ на вопрос про эллиптическую К3, получаемую из поляризации степени три на абелевой поверхности, очень прост: это более-менее её куммер и есть. А именно, как заметил Барт, кривая рода три лежит на абелевой поверхности тогда и только тогда, когда это двойное накрытие эллиптической кривой. Иначе говоря на ней имеется инволюция, которая действует на H^{1,0} с одним собственным вектором для собственного числа +1, порождающим вместе со своим сопряжённым рациональное подпространство в H^1, и как -1 в трансверсальном направлении. Это (-1)-собственное подпространство это дифференциалы, приходящие ограничением с абелевой поверхности, на которой кривая лежит; то есть некоторый её сдвиг сохраняется умножением на -1 на абелевой поверхности, и -1 действует на нём пресловутой инволюцией. Фактор по этой инволюции, сиречь эллиптическая кривая, потому лежит на факторе абелевой поверхности, и стало быть подымается в куммера. Теперь мы начинаем деформировать кривую; при подходящих сдвигах всё то же самое получается для деформаций, то есть эллиптическая кривая едет по куммеру и получается на нём эллиптическое расслоение.

То есть если вам не хочется получать эллиптическую К3 как банального куммера от произведения эллиптических кривых, можно вот такое сделать. Интересно, вырождается ли одно в другое. В больших размерностях это оказывается называется пространством Дебарра.
post comment

Миллениалы изобрели преобразование Фурье-Мукаи [04 Oct 2021|04:25pm]
[ mood | tired ]

Пусть есть голоморфно симплектическое многообразие. Его пространство периодов есть открытый кусок квадрики в P(H^2), то есть имеет размерность b_2-2. Локус многообразий, допускающих лагранжевы расслоения, есть счётное объединение дивизоров в нём, то есть размерности b_2-3, и на нём в свою очередь есть слоение вырожденными твисторными кривыми. Пространство листов этого слоения, называемое [info]tiphareth пространством Алексеева, имеет размерность b_2-4.

Например, если многообразие было деформационно эквивалентно схеме Гильберта К3-поверхности, эта размерность равняется 19, a если обобщённому куммерову многообразию -- то 3. Заметим, что это размерности пространств модулей поляризованных К3 и абелевых многообразий соответственно.

Для К3-поверхностей, как уже неоднокрано упоминалось в этом блоге, имеется конструкция Бисваса-Маркмана-Маркушевича, компактифицирующая относительный якобиан кривых рода g на К3-поверхности до голоморфно симплектического многообразия, деформационно эквивалентного g-точечной схеме Гильберта. Это определяет отображение из пространства периодов К3 с поляризацией рода g в пространство лагранжево расслоённых многообразий. С другой стороны, вырожденная твисторная деформация ему трансверсальна, потому что общая кривая на K3-поверхности не имеет тривиальных деформаций, кроме нулевой. Стало быть, мы таким образом получаем всю компоненту, ну или по крайней мере открытый её кусок (и наверное в силу какой-нибудь эргодичности плотный).

С другой стороны, вырожденная твисторная деформация сохраняет слои. Получается следующий результат: общее абелево многообразие, возникающее как слой лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии типа K3^{[n]}, есть якобиан кривой, лежащей на К3-поверхности. Звучит чудовищно неправдоподобно, но что поделать.

Можно например посчитать дифференциал отображения Маркмана из пространства периодов поляризованных К3 в пространство Алексеева. А именно, касательное пространство к пространству периодов это H^{1,1}, поляризацию сохраняет ортогонал к ней по форме пересечения. Касательное пространство к пространству Алексеева это фактор h^\perp/h, где h = c_1(\pi^*(O(1))), а ортогонал берётся по форме Бовиля-Богомолова. И форма пересечения, и форма Бовиля-Богомолова индуцируют на своих пространствах отрицательно определённую форму, и мы ищем естественную изометрию (которая бы ещё наверное переводила целочисленные вектора в целочисленные вектора, если таковые найдутся). Целочисленный вектор в ортогонале к поляризации это линейное расслоение, которое ограничивается на каждую кривую линейной системы как топологически тривиальное. Тем самым, оно задаёт сечение относительного Pic^0, и опуская вдоль него пучок Пуанкаре, мы получаем линейное расслоение на тотальном пространстве относительного якобиана. Кроме того, на каждом слое оно тривиализуется, так что лежит в ядре отображения ограничения H^{1,1}(Jac) \to H^{1,1}(A), а это ядро есть ортогонал к полуобильному вектору относительно формы Бовиля-Богомолова.

Чего я не понимаю, так это где и что я пропустил, что у меня сразу получилось линейное расслоение, а не линейное расслоение с точностью до обратного образа чего-то с базы. С другой стороны, это непонимание воодушевляет: если бы не это, это давно бы уже было написано в какой-нибудь базовой книжке про преобразование Фурье-Мукаи.

2 comments|post comment

Конструкция Маркмана и кривые рода три на абелевых поверхностях [04 Oct 2021|01:02pm]
[ mood | hungry ]

Если [info]v_r и [info]noctiluca, наши друзья и друзья равенства, не врут, то что бы мешало бы конструкцию Маркмана применить и к кривым на абелевой поверхности? Если всё правильно переговорить через пучки, возникнет нечто, а по сути следующее: имеется абелева поверхность A, на ней гладкая кривая рода g. Рассмотрим все её гладкие деформации, это g-мерное многообразие, на котором A действует сдвигами, а фактор \CP^{g-2}. Послойный якобиан этого образования допускает голоморфную симплектическую структуру, которая в свою очередь допускает компактификацию, и на всём этом снова действуют сдвиги, и по ним можно произвести симплектическую редукцию. Получается лагранжево расслоение над \CP^{g-2}, слой которого над точкой C \subset A есть ядро отображения Jac(C) \to A. Это многообразие, вероятно, деформационно эквивалентно обобщённому куммерову многообразию (g-1)-точечных подсхем этой поверхности, суммирующихся нулём.

Но это дико уже для g=3! Получается следующее: имеется кривая рода три C на абелевой поверхности A (или, что то же самое, двойное накрытие эллиптической кривой, разветвлённое в четырёх точках). Её деформации с точностью до сдвига параметризуются \CP^1. Если для каждой деформации мы повесим над соответствующей точкой \CP^1 эллиптическую кривую, ядро отображения из якобиана в A -- или ту самую эллиптическую кривую, которую C двулистно накрывает, это одно и то же -- то получится естественным образом эллиптическая K3-поверхность.

Это не то что бы удивительно: чтобы задать 2-форму в размерности два, нужно указать, как умножается одна пара векторов. Ну возьмём вертикальный вектор (то есть класс из H^{0,1}(C), спаривающийся нулём с любой формой, приходящей на C ограничением с A), возьмём любой другой, спроецируем вниз (получив класс из H^{1,0}(C) с точностью до приходящих ограничением с A), да и спарим. Но что это за K3-поверхность, вообще-то совершенно непонятно. Почему у кривой рода три на абелевой поверхности только 24 (или какое-то частное 24) вырождений? Вопросов больше чем ответов.

С модулями дела обстоят так. Биэллиптические кривые рода три имеют четырёхмерные модули (один параметр -- какую эллиптическую кривую мы накрываем, ещё четыре -- выбор критического локуса, и минус один за действие сдвигами). Биэллиптическая кривая даёт не только К3, но и конкретную эллиптическую кривую на ней, то есть поверхностей таким образом мы получаем не более чем трёхмерное семейство. То есть как куммеровых! Но не на любой куммеровой K3 есть эллиптическое расслоение (хотя если их меньше, проблемы не возникает). Непонятно также, что с этим семейством делает вырожденная твисторная деформация. Думаю, она должна идти трансверсально ему -- в противном случае было бы что-то типа семейства абелевых поверхностей, на которых все кривые рода три одни и те же, а условие быть частным абелева многообразия есть условие дискретное. Вопроса с возможным касанием это, впрочем, не закрывает (дискретность ещё не означает неразветвлённости).

3 comments|post comment

Что на самом деле гласит теорема Бовиля-Мериндоля [01 Oct 2021|02:27pm]
[ music | Michigander – East Chicago, IN ]

Пусть есть гладкая обильная кривая S на поверхности X. Возьмём нормальную точную последовательность T_S \to T_X|_S \to \nu_{S/X} и дуализируем её, а потом подкрутим на \nu^2_{S/X}. Получится точная последовательность \nu_{S/X} \to \nu^2_{S/X} \o \Omega_X|_S \to \nu^2_{S/X} \o K_S. Имеется её родной связующий гомоморфизм H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S) \to H^1(\nu_{S/X}). С другой стороны, имеется отображение Валя-Гаусса \Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S). Так вот, в статье Бовиля-Мериндоля доказывается (хотя и не говорится прямо), что композиция \Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S) \to H^1(\nu_{S/X}) отображения Валя-Гаусса и связующего гомоморфизма подкрученной конормальной последовательности равняется нулю. В частности, если отображение Валя-Гаусса для нормального пучка сюръективно, то нормальная последовательность расщепляется, и локальные деформации кривой S \subset X тривиальна. Например, это верно, когда X это K3-поверхность, а S есть множество неподвижных точек инволюции, фактор по которой есть двулистное накрытие CP^2: нормальное расслоение можно вложить в ограничение касательного на кривую как (-1)-собственное подрасслоение дифференциала инволюции.

Отсюда следует, что отображение Валя-Гаусса для нормального пучка кривой, лежащей на поверхности, поднимается до отображения \Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o \Omega_X|_S). Например, когда X есть абелева поверхность и \Omega_X тривиально, получаются какие-то пары квадратичных дифференциалов на кривой. Вообще-то ужасно, совершенно не могу даже понять, расщепляется ли у кривой на абелевой поверхности нормальная точная последовательность. Вроде как да, но с другой стороны у кривой рода три и выше бывают деформации, которые не сдвиги.

10 comments|post comment

Обращение конструкции Бисваса-Маркушевича [27 Sep 2021|03:28am]
[ mood | thirsty ]
[ music | Polonez Ogińskiego "Pożegnanie Ojczyzny" (wersja godzinna) ]

Давайте рассмотрим открытое голоморфно симплектическое многообразие X, лагранжево расслоённое над шаром. Предположим, что это расслоение тривиально, и слой его -- якобиан кривой S рода g. Вложим по кривой в каждый слой. У нас при этом есть свобода выбора, поскольку кривые можно параллельно сдвигать вдоль слоя, но для начала рассмотрим случай прямого произведения (тогда и базу можно будет выбрать не диском, а всем \C^g, аффинным пространством над H^{1,0}(S)). Объединение кривых во всех слоях образует (g+1)-мерное подмногообразие Y \subset X, и ограничение голоморфно симплектической формы на него задаёт распределение ядер, а тем самым и характеристическое слоение. Поскольку запрет на спаривание вводится по вертикали, характеристическое слоение будет горизонтальным: в точке (z, s) \in \C^2 \x S ядро будет состоять из горизонтальных векторов, направленных вдоль классов голоморфных 1-форм, зануляющихся в s. Стало быть, листы характеристического слоения имеют вид (z + \gamma_s, s), где \gamma_s \in H^{1,0}(S) -- всевозможные 1-формы такие, что \gamma_s(s) = 0. Значит пространство листов устроено как расслоение над кривой S, слой над точкой s у которого есть факторпространство H^{1,0}(S)/ker(ev_s : \gamma \mapsto \gamma(s)). Однако этот фактор это буквально кокасательное пространство T^*_s! Таким образом, кокасательное расслоение кривой реализуется как пространство листов на тривиальном расслоении на её якобианы.

Можно начать корёжить эту конструкцию, двигая кривые вдоль слоёв. (g+1)-мерное комплексное многообразие при этом будет получаться то же самое, однако голоморфная симплектическая структура будет уже другая, и наверное так можно добиться какого-нибудь интересного эффекта. Например, мы знаем, что трубчатая окрестность кривой рода два на своей якобиевой поверхности не биголоморфна никакой трубчатой окрестности нулевого сечения в её кокасательном расслоении. Однако все кривые рода два и там и там это сдвиги данной, и не удивлюсь, если росток якобиевой поверхности получается как пространство листов характеристического слоения для какой-то вертикальной вариации.

Ну и наконец самый интересный случай это когда всё едет: имеется нетривиальное расслоение на якобианы, в каждом из них можно поселить кривую, возникает семейство (g+1)-мерных подмногообразий, и у каждого пространство листов характеристического слоения. Дело в том, что если взять K3, и на ней линейную систему кривых рода g, то на послойном якобиане J \to \CP^g вне дискриминанта возникает голоморфно симплектическая структура, в которой сами якобианы лагранжевы (кажется, я читал про это у Бисваса). Она не всегда компактифицируется (хотя [info]v_r утверждал обратное со ссылкой на статью Маркмана про теорию Шафаревича-Тейта), но для g = 2 компактифицируется благодаря теореме Маркушевича, и эта компактификация деформируется в двухточечную схему Гильберта исходной K3. Можно же пытаться обратить эту конструкцию: подходящим образом вписав в каждый слой кривую, якобианом которой он является, получить росток исходной K3 как пространство листов возникающего там характеристического слоения. Конечно, такое открытое многообразие не всегда будет вписываться в K3-поверхность: так, можно взять семейство якобианов, нетривиальное лишь поперёк какого-то направления, а в этом направлении тривиальное. Тогда реализация соответствующего пространства листов как области в K3-поверхности давала бы многообразие Маркушевича с лагранжевым расслоением, отображение периодов которого имеет неполный ранг.

2 comments|post comment

Отображение Валя-Гаусса и голоморфная теорема Дарбу [13 Jul 2021|07:49am]
Пусть есть кривая C \subset P(V), или что то же самое обильное линейное расслоение L \to C (в таком случае V = H^0(C, L)^*). Точка x \in C при вложении в P(V) отображается в отображение вычисления H^0(C, L) \to L_x, или же L_x^* \too H^0(C, L)^* = V. Если есть две разные точки x, y \in C, то секущая xy (воспринимаемая как точка на грассманиане, вложенном по Плюккеру) отправляется во внешнее произведение отображений (ко)вычисления L_x^* \o L_y^* \to \Lambda^2(V). При x = y это отображение не имеет смысла или же нулевое; но при стремлении y \to x возникает нетривиальное отображение L_x^* \o L_x^* \o T_x \to \Lambda^2(V). Дуализировав и посмотрев в семействе, имеем отображение на сечениях \Lambda^2 H(C, L) \to H^0(L^2 \o K_C), названное своим изобретателем Джонатаном Валем гауссовым (хотя классическое гауссово отображение работает для (гипер)поверхностей, не для кривых, а такая штука называется отображением годографа). Мы будем называть его отображением Валя-Гаусса.

Валь заметил следующее: пусть отображение Валя-Гаусса для канонической кривой сюръективно. Тогда эта кривая может быть получена как гиперплоское сечение единственной повехности: конуса над собой. В частности, если кривая лежит на K3-поверхности, её каноническое отображение Гаусса-Валя не сюръективно. Я ещё не изучил доказательство Валя, оно насыщено алгебраическим жаргоном; но последний результат доказали геометрически Бовиль и Мериндоль. Их доказательство тоже изобилует тонкостями, но оно производит впечатление, будто его можно суммировать в следующее

Предложение (Бовиль, Мериндоль). Пусть C \subset X кривая на K3-поверхности. Выкручивая точную последовательность 0 \to T_C \to T_X|_C \to \nu_{X/C} = K_C \to 0, имеем расширение T_C^2 \to T_X|_C \o T_C \to \O_C, сиречь класс в H^1(T_C^2), а по двойственности Серра функционал \xi \in H^0(K_C^3)^*. Этот функционал зануляет образ канонического отображения Валя-Гаусса \Lambda^2(H^0(K_C)) \to H^0(K_C^3).
Доказательство (конечно, неправильное). Деформации кривой рода g на K3-поверхности параметризуются пространством P^g, причём касательное пространство к ним это просто H^0(K_C). Рассмотрим универсальное семейство кривых над этим P^g; имеем относительное отображение Валя-Гаусса \Lambda^2 H^0(K_C) \to H^0(K_C^3), то есть 2-форму с коэффициентами в расслоении кубических дифференциалов. С другой стороны, расслоение кубических дифференциалов снабжено линейной функцией \xi. Компонируя, имеем голоморфную 2-форму на P^g, а такая только одна: нулевая. ■

На самом деле эта форма конечно мероморфная, потому что при приближении кривой к особой она наверняка будет вырабатывать полюс; ну и в оригинальной статье доказательство хотя и короткое, но идёт другим путём. Но всё же интересно: можно ли этому рассуждению придать какой-то смысл? Давайте к примеру рассмотрим открытую поверхность с тривиальным каноническим расслоением, на которой лежит проективная кривая C. Её мгновенные деформации точно так же параметризуются H^0(K_C), и вышеописанная конструкция позволяет снабдить её пространство деформаций голоморфной 2-формой. Можно ли придумать поверхность, для которой эта 2-форма будет ненулевая?
4 comments|post comment

Подражание Гинсбергу [22 Jun 2021|09:04am]
[ mood | loved ]

Встань, обогни свой каркас на кривой козе!
Встань самолётом, летящим за перевал!
Встань, как с полотен под судорогой вставал
В винных пучинах Эль Греко святой Хозе.

Полны стесненья шиповник и тамариск
В дальних долинах — но люди ли так цветут?
Сунь мне в карман розмарина засохший прут,
Как сунул руку в пасть волку святой Франциск.

На этом холме алькальде мешал в саман
Цедру лимона и золото здешних мест —
Может быть, так и мы сохранились здесь,
Может быть, здесь последует наш респавн.

Ветер направлен по кругу, как старовер,
Море в бананах Анапы под ним легло,
Словно вдруг поднял на облако полиглот
И нас чекинит с улыбкой святой Ксавьер.

11 comments|post comment

[12 Jun 2021|12:04pm]
Я был помордован в стекольной земле,
Где тихо к Игарке течёт Енисей.
Я был повешен под мышкой сосны,
Где ласковый ветер сбегает с Карпат.
Меня увозили по ветхости дней,
Я видел, как ружья у них взведены,
Я выгружен в сердце отчизны своей,
Я никогда не вернулся назад.

Стрелочник с лампой стоит на посту.
Бандера и Сталин убили меня!
Кому я заполнил собой пустоту,
Чужую поклажу в тележке храня?
Бьются русалки по острым камням,
Ренские перлы катятся в тигль.
В ночи над туманом дрожит святый Ян,
Как будто заслыша германский артикль.

Ползут диверсанты под Бонн и Москву,
Куда побежим? что нас спасёт,
Когда из-за Нейссе буран понесёт
Нейтронные бомбы, сухую листву,

И Анна над гробом промолвит 'sehr gut,'
И прошлого тень её не оскорбит,
И вылезут снова глаза из орбит,
И стрелки на башне назад побегут,
И медными трубами грянет Сургут,
И выжжет зрачки белым снегом Ирбит?

Зачем я вцепился, как плуг, в этот грунт?
Мне бы ладонью затылок прикрыть,
Рукой дотянуться до шеи своей.
А там за рекой прорастает трава,
Орган в самолёты врезает свой фрунт,
Сучат телеграфы колючую нить,
И дети чуть слышно играют в слова,
И тихо к Игарке течёт Енисей.
7 comments|post comment

Вполне вещественные подмногообразия твисторов Лебрюна [19 May 2021|08:26pm]
[ mood | sick ]

Если X трёхмерное многообразие, поверхность можно поднять в сферизацию ST^*X его кокасательного расслоения гауссовым отображением. Точку можно поднять просто как слой над ней. Оба этих подъёма лежандровы, то есть горизонтальны относительно контактного распределения; кроме того, слой над точкой всегда есть аналитическая кривая относительно обеих имеющихся на тотальном пространстве КР-структур -- Лебрюна и Илса-Саламона. Подъём поверхности аналитичен тогда и только тогда, когда поверхность убмилична (для твисторов Лебрюна) и минимальна (для твисторов Илса-Саламона).

А как можно поднять кривую? Да точно так же в общем-то, над кривой повесим множество касательных 2-плоскостей, которых она касается -- то есть над каждой точкой кривой будет висеть сферизация её конормального расслоения. Этот тор лежандров, и всякий слой проекции ST^*X \to X пересекает по вещественно одномерному подмногообразию -- то есть аналитичным он не будет ни для какой из КР-структур. Выбор метрики на X определяет связность Леви-Чивиты на конормальном расслоении и следовательно трансверсальное слоение на торе; касательные вектора к этому слоению не будут, вообще говоря, касаться горизонтального распределения связности Леви-Чивиты, отличаясь от горизонтальных подъёмов на некий вертикальный вектор -- вектор внешней кривизны кривой (то есть вектор центростремительной силы, действующей на точку, описывающую эту кривую).

То есть касательное пространство к такому тору трансверсально своему образу под действием оператора комплексной структуры. В этом смысле поднятие всякой кривой есть вполне вещественное подмногообразие. Однако можно потребовать большего: а именно, чтобы повёрнутое касательное пространство было в точности перпендикулярно самому касательному пространству, как скажем RP^n \subset CP^n (это свойство не может быть постулировано без выбора метрики на X). Это условие выполнено лишь в точках тора, соответствующих касательным плоскостям, содержащим вектор кривизны в данной точке; в каждой точке оно имеет место тогда и только тогда, когда кривая геодезична. Пространство модулей вполне вещественных подмногообразий в слабом смысле бесконечномерно, но обладает некоторой геометрией, см. статью Лотея и Пачини. Если их построения перенести на КР-случай, можно посмотреть, как они взаимопроникают с комплексной структурой на пространстве модулей узлов в трёхмерном конформно римановом многообразии. Случай геодезических наоборот жёсток, трёхмерных римановых многообразий, все геодезические на которых замкнуты, очень немного, кажется только факторы круглой сферы; так мы получаем пространство вполне вещественных торов в вещестенной квадратичной гиперповерхности в CP^3, твисторах Лебрюна круглой сферы. Учитывая что большие круги на S^3 параметризуются CP^1 \x CP^1, может быть имеет смысл искать комплексную структуру на пространстве модулей вполне геодезичных поверхностей (в строгом смысле) в пятимерных КР-многообразиях.

post comment

Шифферовские вариации [15 May 2021|11:04am]
[ mood | awake ]

Пусть S риманова поверхность, и \gamma \subset S простой контур, ограничивающий диск. Если f \in Diff(\gamma) сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, будем обозначать за S_f результат склейки внутренности и внешности \gamma по диффеоморфизму f. Если f был вещественно-аналитическим, то и на внутренность и на внешность его можно аналитически продолжить до голоморфного отображения воротников, и таким образом ввести на S_f естественную структуру римановой поверхности. Приближая всякие диффеоморфизмы аналитическими, и учитывая, что S_f = S в случае, когда f -- мёбиусово преобразование (граничное значение голоморфного автоморфизма диска), можно таким образом построить отображение Diff/Moeb --> Teich(S). На факторе Diff/Moeb имеется комплексная структура имени Кириллова-Юрьева: касательное пространство к Diff это алгебра векторных полей на окружности; (1,0)-подпространство этой комплексной структуры это поля, у которых из ненулевых гармоник Фурье есть только те, что с положительными номерами (алгебра Ли moeb при этом сосредоточена на гармониках -1, 0, 1, так что в факторе гармоники с положительными номерами составляют в точности половину). Давайте проверим, что это отображение голоморфно.

Как это сделать? Надо написать явным образом дифференциал diff(S^1) \to H^0(K^2)^*. Если \xi -- векторное поле на \gamma, чему может равняться значение соответствующего оператора на квадратичном дифференциале q? Из соображений теории размерности ответ один: надо сделать подстановку \iota_\xi q и проинтегрировать получившуюся 1-форму по \gamma. Можно понять из соображений коциклов Чеха, что это правильный ответ.

Давайте напишем это в координатах. Выберем в диске, ограниченном \gamma, точку x, это задаст нам локальную координату z, в которой x = z(0), а \gamma = {z(e^{i\theta}) : \theta \in R}. В ней можно записать q = f(z)(dz)^2, и выбрать в векторных полях на окружности мнимый базис \xi_n = e^{in\theta}d/d\theta. Тогда интеграл выше запишется как \xi_n(q) = \int_{S^1}f(z)z^{n+1}dz. Отсюда можно сделать следующие выводы:


  1. Если n > 1, то \xi_n действует нулём на всех квадратичных дифференциалах (стало быть, задаёт тривиальную деформацию),
  2. \xi_{-2} есть нетривиальная деформация, ядро которой состоит из квадратичных дифференциалов с простым нулём в x,
  3. Вообще \xi_{-m} есть линейный функционал, сообщающий квадратичному дифференциалу вида f(z)(dz)^2 член ряда Тейлора функции f с номером m-2.

В принципе, неясно, что противоречит тому, чтобы из 3g-3-мерного пространства квадратичных дифференциалов внезапно у всех оказался нулевой m-тый член ряда Тейлора для какого-то большого m. В таком случае \xi_{-m-2} будет тривиальной деформацией. Но очень сомнительно. Кроме того, подозреваю, что для общего выбора кривой, точки и локальной координаты деформации \xi_{-2}, \xi_{-3}, ... \xi_{-3g+2} будут линейно независимы, а все остальные деформации \xi_{-m}, m>3g-2, как-то через них выражаться. Наверняка это члены рядов Тейлора каких-нибудь функций Бейкера-Ахиезера. С другой стороны, у этого явно должно быть гомологическое описание, типа сизигии, точки Вейерштрасса и т. п.

Для кривых рода два это можно проверить в координатах кстати: реализуем её как двойное накрытие CP^1 с ветвлением в корнях многочлена пятой степени p(t) и в бесконечности, p(0) \neq 0, тогда около нуля базис глобальных квадратичных дифференциалов можно выбрать в форме (dt)^2/p(t), t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t). Если p(t) = t^5 + at^3 + bt^2 + ct + d, то имеем разложение 1/p(t) = 1/d - (c/d^2)t + ((c^2-bd)/d^3)t^2 + .... У других квадратичных дифференциалов из нашего базиса ряд Тейлора получается съезжанием этого вправо. То есть матрица верхне-треугольная, и следовательно шифферовские вариации \xi_{-2}, \xi_{-3}, \xi_{-4} порождают всё касательное пространство. Так скажем \xi_{-2} убивает оба дифференциала t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t), и следовательно является изопериодической деформацией для 1-формы tdt/\sqrt{p(t)}. К сожалению, для гиперэллиптических кривых более высокого рода произведения 1-форм порождают не все квадратичные дифференциалы, и ничего подобного сказать не оказывается возможным.

Зачем всё это? Мы знаем, что пространство Тейхмюллера хотя и неоднородно, но очень похоже на однородное (а действующая на нём группа классов отображений при этом похожа на решётку в группе Ли, действием которой оно и однородно). А тут мы его продоминировали однородным, хотя и бесконечномерным. Какие слои этого отображения? Их тоже можно представить геометрически на самом деле. А именно, пусть f -- близкий к тождественному диффеоморфизм окружности такой, что S_f = S. Тогда имеем голоморфную биекцию \psi_f : S_f \to S, и контур \psi_f(\gamma) \subset S, достаточно близкий к \gamma в силу близости f к тождественному (род S предполагаем большим). Это задаёт отображение из слоя вариации Шиффера в пространство простых контуров на S, которое тоже в своём роде однородное (потому что S униформизуется плоскостью Лобачевского). То есть пространство Diff(S^1)/Moeb(S^1) можно мыслить как локус в пространстве простых контуров на универсальной кривой над пространством Тейхмюллера. Мне кажется, несмотря на примитивность, это не вполне бессмысленно.
4 comments|post comment

Узлы и расслоения [11 May 2021|05:59pm]
[ mood | full ]
[ music | Манго-Манго -- На север привезли бананы ]

Если X трёхмерное многообразие с формой объёма, то непараметризованные узлы в X суть бесконечномерное симплектческое многообразие. Если при этом Y \subset X поверхность, то узлы, лежащие на этой поверхности, образуют лагранжево подмногообразие в нём. А можно ли построить лагранжево расслоение, все слои которого приходят из поверхностей?

До некоторой степени можно. Давайте на X будет, сохраняя объём, действовать окружность без кратных слоёв, иными словами, X \to B будет главным U(1)-расслоением над симплектической поверхностью. Рассмотрим открытое подмножество, состоящее из узлов, трансверсальных слоям расслоения. Для каждого такого узла возникает поверхность: её заметает узел под действием U(1). База такой проекции это пространство узлов в симплектической поверхности, её слои -- трансверсальные сечения тривиального расслоения над окружностью со слоем окружность. База этого расслоения допускает замкнутую 1-форму, получающуюся трансгрессией формы площади; 1-формы на базе определяют параллельные векторные поля на слое, и векторное поле, определяемое трансгрессией площади, есть поле, которым действует на узлах группа U(1).

Интересно, что база этой симплектической редукции допускает симплектическую форму sui iuris: деформация контура на поверхности определяется нормальным векторным полем, то есть, дуализируя симплектической формой, 1-формой на нормализации контура; из них касаются ядра трансгрессии площади ровно точные 1-формы, каковые могут отождествлены быть с функциями на окружности по модулю констант. А на этом пространстве есть симплектическая форма, задаваемая как \int_{S^1} fdg - gdf. По двойственности, на группе U(1)-значных функций на окружности с конечной первой производной имеется инвариантный бивектор. Интересно, существуют ли естественные примеры конечномерных лагранжевых расслоений, на базе которых также имеется симплектическая структура. Ещё это напоминает контактные многообразия: на контактных многообразиях контактная 1-форма имеет неинтегрируемое распределение ядер, а дифференциал 1-формы задаёт на ядрах симплектическую структуру. Только тут 1-форма интегрируема, а симплектическая структура на ядрах всё равно есть.

К слову, не очень понятно, как тут связность Лиувилля-Арнольда работает. Может и нету связности-той.

И вот ещё: а нельзя ли вывести изопериметрическое неравенство на R^2 через метод стационарной фазы? Рассмотрим-де все контуры, ограничивающие единичную площадь; с описанной выше формой это симплектическое многообразие. Рассмотрим его с точностью до действия параллельных переносов, на получившемся образовании, также симплектическом многообразии, действует поворотами группа U(1). Функционал длины сохраняется U(1)-действием, так что... не знаю. Наверное существование максимума так доказать не представляется возможным. Но всё же любопытно.

Ну и возвращаясь к началу: с трёхмерным римановым многообразием связывается бесконечномерное кэлерово, и если оно было тотальным пространством главного U(1)-расслоения над римановой поверхностью, соответствующее кэлерово многообразие (а точнее открытое подмножество в нём) представляется как лагранжево расслоение. А что можно сказать про пространства узлов в тотальных пространствах коассоциативных расслоений?

1 comment|post comment

Questione della lingua [07 May 2021|09:36pm]
[ mood | hopeful ]
[ music | Зазеркалье -- Дресс-контроль ]

По большому счёту, любая 'общественная дискуссия' структурно сводится к повторению одних и тех же слов в одном и том же порядке, разыгрыванию пьесы типа -- просто при каждой постановке значения слов в пьесе разные; а так репертуар почти неизменен со времён древних греков. Такая дискуссия-пьеса это на самом деле развёрнутая поговорка, но устанавливающаяся в устах не одного говорящего, а сразу двух, существо её в том, на какие соответствия между узлами пьесы и понятиями реального мира они соглашаются.

В максимальной общности это верно конечно лишь отчасти; но есть случаи, когда такая театральщина совсем уж назойлива и очевидна. Примером такого служит русская дискуссия о языке. Она конечно не оригинальна, и у тех же аттических греков с ионийскими тоже небось имела место; но русня довела её до идиотской завершённости. Лудольф писал в 1690-х: невозможно ни писать, ни рассуждать по каким-нибудь вопросам науки и образования, не пользуясь славянским языком. Поэтому чем более ученым кто-нибудь хочет казаться, тем более примешивает он славянских выражений к своей речи или в своих писаниях, хотя некоторые и посмеиваются над теми, кто злоупотребляет славянским языком в обычной речи -- и точно так же сейчас немногие русские, пытающиеся рассуждать по вопросам науки, жалуются на то, что половина терминов на русский просто не переводится, а остальные гыгыкают над тем, что-де очкарики уродуют речь англицизмами вместо того, чтобы изъясняться по-простому, 'душевно бля, ёпта'. Тредиаковский и Адодуров в своём порыве писать простым языком сетовали на замутнение его славянщизною в точно таких же выражениях, в каких полувеком позже сетовали Карамзин и Батюшков, и в точно таких же, в каких сетуют сейчас -- когда в роли славянщизны выступают феминитивы в польском духе на -ка.

То есть когда русня 'спорит' о языке, в этом нету никакого содержания вообще, по крайней мере непосредственно относящегося к произносимому. Это всегда разговор пословицами, а то, к чему он относится, есть материя политическая. И русня это прекрасно знает и чувствует абсурдность происходящего; но признаться в этом -- это слишком радикально, и потому ей приходится как-то её оправдывать. Поэтому видимо она так молится на гипотезу Сапира-Ўорфа. Вообще же, если пытаться смотреть трезво, она есть типичное пиндосское слабоумие, в духе Б. Ф. Скиннера, такое редко когда настолько резонирует в сердце русского человека. Не знаю, насколько это рассуждение что-либо объясняет, но мне по крайней мере оно объясняет, почему мне подсознательно хочется к Сапиру-Ўорфу с такой нежностью относиться.

6 comments|post comment

Оператор Дольбо и подынтегральное выражение Вильмора [16 Apr 2021|01:29am]
[ mood | sleepy ]
[ music | Полки нового строя -- От Капотни до Строгина ]

Оператор Дольбо голоморфного расслоения получается из-за того, что локальные тривиализации (ростки плоских связностей) можно конечно выбирать по-разному, но их антиголоморфная часть будет всегда получаться одна и та же, потому что функции переклейки голоморфны. Оказывается, нечто подобное возникает и в твисторах Лебрюна.

Напомню, что если X -- трёхмерное риманово многообразие, то на стандартном контактном распределении в расслоении единичных сфер в его кокасательном расслоении возникает оператор почти комплексной структуры: по вертикали он как на сфере, а по горизонтали он как на ориентированной плоскости с конформной структурой. Для того, чтобы придать смысл слову 'горизонталь', нужно сделать выбор метрики (тогда горизонтальное подпространство выбирается как горизонтальное подпространство связности Леви-Чивиты), но вычислением можно убедиться, что получающаяся комплексная структура зависит только от конформного класса. Будем смотреть на X как на конформное многообразие, тогда ST^*X с такой КР-структурой называется твисторами Лебрюна.

Пусть теперь S \subset X -- коориентированная поверхность (конформная, в частности, риманова). Она поднимается в твисторы Лебрюна гауссовым отображением s \mapsto T_sS. Это отображение горизонтально, но, вообще говоря, не голоморфно. Если выбрана метрика, а значит связность, касательное пространство к образу гауссова отображения можно задать графиком отображения T_sS \to T_{T_sS}(ST^*_sX) (где T_sS мы воспринимаем как горизонтальное подпространство). Это отображение является компонентой сечения проекции T_{T_sS}(ST^*X) \to T_sS, которая голоморфна. Стало быть, антиголоморфная часть этого отображения, T^{1,0}_sS \to T^{0,1}_{T_sS}(ST^*X) имеет вертикальный образ, который не зависит от выбора расщепления (то есть связности, то есть метрики). Вертикальное пространство это касательное пространтво к сферизации кокасательного, то есть Hom(T_sS, T_sX/T_sS). Значит, конформно-инвариантная антилинейная часть гауссова отображения есть форма вида Hom(T^{1,0} \o T^{0,1}, \nu(X/S)).

И если обратно выбрать метрику, то это получится просто (1,1)-форма на кривой. И её можно тогда написать: в самом деле, отображение T_sS \to T_{T_sS}(ST^*_sX) это просто вторая квадратичная форма поверхности, антилинейная часть её имеет собственные числа (k_1 - k_2)/2 и (k_2 - k_1)/2, где k_i -- главные кривизны, так что 2-форма пишется как (K-H^2)\vol_{g|_S}, где H = (k_1+k_2)/2 -- средняя кривизна, а K = k_1k_2 -- гауссова кривизна. Эта 2-форма называется подынтегральным выражением Вильмора, а её интеграл -- энергией Вильмора. Для поверхностей в S^3 это хорошо известно; а связи с твисторами Лебрюна, равно как и конформной инвариантности в общем случае, кажется никто не замечал.

post comment

[10 Apr 2021|10:02pm]
[ mood | ditzy ]

Вопросы бывают интересные, и некоторые из интересных вопросов полезные. Полезный вопрос очень трудно сформулировать, особенно целенаправленно: ощущение того, что полезно а что нет, определяется прошлым, от которого будущее не зависит. Но пытаться можно, и если ты не совсем дурак, то когда хоть один вопрос, кажущийся полезным, удаётся сформулировать, это радует (что радует дураков, я не знаю). Так что попробую.

Будем называть сеткой связный граф, степени вершин которого либо три либо один. Будем называть вершину внутренним узлом, если её степень три, и внешним, если один. Множество внешних узлов будем называть границей. Функция на сетке есть функция на множестве её узлов. Функция называется гармонической, если её значение в каждом внутреннем узле равняется среднему арифметическому значений в трёх её соседях. Стандартная теорема состоит в том, что всякая функция, определённая на границе, является ограничением гармонической функции, притом единственной. Если x это внешний узел, то соответствующая функция u_{\delta_x} = u(y) определяется как сумма \sum_{i=0}^{+\infty}N_{y,x}(i)3^{-i}, где N_{y,x}(i) -- число путей длины i из узла y в узел x, не проходящие ни через какой другой внешний узел. Это очевидно просто из мысленного акта расписывания условия гармоничности в каждой вершине. Иными словами, это вероятность того, что случайное блуждание, начавшееся в узле y, впервые попадёт на границу в узле x. Это определяет вложение множества узлов в пространство вероятностных мер на границе, то есть правильный симплекс. При этом поскольку каждая из координатных функций гармонична, радиус-вектор каждого внутреннего узла при таком вложении есть среднее арифметическое радиус-векторов соседей. Геометрически это значит, что если изготовить сетку из пружин одинаковой жёсткости, и каждый граничный узел разместить в вершине тетраэдра, то универсальное гармоническое вложение реализуется как устойчивое положение такой конфигурации пружин. Это определяет на таком простом объекте как сетка сразу много геометрических структур: например, семейство метрик (ограничений L^p-метрик на пространстве мер на конечном множестве), или функцию энтропии. Ну можно было изначально конечно приписать веса рёбрам/жёсткости пружинам, и получилось бы какое-то преобразование на метриках (или даже семейство преобразований), но по-моему было бы не так красиво. (С другой стороны, так можно было бы ввести формально пружины нулевой жёсткости, и от странного комбинаторного объекта перейти к объекту гораздо более простому: именно, взвешенному полному графу. Но для этого нужно определить, что такое полный граф с краем, и в общем-то пока что ну его.)

Аналогичная картинка имеется для любой области: существует каноническое отображение из области в пространство вероятностных мер на её границе, переводящее граничные точки в атомарные меры, которое является универсальной гармонической функцией (сиречь всякая гармоническая функция получается ограничением линейного функционала на пространстве мер на образ данного вложения -- то есть, в данной точке, интегрированием какой-то фиксированной функции, определённой на границе, по мере, связанной с этой точкой). Можно конечно задаться вопросом о том, какие метрики получаются ограничением тех или иных метрик на пространстве мер (хотя эти вопросы мне не нравятся, потому что они изготавливают метрику из метрики, а не априорно, как изготавливается метрика Бергмана). Но это всё понятно. Что непонятно, так это следующее: почему гармонические функции на области хорошо приближаются гармоническими функциями на хорошо приближающей её сетке? В принципе, это совершенно неочевидно, и не потому что это трудно доказать (казалось бы, всё должно выводиться из теоремы о среднем), а потому что непонятны определения. Сетка вообще-то ничего не может приближать, потому что всякий комбинаторный объект тривиален; нетривиальными могут быть их семейства. А что такое семейство? Это какое-то счётное множество сеток, но с какими соотношениями между ними, которые бы позволяли переходить к пределу? Обязательно ли предел должен получаться римановым многообразием с краем, или теорема Дирихле верна для каких-то сущностей, нам пока неизвестных?

В том же духе теории конечных множеств, должно быть, следует переосмыслить всю геометрию. Взвешенными графами можно приближать римановы многообразия; замечательно, а чем можно было бы приближать комплексные многообразия? Как там приближать оператор \bar{\partial}?

Какой-то чудовищно бессодержательный 'полезный' вопрос у меня получился, голова не варит совсем. Не знаю, что так, вроде нормально же ем.

1 comment|post comment

адмиральского шелка, который побывал и в Чесме, и при Трафальгаре [09 Apr 2021|12:41pm]
[ mood | happy ]
[ music | Из-за острова на стрежень ]

Перечитывая письма Чернышевского к детям, писаные им из Вилюйска, в которых он разоблачает глупости разнообразных Гельмгольцев и Лобачевских (и видимо Римана), утверждая априорность трёхмерного евклидова пространства и т. п., обнаружил, что не такие уж они и смешные. Дело тут не только в том, что писаны они из Вилюйска; дело в том, что оттуда на самом деле легко считывается, что Чернышевский не дурак. Он Рип ван Винкль, вылезший из епитрахили саратовского протопопа-латиниста и выучившийся читать по его старопечатным книгам, которые на другом конце ойкумены были сожжены ещё ирокезами при разорении гернгутерских колоний в Пенсильвании. Те учёные, которых он превозносит -- Ньютон, Лаплас, Эйлер, Лагранж -- все умы чисто XVII--XVIII столетия, а те, кого он денонсирует, начиная с Канта и кончая Дарвином, по Фуко суть апостолы 'модерной эпистемы'. Tаково же, подозреваю, и его отношение к Рикардо, и тем же объясняется их собачье отношение друг друга с Марксом. Чернышевский -- писатель-классицист.

И это, как ни тупо такое произносить, сближает Чернышевского с Мандельштамом. Конечно, Мандельштам для Фуко был бы не препаратом, а референтом: не главы про Ламарка в Путешествии в Армению выглядят списанными из Слов и вещей, но скорее наоборот. Ко временам Мандельштама и Кузина современная эпистема вступила в права своей тотальности, и они не могли не признавать её правоты. К до-гауссовским (не сумел образовать притяжательную форму от имени Кювье) формам разблюдовки знания они не могли относиться столь же ревностно, им оставалось лишь видеть в них эстетическую и нравственную ценность (а для Кузина, подозреваю, это была консервированная кровь замёрзшего в Альпах мертвеца, которую он пытался перелить оседланной эпигенетиками биологии ради омоложения).

Вообще попытки придумать сталинизму -- не тому кровавому, гнойному, говняному, а некому иллюзорно-дистиллированному 'сталинизму без Сталина' Стихов о неизвестном солдате -- классицистическую генеалогию, быть может, были довольно искренними. Интересен случай Гуковского: попытки вывести 'демократическую литературу' и 'реализм' не из сетки дворянских гнёзд, а из перемежённой экономическими сводками купеческой порнографии Михаила Чулкова и юридически студёной бескомопромиссности Радищева (сын которого-таки женился на своей крепостной) выглядят с одной стороны как катаракта, которой нужно было обезобразить формальное исследование той части русской эстетики просто чтобы его напечатали, а с другой как подлинный эксперимент по очистке семиотики русского демократизма от сивухи феодальной анархии. В последнем случае это немного напоминает историю Товия Ловица, сына повешенного Пугачёвым на Иловле астронома, иже при попытке выделить флогистон кипячением угля и азотной кислоты случайно совершил первый в истории целенаправленный органический синтез.

Кстати по соседству Мандельштам описывает, как построить плоскую квартику с одной нодальной особенностью и одной каспидальной (если я нигде не проврался):

Возьмите любую точку и соедините ее пучком координат с прямой. Затем продолжите эти координаты, пересекающие прямую под разными углами, на отрезок одинаковой длины, соедините их между собой, и получится выпуклость.

Называется конхоида Никомеда, в википедии картинки есть. Такой специалист в математике классицистической эпистемы как Арнольд наверняка бы сразу опознал, к чему это.

Ну и чтобы замкнуть треугольник в другой плоскости: про персидские корни сталинизма написано в Даре; а 'широкая грудь осетина' не к тому же клонит одним из обертонов?

1 comment|post comment

[04 Apr 2021|11:34pm]
Крепостной может быть художником или актёром или инженером; 'крепостной писатель' это нонсенс. Русская культурная жизнь выросла из усадьбы Струйского, что ныне город Рузаевка: крепостной Рокотов пишет портреты, крепостной Зяблов расписывает плафоны, а в середине сидит барин и строчит вирши. Вокруг расстилаются мордовские концлагеря. Тем живее немногие исключения из этого правила, например Николай Шипов, крепостной миллионер, написавший историю своей жизни.

'Русская классическая литература' от вторжения такой жизни была надёжно предохранена с момента своего зарождения (то есть когда Некрасов с Панаевым купили Современник). Её ядро -- это манифестация не особо проговоренной вслух, но довольно чётко очерченной идеологии 'дворянского анархизма', самомнения считающего себя униженным вельможи, из которого вычли благородство декабристов и их жён. Едва ли можно сказать, что каждый писатель из этого корпуса сам по себе невзрачен, как прототипический Струйский; но выпуклости каждого из них в сумме взаимно уничтожаются, и результирующий фоторобот смотрится весьма негигиенично (по этой же причине зачинатель всего направления, Пушкин, не выглядит настолько отталкивающе: рядом с ним никого не было, и даже если у него когда и проступает литературный аналог бакунинского швыряния камнями, извилистость личности Пушкина не позволяет тому тривиализоваться). Вслед за ядром тянется шлейф 'разночинцев', от унылых эпигонов, тщетно пытающихся доказать, что они 'не хуже', типа Погодина, до просто гнусных фальсификаторов типа Горького. Единственное возвышающееся в стороне исключение это Лесков.

При этом изнутри знакового поля, индуцированного этим ядром, оно само не выглядит монолитным. Пары кварк-антикварк из 'западников' и 'славянофилов', окостеневших в своих боевых стойках, выглядят пребывающими в пылу битвы для того, кто уверен, что они на самом деле живы. Ленин, находящийся в плену этого поля, вслед за Салтыковым-Щедриным ополчается против либералов, которые-де сражаются за охотнорядцев из журнала 'Гражданин' -- в то время как журнал 'Гражданин' можно пронаблюдать только в паре с толстовством. Поэтому Наркомпрос в 1919 году издаёт не записки крепостного миллионера и даже не 'Тупейного художника', а 'Антона-Горемыку'. Закончил же свой путь дворянский анархизм как одно из структурных подразделений сталинизма.

И именно в таком контексте и следует воспринимать теорию отражения. Как мы знаем, всегда, когда говорят 'зеркало', стыдливо имеют ввиду видоискатель; так и факты общественной жизни запечатлеваются в разных кинокамерах подобно разным киножанрам. Если камера в руках у крепостного миллионера, получается пышущее жизнью VHS-видео, в котором купеческие свадьбы идут подряд с перестрелками, оторванными конечностями и печами в Вознесенском девичьем монастыре, в которых французы подчас оккупации Москвы пекли хлеб; если в руках Лескова -- фильм 'Как Лёха Чеснок вёз Витьку Штыря в дом инвалидов'. Если Толстого -- то фильм Левиафан. И беда тут не в происхождении лично Толстого, а в социальной монолитности корпуса, породившего систему знаков, к которому он имеет несчастье принадлежать, и претензии оного на историческую укоренённость (глубже даже Пушкина: ведь постепенное перетекание аристократических амбиций из политики в литературное фрондёрство сопутствовало постепенному вплетанию софьинского модернизационного проекта в петровский, начиная с катастрофы 1730 года -- тут уместно заметить ещё, что и у Алексея, и у Софьи, и у Анны были придворные поэты, а у Петра не было; и те специальности, в импорте которых Пётр был заинтересован, это в точности те специальности, которые были впоследствии дозволены крепостным). В этом плане полезно опять же сопоставление с художниками. Состав передвижников был гораздо более демократичный, единственный большой барин из них был Ярошенко, и его герои хотя и несут на себе печать ресентимента их автора, в безъязыкую карикатуру они не превращаются. Ну и с Мясоедовым примерно так же; о других нечего и говорить.
6 comments|post comment

[30 Mar 2021|09:19pm]
Как законное венгерское правительство
Ополчалось на кресты и полумесяцы,
Против бога Салаоха толстоухого.
С могучими молдавскими бояры,
Со славным карниольским графом Цилли,
Со всею баргородскою ндрангетой,
С князь Борис сударь Ефимовичем Гройсом.

А в одной земле жил да был король,
За его окном догорал фонарь,
Он писал к весёлой Елисавет,
А ему отвечал дюк Луи де Бройль.
Он смотрел в кристалл на весь белый свет,
А в его глазах расцветал миндаль.
Он водил смычком по ребру пластин,
Он вводил в таблицы цену наград,
Белый свет, распадаясь в сумму картин,
Уж не чаял долгом сложиться назад.

Что за Петербург, что за Фуггерай,
Что за демиург расчертил нам рай?
Ты и сам не рад, как смурной зверёк:
Без тебя тут ад, а с тобой раёк.
Я как тот один полоумный негр
Богу молится в чине проджектов,
Чтобы стёр их гром из небесных недр
Свободил невольников Божьих-то!
А ходил Мехмет под самой Мостар,
И ему корнет расчехлял радар,
Как зажегши свет, так не гаснет он:
Жил да был король, жил да был казнён.
А и ты любезен со мной всегда,
А и жизнь моя как твой хуй тверда.
То встаёт петух то клюёт заря
то ли я лопух то ли всё не зря
Вот сижу с тобой, а хотел бы я
Бросить в воду свёрток с избытком чувств,
Плыть по Яузе, как Офелия,
Чтоб я молча мок как ветлужский груз
Головой вперёд сквозь поверхность вод
Надо мной искрил Электрозавод
Чтобы мой шлафрок проломил бы шлюз --
И когда кто выйдет на улицу,
Или примет с утра дозу кофею,
То хотя бы тогда полюбуется
Новой радугой над Московиею.

Для чего ж у нас с тобой так мало времени?
Почему мы не пошли тогда с ребятами?
Всё о том же бредят почты с телеграфами,
Всё к тому же клонят Конго да Богемия.

Эх вы, детушки, скинхеды да вегане,
Доставайте свои револьверы,
Растворяйте тоску в адренохроме!
Посолонь летят казаки и башкиры,
К востоку прёт вестфальская пехота,
И валы ядрански носом роет Нимиц,
И снега пропеллер разбивает.
7 comments|post comment

[26 Mar 2021|01:31pm]
[ mood | calm ]

Снилось сегодня, что если взять матрицу из Sp(4, Z), и присоединить к \Q её собственные значения, получится расширение степени четыре, из действия группы единиц умножением на кольце целых которого можно получить решётку в группе Sp(4, R) x Sp(4, R), не распадающуюся в произведение двух решёток в Sp(4, R). Фактор Sp(4, R) x Sp(4, R) по этой решётке называется модулярным многообразием Гринберга, и он изоморфен разрешению особенностей у симметрического квадрата поверхности Инуэ.

Резон здесь на самом деле следующий. Из прошлого поста мы знаем, что неплотные орбиты действия группы классов отображений на локусе Каповича для рода g изоморфны фактору Sp(2, R) x Sp(2g-2, R) по решётке. Для g > 2 из одной теоремы Маргулиса вытекает, что всякая решётка в такой группе имеет вид \Gamma' x \Gamma'', где \Gamma' \subset Sp(2, R), \Gamma'' \subset Sp(2g-2, R). Но теорема Маргулиса не имеет места для случая произведения двух изоморфных групп! или даже групп с изоморфными комплексификациями их алгебр Ли. И действительно, в группе Sp(2, R) x Sp(2, R) имеются решётки, получающиеся из каких-то там квадратичных порядков, факторы по которым называются модулярными поверхностями Гильберта. Такая трихотомия для Sp(4, Z)-орбит в Sp(4, R)/Sp(2, R) x Sp(2, R) -- что они бывают либо всюду плотны, либо дискретны -- и тогда соответствуют либо произведению решёток, либо модулярной поверхности Гильберта -- соответствует трихотомии для орбит SL(2, R)-действия на пространстве модулей абелевых дифференциалов: их проекции в пространство модулей либо всюду плотны, либо накрывают кривую (параметризующую разветвлённые накрытия эллиптических кривых), либо имеют замыканием модулярную поверхность Гильберта.

Соответственно, если мы верим в то, что существует локальное sp(4, R)-действие на пространстве модулей абелевых бидифференциалов (расслоении грассманианов 2-плоскостей в расслоении Ходжа), то в случае g = 4, в принципе, помимо поверхностей, заметаемых кривыми рода четыре на меняющейся абелевой поверхности (кстати, такое вообще может существовать? я только для кривых рода три предъявил претендента), могут возникать какие-то многообразия, соответствующие нераспадающимся решёткам в Sp(4, R) x Sp(4, R).

2 comments|post comment

navigation
[ viewing | most recent entries ]
[ go | earlier ]