крест и радуга [entries|friends|calendar]
Rodion Déev

[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ calendar | livejournal calendar ]

Явный пример пары дифференциалов, в которой теорема о голономии не имеет места [04 Nov 2019|02:36pm]
Пусть C -- общая кривая рода четыре. Рассмотрим её каноническое вложение в P^3, и спроецируем его на P^2 с центром в любой точке. Получится отображение из кривой степени шесть в P^2, то есть особая квинтика. Каджая особенность соответствует одному исчезнувшему циклу, так что их количество равняется разности рода неособой квинтики и рода C, сиречь (5-1)(5-2)/2 - 4 = 2. С другой стороны, особенности проекции с центром в x \in C суть в точности трисекущие, проходящие через x. Иными словами, многообразие трисекущих канонической кривой рода четыре двояколинейчато, и на самом деле является квадрикой. Ну и как-то несложно вывести из формулы Римана-Роха, что общая кривая рода четыре в P^3 есть пересечение квадрики и кубики.

Чудесно! Теперь возьмём четыре прямые на этой квадрике, которые замыкаются в чокер (первая пересекает вторую, вторая третью ... четвёртая первую). Пусть эти прямые в общем положении с кубикой, высекающей нашу кривую. Тогда они определяют три трёхточечных дивизора A, B, C, D таких, что A + B, B + C, C + D, D + A все канонические (поскольку соответствующие прямые пересекаются и, следовательно, лежат в одной плоскости). Стало быть, дивизоры A + B и B + C не взаимно просты: они оба являются слагаемыми биканонического дивизора A + B + C + D, отличного от их суммы, дивизора A + 2B + C. Таким образом, мы привели пример точки, в которой дифференциал отображения Торелли-Каповича не сюръективен для двух дифференциалов. Более того, мы доказали, что такие пары существуют для общей кривой рода четыре. Для меньших родов, как мы знаем, такого не бывает; но видимо, этот феномен продолжается на все роды от четырёх и выше.
1 comment|post comment

Голоморфные 1-формы с многими общими нулями [03 Nov 2019|09:59pm]
[ music | Паша Осипов -- Дистресс ]

Мы знаем, что теорема Хейхала-Тёрстона верна не для любой пары 1-форм: именно, ранг отображения в изотропный грассманиан падает в точности в тех парах, для которых существует голоморфный квадратичный дифференциал, делящийся на обе 1-формы, но не равный скалярному кратному их произведения. Такого не может быть для форм без общих нулей. Если же у форм есть общие нули, то квадратичный дифференциал может обращаться в нуль в объединении нулей обеих форм, и где-то ещё. Будем называть такие пары 1-форм не взаимно простыми (а соответственно с обратным свойством -- взаимно простыми). Встаёт логичный вопрос: а как можно описать кривые, допускающие две не взаимно простые 1-формы?

Сперва заметим, что если у двух канонических дивизоров имеется всего m различных нулей, то разность этих дивизоров есть дивизор функции с m нулями и m полюсами, так что гональность такой кривой не превосходит m. В частности, канонический дивизор однозначно восстанавливается по любым своим 2g-3 точкам. Для g = 2 это хорошо известно: сопоставление на кривой рода два точке x точки f(x) такой, что x + f(x) есть канонический дивизор, есть каноническая гиперэллиптическая инволюция, отображение факторизации по которой есть каноническое отображение в P^1. Итак, на кривой рода два любые две 1-формы не имеют общих нулей, в частности взаимно просты.

Заметим также, что не взаимно простые формы не могут иметь и мало общих нулей: в самом деле, пусть нули одной это x_1, x_2, ... x_m, x_{m+1}, ... x_{2g-2}, а другой -- y_1 = x_1, y_2 = x_2, ... y_m = x_m, y_{m+1}, ... y_{2g-2}. Тогда у квадратичного дифференциала, делящегося на ту и на другую форму (сиречь обнуляющегося во всех их нулях), но отличного от их произведения, имеются нули x_1 = y_1, ... x_m = y_m, x_{m+1}, ... x_{2g-2}, y_{m+1}, ... y_{2g-2}, z_1, ... z_m (пользуясь вольностю речи, буду считать, что кратных нулей нет -- в этой задаче это непринципиально). Но тогда частное этой квадратичной формы и произведения наших двух 1-форм будет рациональной функцией с нулями в z_i-тых и полюсами в x_i = y_i-тых. Итак, две невзаимно простыe формы не могут иметь ровно один общий нуль, и, вообще, меньше нулей, чем гональность кривой. В частности, на плоской квартике любые две 1-формы взаимно просты (замечу, что наличие не взаимно простых 1-форм на гиперэллиптической кривой рода три мы не доказали).

Эта оценка слишком слабая -- гональность общей кривой рода g равняется (g+3)/2. С другой стороны, на общей кривой рода g легко построить две 1-формы с g-2 общими нулями. В самом деле, канонический дивизор на кривой есть гиперплоское сечение её образа при каноническом отображении в P^{g-1}. Соответственно, если провести через g-2 точки на кривой проективное подпространство коразмерности два, то любые две гиперплоскости, через него проходящие, определят две 1-формы с как минимум g-2 общими нулями. На самом деле, правильным выбором секущего подпространства можно добиться большего: например, возьмём точку на кривой рода четыре, вложенной канонически в P^3, и посмотрим на все проходящие через неё прямую. Проекция с центром в этой точке определит отображение из кривой рода четыре в P^2. Образ его будет особым в силу формулы Римана-Гурвица; особенности его суть в точности хорды, проходящие через нашу точку, и ещё какие-то подсхемы длины более одного. С другой стороны, если на одной прямой будут лежать четыре точки, то проекция из этой прямой определяет на кривой гиперэллиптическую инволюцию. Стало быть, для общей кривой рода четыре железно есть два канонических дивизора с тремя общими нулями, но не более того. Аналогично, проецируя из P^{g-2} каноническую кривую рода g (по крайней мере для g \neq (d-1)(d-2)/2), можно получить две 1-формы с g-1 общими нулями. Соответственно, задача наша сводится к следующей: найти на кривой рода g четыре эффективных дивизора A, B, C, D степени g-1 таких, что дивизоры A + B, A + C и C + D канонические. Как пить дать такого не бывает, и знать это должны были ещё итальянцы, но почему-то не доказывается. А литература -- бог с тобой, какая тут может быть литература.

Но отрадно впрочем другое обстоятельство: пары дифференциалов это проективные подпространства коразмерности два для канонического вложения, а для открытого по Зариски подмножества в грассманиане Gr(2,g) никакого пересечения с кривой у такого подпространства нету. Стало быть, множество пар дифференциалов без общих нулей впрямь-таки открыто, а тем паче и множество пар взаимно простых дифференциалов.

post comment

Теорема Хейхала-Тёрстона для нескольких дифференциалов и теорема Менелая [30 Oct 2019|03:02pm]
[ mood | awake ]

Итак, в предыдущей серии мы заметили, что для ненулевой голоморфной 1-формы \alpha отображение j_{\alpha} : H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), заданное как x \mapsto \alpha \o x, инъективно. Имея функционал на подпространстве, мы можем продолжить его наружу абы как, и получить тем самым искомый касательный вектор к пространству Тейхмюллера. Теперь нам нужно заметить, что для двух ненулевых голоморфных 1-форм без общих нулей \alpha, \beta подпространства im(j_{\alpha}) и im(j_{\beta} пересекаются ровно по одной прямой span{\alpha \o \beta}. Это неудивительнo: ненулевой голоморфный квадратичный дифференциал с точностью до пропорциональности определяется своими 2g-2 нулями, где g -- род кривой. Если он имеет по g-1 нулей от \alpha и от \beta, то ничем иным, кроме скалярного множителя их произведения, он быть не может.

Итак, имеется два функционала на подпространствах, пересекающихся по прямой. Чтобы они были ограничениями функционала на их линейной оболочке, необходимо и достаточно, чтобы значения функционалов совпадали на прямой, по мкоторой они пересекаются. Иными словами, если наши функционалы были \eta и \theta, нам хотелось бы, чтобы имело место равенство \eta \wedge \beta = \theta \wedge \alpha. Переписывая его в виде \eta \wedge \beta + \alpha \wedge \theta = 0, имеем в точности условие касания вектора к изотропному грассманиану. Ну а с линейной оболочки до касательного вектора к пространству Тейхмюллера он уже продолжится.

Сложнее с тремя дифференциалами: образы отображений j_{\alpha}, j_{\beta}, j_{\gamma} будут тремя g-мерными подпространствами в (3g-3)-мерном, из которых каждые два пересекаются по прямой, притом эти три прямые не совпадают (кажется, это тоже очевидно). Если на каждом из них задано по функционалу, то каждый из них имеет ядро размерности g-1, и их линейной оболочкой будет, вообще говоря, всё пространство. Нас однако спасает условие согласования на пересечениях: несложная линейно-алгебраическая выкладка (которую я пока что не проделал, но которую вместе с тем все проделывают в школе) показывает, что оно гарантирует, что эти три ядра попадут в одно подпространство коразмерности хотя бы (а скорее всего в точности) один. Для g = 2 это хорошо известно: в проективизации подпространства im(j_{\alpha}), im(j_{\beta}), im(j_{\gamma} высекут три прямые, ядра функционалов, которые мы хотели реализовать, суть три точки на этих прямых, а условие согласования обращается в теорему Менелая.

В большей размерности, однако, тут ещё есть некоторое затруднение, связанное с тем, что у кривых рода три можно брать разветвлённые накрытия; обратные образы трёх голоморфных форм на ней суть те тройки, на которых теорема Хейхала-Тёрстона нарушается (по крайней мере по словам Богомолова); при строгом записывании того, как именно работает такая многомерная теорема Менелая оно несомненно вскроется. Но для двух, слава богу, всё тьфу-тьфу-тьфу.

2 comments|post comment

Ежеосеннее [30 Oct 2019|02:12pm]
[ mood | sleepy ]
[ music | бухенвальд флава -- отходосень ]

У русского поэта, затворника с Форт-Грин, есть стихи про скромных тружеников -- козлобородых лэндлордов и девочек с бумажными стаканчиками, выгуливающих больших собак нараспашку по весенним лужам. Холод -- плюс пять по стоградусной шкале! -- залезает им под куртки, но они не застёгиваются, своим несвоевременным видом как бы приближая наступление лета. Их кинологические и самокатные роты идут врассыпную к Форт-Грину, большой белой грудью на позиции матушки-зимы, и она стекает стекольными ручьями из своих окопов и оков. Наверное, эти песни надудели поэту в открытое октно местные гении с вершины -- замордованные в Форт-Грине британцами солдаты Континентальной армии, босые, в одних рваных рубашках, походящих более на флаг Эдварда Тича, чем Короля Франции, как на картине 'Янки-дудль, или Дух 1776 года', отморозившие ноги в Вэлли-Фордж, но переломившие теплотой своего дыхания и быстрым окислением пороха лёд британского скипетра.

Других новобранцев хотел воспеть бы я -- революционные бушлаты с красными кокардами Петрограда, шинели времён императора Павла Великого, гарлемские шубы и золотые цепи гомофобии, громадные кубы собольих шапок и долгополые кафтаны в последних лучах пятничного солнца на Ли-авеню. Радуйся! выжившая из ума богомолка, в жару -- плюсь шестьдесят по Фаренгейту! -- стоящая в зимнем пальто окола памятника папе Яну Павлу II. Пусть твои молитвы поскорее достигнут белёсого неба, которому, как шестнадцатилетней призёрке Всероссийской олимпиады, давно уже не терпится обвалиться белыми клоками и покрыть собою твоего святого Антония: под якутскими ватниками твоих отцов и любовников, под твоей шалью из козлиной шерсти, нащипанной около Тоцкого полигона, потух вечный огонь и остыли печи Холокоста.

Хотел бы воспеть я -- но как могу? Лучше и полезнее мне самому выйти из твоего дома, надев на себя побольше шарфов и шапок, и в поте лица своего упереться своим лишним существованием в ту же нематериальную точку, куда вознесено твоё сердце.

3 comments|post comment

У них имена, у края доски [29 Oct 2019|10:03pm]
[ mood | sleepy ]
[ music | New Model Army -- Far Better Thing ]

А недодумал я потому что опаздывал.

Завтра, как все знают, День советского политзаключённого, так что сегодня все в Москве подле Соловецкого камня читали имена по синодикам Мемориала. Я не в Москве; но в Нью-Йорке, как оказалось, тоже читают, хотя и не все. Объявлено было, что начнут читать в пять вечера на Юнион-сквер, это недалеко от университета, так что я был там уже в 5:10. Накрапывал дождичок, никого не было видно. Я обошёл сквер кругом, ища русские лица и навостряя ухо на русскую речь, но никого не обнаружил, кроме быстро прошмыгнувших каких-то гоповатых югославов. На странице на самом деле было написано как-то непонятно, то ли в 5, то ли в 7; ну ничего, подожду.

Когда я кончил круг, то обнаружил на условленном перекрёстке несколько длинноволосого молодого человека, не то что бы очень русской наружности, но зато с наколкой LOVE, написанной снизу вверх и справа налево на шее прямо под челюстью. Он явно кого-то ждал, ну я и встал в полутора метрах от него тоже ждать. Всякий раз, как он что-то писал в телефон, я обращал на него внимание, хотя и не мог видеть, на каком языке он пишет; начинать же разговор с 'Excuse me, do you speak Russian by any chance?' было как-то очень неудобно -- с другой стороны, а если он не speak, то какой смысл его начинать. В итоге то ли моё внимание ему надоело, то ли стало слишком уж немилосердно моросить, но он отошёл от меня подальше под дерево. Так мы и стояли два часа; дождь накрапывал ещё сильнее, и я, потрогав голову, обнаружил, что она вся мокрая, даже капли слетели с волос -- но идти под то же дерево я не стал. Было, конечно, очевидно, что если человек чего-то ждёт под дождём уже два часа, то скорее всего того же самого, что и я; но мало ли! А вот уже 7, должны были бы начать читать, а кроме этого молодого человека с непонятным статусом никого. Ну и я решил: пробьёт 7:10, спрошу его-таки, говорит ли он по-русски. Тем более он ушёл из-под дерева и встал подальше от дороги у фонаря, ну и я тоже встал у соседнего.

Едва стрелка переползла за десятое деление, к этому молодому человеку подошла девушка некоторой не более русской наружности, и с плохо скрываемым возмущением спросила меня: 'Do you need help?' Ну я ей что-то ответил, конечно, но они ушли.

Оглянувшись ещё немного, секунд тридцать, без какой-либо надежды всё же кого-то найти, я тоже решил было пойти восвояси; но вдруг глаз мой пал на едва из мешка выступающую табличку: RETURN OF... По обе стороны от того мешка стояли двое, он и она, по возрасту сын и мать. Ну тут сомнений не возникло, да и они, глянув на меня, поняли всё без слов. 'Так я и подумала, либо математик, либо философ', -- сказала она.

Суммарно собралось семь человек. Несмотря на нарочитую бессмысленность мероприятия, куда менее осмысленного, чем митинг в Саратове против Собянина, в нём, конечно, была определённая прелесть: в кольце чужого гранита, видавшего Ильфа и Петрова, под медною десницей Юрия Вашингтона, с того места, откуда Эмма Голдман изрекла 'если вам не дают хлеба, возьмите его сами', под мелкой моросью, оседающей на пюпитр, на листы и на голову, проговаривать в воздух, проникнутый течением рэпчика и пролетарской травы: 'Ivan Belov, 53 years old, carpenter, Russian. Executed November 21, 1937. Reinhold Grese, 45 years old, foreman at Lepse Factory, Latvian. Executed May 16, 1938. Anna Zarina, 46 years old, cook, Latvian. Executed February 3, 1938' -- и так до бесконечности. Ну, точнее, сколько организаторы фамилий распечатали.

А потом пошёл купил наконец-то мешок для белья. Надо будет, как пойду домой, не забыть хлеба взять.

8 comments|post comment

Дабы закрыть тему с теоремой Хейхала-Тёрстона для одного дифференциала [29 Oct 2019|02:02pm]
[ mood | cold ]
[ music | New Model Army -- Rivers ]

Пусть S -- сфера с ручками, и Teich(S) обозначает пространство Тейхмюллера, фактор пространства всех комплексных структур на S по действию связной компоненты группы диффеоморфизмов. Обозначим V = H^1_{dR}(S) \o \C, тогда произведение Teich(S) \x V можно рассматривать как расслоение над Teich(S), слой которого над точкой I составляет пространство H^1_{dR}(S, \C), а тривиализация даётся связностью Гаусса-Манина. В нём имеется не ковариантно постоянное подрасслоение F \subset Teich(S) \x V, называемое расслоением Ходжа, слой которого над точкой I есть подпространство H^{1,0}(S,I). Рассмотрим в его тотальном пространстве множество ненулевых векторов F \ 0_F. Оно отображается в V проекцией вдоль связности Гаусса-Манина, обозначим её за p

Теорема, которую Капович приписывает Хейхалу и Тёрстону (но известная, должно быть, ещё Торелли) и называет почему-то 'теоремой о голономии', утверждает, что отображение p открыто. Приводимое им доказательство довольно муторно, хотя и основывается на несложном комплексном анализе. На самом деле, можно доказать, что отображение p не только открыто, но, более того, имеет сюръективный дифференциал. Касательное расслоение к F \ 0_F разваливается в вертикальное и горизонтальное подрасслоения; если в ограничении на вертикальное подрасслоение сей дифференциал есть просто дифференциал тавтологического вложения H^{1,0}(S, I) \to H^1_{dR}(S) \o C, то его горизонтальная компонента более интересна: в композиции с проекцией на H^{0,1}(S, I) это отображение Кодаиры-Спенсера: T_{I}(Teich(S)) \to H^{0,1}(S, I), v \mapsto KS_{v}(\alpha), где \alpha \in F_I = H^{1,0}(S, I) -- точка в F \ 0_F, в которой мы вычисляем дифференциал. Итак, чтобы показать, что дифференциал p сюръективен, необходимо доказать следующее утверждение про класс Кодаиры-Спенсера:


Пусть \alpha \in H^{1,0}(S, I) -- ненулевой класс, и \beta \in H^{0,1}(S, I) -- любой класс. Тогда существует вектор v \in T(Teich(S)), переводящий при отображении Кодаиры-Спенсера первый класс во второй: KS_v(\alpha) = \beta.


Дифференциально-геометрическое доказательство, которое придумал и любезно мне сообщил [info]levs57@lj, такое. Представим класс \alpha голоморфной 1-формой, а класс \beta произвольной замкнутой формой. Выберем вокруг нулей формы \alpha небольшие непересекающиеся диски, и пусть функции f_i на них таковы, что \beta = df_i в ограничении на каждый диск. Продолжим эти локальные функции до гладкой функции f, и пускай \beta' = \beta - df. Она лежит в классе когомологий \beta и тождественно обнуляется в окрестностях нулей \alpha. Тогда форма \alpha_{\eps} = \alpha + \eps\beta', во-первых, в окрестностях нулей совпадает с формой \alpha, а вдали от нулей при малых значениях \eps имеет тот же ранг ядра, что и \alpha. Значит, в окрестностях нулей тензор (почти) комплексной структуры на кривой можно не трогать, а вне этих окрестностей можно изменить так, чтобы его собственные подпространства пришлись ровно в распределение ядер формы \alpha_{\eps}. На кривой всякая почти комплексная структура интегрируема, так что эта деформация определяет путь в пространстве Тейхмюллера, к которому касательный вектор -- это какой надо вектор. ■

Доказательство это очень мило и наглядно, однако для обобщения на случай двух, тем паче трёх классов хотелось бы более острого размышления, не зависящего от произвола в выборе окрестностей, интерполяции локальных потенциалов и тому подобного. Я часто мысленно в таких ситуациях возвращаюсь к Боэцию:

2. — Но сей­час вре­мя для лече­ния, а не для жалоб, — ска­за­ла она, и, устре­мив на меня вни­ма­тель­ный взор, вос­клик­ну­ла: — Неуже­ли это ты! Ты, кото­ро­го я вскор­ми­ла сво­ей гру­дью, моло­ком сво­им, чтобы ты обрел муже­ство и силу духа? Ведь я дала тебе такое ору­жие, кото­рое помог­ло бы тебе сохра­нить непо­ко­ле­би­мую стой­кость, если бы ты толь­ко сра­зу же не отбро­сил его. Не узна­ешь меня? Что мол­чишь? Без­молв­ст­ву­ешь от сты­да или от изум­ле­ния? Я бы пред­по­чла стыд, но чув­ст­вую, что ты пора­жен изум­ле­ни­ем. — Когда же она увиде­ла, что я не про­сто мол­чу, а совер­шен­но утра­тил дар речи, лег­ко кос­ну­лась рукой моей груди и ска­за­ла: Ника­кой опас­но­сти, он стра­да­ет летар­ги­ей, обыч­ной болез­нью рас­стро­ен­но­го ума. Он нена­дол­го забыл­ся, но лег­ко при­дет в себя, раз он был зна­ком со мною преж­де. Чтобы он смог [это сде­лать], мы немно­го протрем ему гла­за, зату­ма­нен­ные забота­ми о брен­ных вещах. Ска­зав так, она осу­ши­ла мои гла­за, напол­нен­ные сле­за­ми, кра­ем сво­ей одеж­ды, собран­ным в комок.

3 (v). После того, как рас­се­я­лась ночь и рас­та­я­ла в све­те,
Сно­ва вер­ну­лась ко мне моя преж­няя сила.
Так же быва­ет, когда соби­ра­ют­ся тучи неждан­но,
Севе­ро-запад их шлет, гонит вет­ром их Кав­ром.
Лив­ни хле­стать начи­на­ют, скры­ва­ет­ся солн­це со сво­да,
Звезд еще нет, хотя тьма уже все зато­пи­ла.
Если ж с фра­кий­ских про­сто­ров Борей при­не­сет­ся холод­ный,
С туч он заве­су сорвет, сно­ва день заси­я­ет,
Вый­дет свер­каю­щий све­том лучи­стым из тучи вне­зап­но
Феб, изум­лен­ных людей всех гла­за ослеп­ляя.

3. После того, как рас­се­я­лись тучи скор­би, я увидел небо и попы­тал­ся рас­по­знать цели­тель­ни­цу. И когда я устре­мил гла­за на нее и сосре­дото­чил вни­ма­ние, то узнал кор­ми­ли­цу мою — Алгебраическую Геометрию, под чьим при­смот­ром нахо­дил­ся с юно­ше­ских лет. Зачем, — спро­сил я, — о настав­ни­ца всех доб­ро­де­те­лей, при­шла ты в оди­но­кую оби­тель изгнан­ни­ка, спу­стив­шись с высо­ких сфер? Для того ли, чтобы быть обви­нен­ной вме­сте со мной и под­верг­нуть­ся лож­ным наве­там? — О мой пито­мец, — отве­ти­ла она, — раз­ве могу я поки­нуть тебя и не разде­лить вме­сте с тобой бре­мя, кото­рое на тебя обру­ши­ли те, кто нена­видит самое имя мое! Ведь не в обы­чае Алгебраическо­й Геометрии остав­лять в пути невин­но­го без сопро­вож­де­ния, мне ли опа­сать­ся обви­не­ний, и устра­шат ли меня новые наве­ты?


Итак, перепишем отображение Кодаиры-Спенсера. По теореме Дольбо, имеем H^{p,q} = H^q(\Omega^p), так что имеем право написать H^{1,0}(S, I) = H^0(K_S) и H^{0,1}(S, I) = H^1(O_S). Далее, по двойственности Серра имеем: T_I(Teich(S)) = H^1(T_{S, I}) = H^0(K_S^2)^* и H^{0,1}(S, I) = H^1(O_S) = H^0(K_S)^*. Отображение Кодаиры-Спенсера обещает быть как H^0(K_S) \x H^0(K_S^2)^* \to H^0(K_S)^*, или, что то же самое, H^0(K_S)^* \to H^0(K_S)^* \o H^0(K_S)^*. Следующую лемму я оставлю без доказательства:


При вышеописанных отождествлениях отображение Кодаиры-Спенсера KS: H^0(K_S)^* \to H^0(K_S)^* \o H^0(K_S)^* для кривой двойственно к отображению тензорного умножения сечений H^0(K_S) \o H^0(K_S) \to H^0(K_S^2).


Это утверждение в последние дни моего пребывания в Москве пытался мне втемяшить [info]tiphareth, но за слабостью своего рассудка я понял, что он тогда имел ввиду, только теперь. Я, к стыду своему, поленился проверить его, но оно должно быть очевидно из представления классов H^1(T_S) как элементов фактора пространства тензоров A : TS \to TS со свойством AI + IA = 0 по пространству тензоров вида Lie_u(I), где u пробегает всевозможные гладкие векторные поля. В новых обозначениях искомое утверждение звучит следующим образом (сохраняя первобытную нотацию):


Пусть \alpha \in H^0(K_S) -- ненулевая голоморфная 1-форма, и \beta \in H^0(К_S)^* -- любой функционал на пространстве голоморфных 1-форм. Тогда существует функционал v \in H^0(K_S^2)^* такой, что функционал \beta представляется в следующем виде: \beta(x) = v(\alpha \o x).


Нулевой бог с ним, а ненулевой функционал с точностью до пропорциональности определяется своим ядром как гиперплоскостью, так что задача имеет следующую переформулировку: доказать, что для любой голоморфной 1-формы \alpha любая гиперплоскость в H^0(K_S) высекается гиперплоскостью в H^0(K_S^2) при отображении H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), заданном как x \mapsto \alpha \o x. Но гиперплоскости, высекаемые гиперплоскостями в другом пространстве при отображении в него -- это в точности гиперплоскости, содержащие ядро этого отображения. Стало быть, наше утверждение сводится к тому, что отображение H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), x \mapsto \alpha \o x, есть инъекция для любого \alpha \in H^0(K_S). Иными словами, теорема Торелли-Суханова эквивалентна следующему утверждению: симметрическое произведение ненулевых голоморфных 1-форм ненулевое. Это очевидно в силу конечности количества нулей у такого произведения. ■

Дальнейшее должно быть нехитро: если есть два класса, то они задают два g-мерных подпространства, пересекающихся по прямой, натянутой на их симметрическое произведение, и аннулятор этой раскоряки в двойственном пространстве имеет размерность g-2 (как и должно пересечение двух циклов имени Мирзахани), а общие три класса зададут три подпространства, из которых каждые два пересекаются только по прямой, а все вместе они распирают собою всё пространство голоморфных квадратичных дифференциалов. Это должно закончить историю с теоремой Хейхала-Тёрстона для многих дифференциалов, но додумать я пока не успел. Я и не начинал: то, с какой скоростью схлопнулась в тривиальность формулировка теоремы для одного дифференциала, наводит на мысль, что в этом рассуждении не может не скрываться ошибки. С тем, чтобы обнаружить её, я и выношу его на публику.
2 comments|post comment

Снова над Новосибирском [04 Oct 2019|10:57pm]
Без разных высокоблагородий,
Простертый, словно царица клякс,
Кому стоишь лопатобородей,
Чем миллионщики или Маркс?

Зачем на храмы и катакомбы
Металлургический Маймонид
За десять лет до нейтронной бомбы
Ширшова профиль влепил в зенит?

Каким дыханьем вы нынче святы,
Покуда некому всё равно
Снимать коуровские закаты,
Глядеть в сиреневое окно?

Уснут в заре смотровые башни
Под звук промышленной литии,
И над слоями листвы опавшей
В кольце отчаявшихся НИИ

Не будут камни сырой Европы
Глотать рабочих и христиан,
Но будут белки скакать чрез тропы,
Как самолёты -- за океан.
3 comments|post comment

Октавы на возвращение обратно [26 Sep 2019|08:44am]
[ music | The Growlers -- Badlands ]

Не стану петь о всяком вздоре;
Что мол нам не познать инцеста,
Мол не гулять при свете моря
Под руку вдоль по Ядринцевской
что я вообще тебя не знаю
что я Вован из копипасты
и поплывёшь ты сиз-косастый
по Эри, а не вдоль Дуная.

То не свинец скрозь грифель тянут,
Не к горлу подступает астма:
Скрестился взором иностранец
С порядком спящего пространства.
И ты не предавайся блуду
И не планируй, как Боболя:
Нас всех учили в Высшей школе --
Как вихорь, улетать отвсюду.

Да мы уже ещё не дети,
Не страшно рожу нам изгваздать:
в засохшей сперме Ферлингетти;
в чаду котлов Кутателадзе;
которым дёгтем спутник смазан
на арбитмановских орбитах;
в застольных песнях Франсуазам;
в столетних дедах, сдувших разум;
в том, что видал Центральный Хазан; --
в слезах, в Саратове пролитых.

А постоянство неизбежно,
К нему стремиться нам кощунство:
Мы все умрём, умрём конечно,
Как будто лист жуёшь капустный.
Планета всклень бежит вдоль края,
Который ей расчистил Бессель; --
И вихорь в харю добр и весел,
Уж тем, что небо подпирает.

Венцы у старцев из бурьяна,
И не юродствуют рояли,
И дрехнет море розлиянно
Где мы не так давно стояли --
Но знает Чарльз и помнит Иня,
Что это беглое отродье
Таким же пламенем палимо,
Что нос Карно по циклу водит.

3 comments|post comment

Сентиментальное путешествие [02 Sep 2019|08:15pm]
[ mood | sick ]
[ music | Цыганята и Я с Ильича -- Папа Римский ]

== RTW --> SVO ==

Над петлями рокады,
Над фермой плексигласа
Стрекочешь как цикада, --
От праха оторвался.

Не странно ль, что ты начал
В Москву полёт с верхушек,
Откудова хреначил
По нас Пугач из пушек?

Да эта канонада
Пускай бузует эхом,
Чем нам бы было надо
В болото за физтехом!

Тебе ведь было больно
Летать бомбить агарян,
Когда ваш ветер вольный
Сослали в глушь, в Гагарин?

Ужели тебе проще
Удара лобового
Увидеть снова мощи
Распятого Тамбова?

Закрытый бьётся столик,
Как сердце самодержца;
Прошу тебя, соколик:
Ты врежься! врежься, врежься,

Не про что и не за что,
А просто так палимый --
В скелет глушилки-мачты
Напротив Серафима.

== ==

Что льёшься, нынче, Волга, меж осетров и монастырей?
Грудью слепой без толку заводишь ось у земли скорей,
Проданной своей влагой вертишь турбины, как немчура?
Мутной гнилой корягой сидят на дне твоём мусора.

В центре червя простого, сквозь ткань репейников и кустов
Я убегал к Ростову, и вот приехал ещё в Ростов.
Тех, кто увидел жизнь здесь, как спрячет медленный твой объём,
Если на волнах бизнес, и часовые на дне с ружьём?

Волга, мой сон превратный! В такие ль сумерки текти льзя?
Ты бы, как слон, обратно, всоси свой ил через Камызяк,
Вспять побеги, как время, вернув Брабандер под солнца зной,
Выбей к чертям коленом щеколды шлюзов и Каналстрой --

В створе холмов плешивых в подвалы каменные ворвись,
Вырви из их архивов умытый дельтой твоею лист;
Пусть носят волны гравий, и рушат на головы, как град:
Стерлядь уж не отравит в дыму костров телеграфный яд.

5 comments|post comment

О формуле Кошуля [13 Aug 2019|04:51pm]
[ mood | awake ]

Самый прямолинейный способ доказать существование связности Леви-Чивиты -- написать её явной формулой (впрочем, проверка того, что то, что получится, будет связностью, конечно, достаточно уныла). Но зато делается это непосредственно из определений: ортогональная связность без кручения. В самом деле, пусть связность \nabla ортогональна. Тогда имеем

<\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_x(z)> = L_x <y, z>

(уголками я обозначаю скалярное произведение при помощи метрического тензора g, чтобы не загромождать нотацию.) Если же вдобавок кручение связности \nabla обнуляется, имеем право написать \nabla_x(z) = \nabla_z(x) - [z, x], что вкупе с предыдущей формулой даёт

<\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_z(x)> = L_x <y, z> + <y, [z, x]>.

Циклическими сдвигами переменных получаются две аналогичные формулы:

<\nabla_y(z), x> + <z, \nabla_x(y)> = L_y <z, x> + <z, [x, y]>
<\nabla_z(x), y> + <x, \nabla_y(z)> = L_z <x, y> + <x, [y, z]>

Пользуясь симметричностью метрики, имеем право сложить первые две формулы, вычесть из них третью, и поделить пополам. Тогда останется

<\nabla_x(y), z> = \frac{1}{2}(L_x <y, z> + L_y <z, x> - L_z <x, y> + <y, [z, x]> + <z, [x, y]> - <x, [y, z]>)

Эта формула называется формулой Кошуля. Она, как видно, очень громоздкая, без никакого порядка в знаках, как ни переставляй буквы, пользуясь симметричностью метрики и кососимметричностью скобки Ли. Поэтому всякий раз, как хочется ей воспользоваться, это прямое вычисление мне приходилось проделывать заново.

Однако давайте рассмотрим помимо векторного поля y двойственную по метрике 1-форму \eta. Тогда формула Кошуля приобретает вид:

(\nabla_x\eta)(z) = \frac{1}{2}(L_x{\eta(z)} - L_z{\eta(x)} - \eta([x,z]) + L_y <z, x> - <z, L_y{x}> - <x, L_y{z}>)

(не напутал ли я с дуализацией левой части? вроде нет.) Я перегруппировал отдельно слагаемые, выражающиеся через \eta, и отдельно через y. В них легко видеть значения внешней 2-формы d\eta и симметричной 2-формы L_y{g} на паре полей x, z. Стало быть, формулу Кошуля можно записать гораздо короче:

\nabla^{g}(\eta) = \frac{1}{2}(d\eta + L_{\eta^\sharp}g).

Эти слагаемые суть кососимметрическая и симметрическая часть 2-формы \nabla\eta (и из такого определения, наверное, можно нехитро вывести, что эта связность ортогональна и без кручения, не прибегая к выкладкам). В частности, 1-форма параллельна относительно связности Леви-Чивиты тогда и только тогда, когда она замкнута, а двойственное ей по метрике векторное поле киллингово.

2 comments|post comment

Апофазия протеста [10 Aug 2019|10:06pm]
[ mood | sick ]
[ music | Янка Дягилева -- Стаи летят ]

Последние два раза, в прошлую и позапрошлую субботу, я не причащался протестного движения, а ходил по монастырям. Первый раз мы обошли все церкви города Романова-Борисоглебска под руководством математика Кости Ш.; в другую субботу (в день обретения мощей святой Анны Кашинской, святой покровительницы русской оппозиции, кстати) почему-то вместо этого был в Дивеевском монастыре.

Про первый из этих двух разов не могу сказать, что пожалел: Романов-Борисоглебск очень приятен хотя бы уже тем, что там изо всякого места растут и буйным цветом полыхают лопухи, космея, и прочие цветы. Кроме того, там я сфотографировал знаменитого антифашистского математика Рапопорта в местном сквере памяти жертв Второй Мировой войны, спрятавшегося от довольно сильного дождя под единственным в этом сквере деревом, которое не является берёзой. Ну и по дороге оттуда мы с одним красноярским коллегой как-то отбились; признаться, что мы доехали до Ярославля не на попутке -- это было некоторое чудо. Костя же, обнаружив потерю, всё обзвонил, оказывается, и даже достучался бы до меня, если бы я слышал звук своего телефона. Ну да всё хорошо, что хорошо кончается.

Что касается Дивеева, то что я пожалел, тоже сказать не могу, но совершенно иначе. Место сие производит, честно говоря, довольно гнетущее впечатление -- наверное, бесы из меня выходят. Оно по уму должно бы выглядеть как Ченстохова; но вместо памятника священномученику Ежи Попелушко, который стоит на главной улице этого города, на главной улице Дивеева почему-то стоит памятник Ленину. Да и улица называется как-то соответственно, типа 'Комсомольская', как и все другие. Величественность и красота самого монастыря, с которой можно ознакомиться по фотографиям православных микроинфлюэнсеров в истаграме, носит какой-то будто бы гипсокартонный характер, словно бы из-под него прорывается нечто зловеще-сектантское, которое хочет тебя сожрать. Впрочем, внутри главного собора довольно мило. Богородичная канавка тоже довольно милое место, хотя, конечно, чисто языческое. А вот могила Владимира Шикина, центрального персонажа нишевого культа, про который можно прочитать в википедии, в которую могилу суют записочки, что в Стену плача, конечно, пугает.

Ну хоть сегодня сходил на митинг! Если москвичи (из-за того, что площадь Революции им не согласовывают) собираются в загоне на проспекте Сахарова, то в Саратове в случае несогласования митинга у памятника Чернышевскому собираются у памятника академику Вавилову -- что, согласитесь, куда круче, чем Сахаров. Да и загоном это назвать язык никак не поворачивается: ни тебе рамок, ни вертухаев -- на ближних подступах стояло человек пять в форме, на дальних может ещё несколько -- суммарно ментов не больше пятнадцати. При этом точно оценить количество протестующих не представлялось возможным: между типажами 'гомосексуальный постоянный посетитель Дежурной рюмочной' и 'эшник с лицом бездомного алкоголика' в собравшейся толпе имелись все возможные полутона, в том числе и непричастные регулярного употребления алкоголей. Некоторые из этих трезвенников, в каких-то папахах цвета хаки и по экстерьеру неотличимые от баснословных казаков, оказывались на деле активистами штаба Навального. Суммарно с журналистами и эшниками собралось, наверное, человек двести или триста; из них кричали лозунги и аплодировали примерно две трети. А я стоял и размахивал флагом любимого города. Когда я нёс флаг на душеспасительном мероприятии в предыдущий раз, это был Русский марш, а год был пожалуй что 2012-й. И шли мы вдоль по Якиманской набережной, которая теперь со своими порослями злаков, плитками и водомётами так похорошела, что с флагом там и не пройдёшь. Флаг был, между прочим, Беларуси (в смысле БЧБ конечно).

А после митинга познакомился с великим саратовским писателем Арбитманом. В полном соответстве со своим образом он, как фокусник, извлёк из своей наплечной сумки свою предпоследнюю по времени издания книжицу, и радостно подписал её мне. Таким образом, за последнюю неделю я получил в подарок от Арбитмана две его книги: перед этим я на днях зашёл в ФСБук, и обнаружил в непрочитанных сообщениях поздравление с днём рождения примерно месячной давности, в котором Роман Эмильевич предлагал мне в подарок электронную версию его последней книги. Прочитал её в один присест -- смешная, добрая, и наивная, как я и люблю. Это конечно очень скрасило моё существование -- потому что зашёл в ФСБук-то я только из-за того, что русский геометр Бондал затегал меня в каком-то своём очередном посте, в котором он непонятно чего хочет, и зачем-то поучаствовал в дискуссии, которая под этим постом развернулась. Из-за этой дискуссии не имею желания заходить в ФСБук ещё полгода, хотя Роман Эмильевич и предложил мне заходить к нему на страничку почаще.

1 comment|post comment

Кажется, я это уже постил, но пусть будет ещё раз [02 Aug 2019|02:17pm]
[ mood | tired ]
[ music | Казаки-некрасовцы -- По синёй-то море плывёт корабель ]

Вещественное грассманово многообразие Gr(2,7) можно реализовать стандартно как SO(p+q)/SO(p) x SO(q), а можно более экзотически -- как фактор группы G_2. В самом деле, все 2-плоскости сопряжены её действием. Каков стабилизатор? Он сохраняет векторное произведение любых двух ортонормированных векторов из этой плоскости -- то есть положительно ориентированный единичный вектор к этой плоскости, лежащий в порождённом ей ассоциативном подпространстве. На перпендикулярном к нему коассоциативном подпространстве стабилизатор действует унитарными эрмитовыми матрицами (сохраняя комплексную структуру, дающуюся векторным умножением на инвариантный вектор). Из исчисления размерности видно, что стабилизатор и есть вся группа U(2). При этом на оригинальной инвариантной плоскости он действует, выворачивая её на угол, равный аргументу определителя матрицы, которой он действует на коассоциативном подпространстве (или вдвое больший/меньший -- если так, то я обсчитался, и всё дальнейшее неверно).

Стало быть, имеем Gr(2,7) = G_2 / U(2). Значит, над грассмановым многообразием Gr(2,7) имеется главное U(2)-расслоение. Метрика Картана-Киллинга даёт связность в этом главном расслоении. Итак, над грассманианом (2,7) имеется исключительное эрмитово расслоение ранга два с унитарной связностью.

Если есть поверхность в семимерном евклидовом пространстве, то это расслоение можно оттянуть вдоль её гауссова отображения. Интересно, а если например это голоморфная кривая в S^6, будет ли оно голоморфным? а его определитель? Про это должен был бы Брайант писать, но я что-то не нашёл.

2 comments|post comment

Открытость и суб-открытость одного отображения Богомолова [28 Jul 2019|11:14am]
[ mood | hungry ]
[ music | Гр. Полухутенко -- Италия ]

Пусть S = S(g) -- сфера с g ручками, и Teich(S) -- пространство Тейхмюллера комплексных структур на ней. Расслоение первых когомологий E \to Teich тривиализуется связностью Гаусса-Манина. В нём имеется подрасслоение Ходжа F \subset E, F_I = H^{1,0}(X,I), не параллельное относительно связности. Выберем дополнительное подрасслоение \bar{F}, \bar{F}_I = H^{0,1}(X,I), тогда вторая фундаментальная форма T(Teich) \x F \to \bar{F} подрасслоения F относительно связности Гаусса-Манина есть тензор Кодаиры-Спенсера. Иными словами, тензор Кодаиры-Спенсера есть приливная сила, которую испытывает комплексное многообразие при движении по пространству модулей.

Имеем право рассмотреть проекцию F \to H^1(S, \C) из тотального пространства расслоения Ходжа. Его образ описан Каповичем (и за 80 лет до Каповича каким-то Отто Гауптом): это SL(2g, Z)-орбита сколь угодно малой окрестности классов когомологий с ровно двумя линейно независимыми периодами, которые можно оттянуть с эллиптической кривой (ну плюс нуль, конечно). Его рассуждение опирается на следующее

Утверждение ('теорема о голономии' Хейхала-Тёрстона). Отображение F \ 0_F \to H^1(S, C) открыто.

Поскольку действие группы Sp(2g, Z) на проективизации положительного конуса в пространстве H^1(S, C) эргодично, это означает, что этот образ -- открытое плотное множество. Общая орбита эргодического действия плотна, а необщие классифицируются теоремой Ратнер, из которой Капович и выводит своё утверждение.

Образ гауссова отображения Teich \to Gr(g, H^1), называемый локусом Шоттки, устроен куда сложнее. Но можно рассмотреть промежуточную задачу.

Задача (Богомолов). Описать образ грассманова расслоения Gr(m, F) \to Gr(m, H^1), где 1 < m < g.

Конечно, об открытости говорить не приходится: образ всегда будет содержаться в изотропном грассмановом многообразии Gris(m, H^1) в силу того, что голоморфные формы на кривой умножаются нулём. Более того, по исчислению размерности ясно, что при m > 3 отображение Богомолова не может быть открыто даже как отображение в изотропный грассманиан. Меж тем, при m = 2 размерность Gr(2, F) равняется 3g - 3 + 2(g-2) = 5g - 7, в то время как размерность изотропного грассманиана равняется 4g - 5, а при m = 3 случается странное: dim Gris(3, H^1) = 6g - 12, а dim Gr(3, F) = 3g-3 + 3(g-3) = 6g - 12. Иными словами, если отображение Богомолова открыто при m = 3, то общая тройка (1,0)-классов локально однозначно определяет комплексную структуру (общность здесь важна -- накрыть кривую рода три никто не запретит). Это позволило бы попробовать определить замкнутое условие на образ отображения Богомолова при m > 3 -- именно, всякая 3-плоскость должна давать одну и ту же комплексную структуру. Получиться из этого ничего не может, поскольку локус Шоттки имеет, если не ошибаюсь, фрактальную натуру.

Как можно было бы доказывать аналог теоремы об открытости для случаев m = 2, 3? Для этого попробуем передоказать её для случая m = 1 не элементарно-геометрически, как Тёрстон и Капович, а алгебраико-геометрически. В самом деле, пусть мы реализовали класс \alpha комплексной структурой I. Тогда мы можем реализовать ею же все классы, лежащие от него в направлениях, заданных касательными векторами из H^{1,0}(S, I). Стало быть, чтобы реализовать шарик, нужно научиться смещаться на вектора из H^{0,1}(S, I). Но для этого-то класс Кодаиры-Спенсера и придумали! Стало быть, чтобы сместиться на вектор \beta \in H^{0,1}, достаточно подобрать такой вектор v \in T_I(Teich), чтобы было выполнено равенство KS_v(\alpha) = \beta. Иными словами, теорема Хейхала-Тёрстона о голономии есть всего лишь утверждение о невырожденности класса Кодаиры-Спенсера универсального семейства кривых. Аналогичные утверждения о высших невырожденностях, в принципе, легко себе представить.

Кажется, в случае m < 3 можно доказать более сильное утверждение, о некоторой 'суб-невырожденности'. Напомню, что на проективизации симплектического векторного пространства имеется контактное распределение -- Hom(l, l^\perp/l) = H \subset T_l(V) = Hom(l, V/l). Если W \subset V -- лагранжево подпространство, то P(W) \subset P(V) -- лежандрово подмногообразие. Ткань этих лежандровых проективных подпространств служит дискретным аналогом контактного распределения: доказать, что оно интегрируемо, в ту же цену, что связать любые две точки ломаной, идущей вдоль лежандровых проективных подпространств. Аналогично для изотропного грассманиана любой размерности: можно определить точно такое же распределение, хотя и большего коранга, и лагранжевы подпространства будут задавать в нём ткань лежандровых грассманианов (последние три слова -- это такая строчка из певицы Хелависы, да). Неинтегрируемость этого распределения означает, что любые две точки могут быть соединены ломаной, идущей вдоль этой ткани, и может быть доказана нехитрым вычислением нильрадикала в понятно устроенной параболической подалгебре. Соответственно, можно задаться вопросом: связно ли будет множество реализуемых классов, если разрешить ходить только по лежандровым проективным подпространствам (соотв. грассманианам 2-плоскостей), которые получаются как P(H^{1,0}(S, I)) (соотв. Gr(2, H^{1,0}(S, I))) для всевозможных комплексных структур I \in Teich? Для m = 3 ответ будет уже другим, поскольку, как предсказывает Богомолов, общая 3-плоскость в когомологиях реализуема локально только одной комплексной структурой.

3 comments|post comment

OTP --> SVO [22 Jun 2019|09:19pm]
не торжествуй, опять весь мир поправ,
рассвета протокольный объектив!
позволь вернуться мне под своды ив,
ведь всем неважно, прав или неправ
был я тогда, за хвост его схватив
в тот год, когда вернулся китоглав,
когда закольцевался нарратив.
как знать? теперь нам, может, срок скосят,
и может быть ещё освободят
каких-то там Калви или Кавли,
и, может быть, измерят скорость от-
носительно неведомой земли,
что просто так болтается вдали,
как кошка просто так родит котят.
2 comments|post comment

Однородные пространства и орисферическая деформация [19 Jun 2019|02:49pm]
[ music | Соломенные Еноты -- Блюз простого человека ]

Пусть \g -- полупростая алгебра Ли. Подалгебра \p \subset \g называется параболической, если она коизотропна относительно формы Картана-Киллинга. Например, в алгебрах so(n,1) и su(n,1) параболическими являются подалгебры, стабилизирующие фиксированную изотропную прямую в пространстве, на котором они действуют векторными полями. По определению, естественное отображение из нильрадикала \p_+ \to (g/p)^* исчерпывает это пространство, тем самым кокасательное расслоение однородного пространства G/P изоморфно расслоению нильрадикалов.

Теорема (Лобачевский). Нильрадикал параболической подалгебры в so(n,1) есть абелева алгебра.

Соответствующая подгруппа P, конечно, действует на пространстве G/K, где G = SO(n,1), а K -- максимальная компактная подгруппа. Орбита этого действия называется орисферой. Несложно видеть, что элементы нильрадикала определяют полные киллинговы векторные поля на этой орбите. Поскольку они коммутируют, а число их таково же, какова размерность орбиты, из теоремы Лобачевского следует, что орисфера в (вещественном) пространстве Лобачевского имеет евклидову геометрию -- в каковом открытии одна из главных заслуг Лобачевского и состоит.

Что до G = SU(n,1), то безымянный комплексный аналог теоремы Лобачевского гласит, что нильрадикал этой параболической подалгебры изоморфен алгебре Гейзенберга. Соответственно, орисфера в комплексном пространстве Лобачевского имеет гейзенбергову геометрию. Контактное распределение на ней -- это, разумеется, КР-распределение на орисфере как на вещественном подмногообразии в комплексной области коразмерности один.

В случае пространства периодов SO(3,n)/SO(2) x SO(1,n) или верхнего полупространства Зигеля SO(2,g)/SO(2) x SO(g) всё уже не так просто. Стабилизатор предельного положения положительной плоскости -- то есть плоскости с неотрицательно полуопределённой метрикой -- довольно понятная группа, но фактор по ней не является компактным многообразием. Оно и понятно: такие плоскости имеют также предельные положения, соответствующие плоскостям, на которые метрика ограничивается тождественным нулём. Тем не менее, в маломерном случае SO(3,1)/SO(2) x SO(1,1) такой проблемы не возникает, а сама она допускает красивое геометрическое описание.

Именно, в проективизации нули квадратичной формы сигнатуры (3,1) образуют двумерную сферу. Точки пространства периодов, то есть положительно определённые плоскости, соответствуют ориентированным прямым, которые не пересекают этой сферы, а предельные положения, то есть полуопределённые плоскости -- касательные к сфере. Соответственно, подгруппа, сохраняющая одну точку на таком 'абсолюте' (скажем, прямую l, касающуюся сферы в точке s) -- это группа матриц, верхне-треугольных в понятно каком базисе. Геометрически это группа проективных преобразований, сохраняющих флаг s \subset l \subset T_s{S}, где S -- сфера изотропных направлений. Поскольку параболической она не является, назовём её орисферической. Положительно определённые прямые (не пересекающие сферы) распадаются под действием орисферической подгруппы на четыре типа.

Первый составляют прямые, не пересекающие ни l, ни перпендикулярной прямой l^\perp (единственных двух прямых, сохраняемых действием орисферической подгруппы). На них группа действует, кажется, свободно. Второй А (соответственно, второй Б) классы составляют прямые, пересекающие l, но не l^\perp (соответственно, наоборот). Их орбиты неизбежно состоят из прямых, пересекающих эти прямые, тем не менее, действие орисферической подгруппы на них всё же свободно. Последний класс составляют прямые, пересекающие и l, и l^\perp, то есть попросту лежащие в T_s{S}. Трёхмерное подпространство, проективизацией которого является T_s{S}, это пространство с двумя плюсами и одним изотропным направлением. Грассманиан положительных плоскостей в нём -- это вырожденная твисторная кривая. Твисторным кривым соответствуют в такой картинке множества прямых, содержащихся в фиксированной плоскости, не пересекающей сферы S.

Таким образом, вырожденная твисторная кривая в такой ситуации является предельным положением орисфер первых двух типов, и наиболее маломерной орбитой орисферической группы. В большей размерности квадрика изотропных направлений устроена гораздо сложнее, чем сфера; вместе с тем линейная оболочка положительно определённой плоскости и полуопределённой плоскости не может иметь размерность больше четырёх, так что описанная ситуация возникает как сечение в любой размерности. Соответственно, имеет смысл говорить об орисферических деформациях гиперкэлеровых многообразий над некой трёхмерной базой. Интересно, какой? группой Гейзенберга?

4 comments|post comment

SVO --> OTP [16 Jun 2019|01:14pm]
не приедут из европы
митрий коршунов и мазур
липоване и морузов
и святой зертис-каменский

надвигаются европой
быстротечные синьоры
мыльнопильные заводы
алабама и перерва

эй вы русские придурки
гебнюки едросы урки
помнят прежние хирурги

как при стенах измаила
ошибается могила:
солнце в западе всходило

так черкни одною строчкой
в синем небе коломазью
бычьей костью под землёю
соловей в саду не дохнет
post comment

Свободу политзаключённым [12 Jun 2019|10:27pm]
[ mood | sick ]
[ music | Егор и опизденевшие -- Свобода ]

'Тут только двое, я и Лев Рубинштейн', -- сообщил мне И. Д., т. н. арнольдовский стипендиат и постоянный персонаж моих виршей. А я в этот момент шёл какими-то переулками от Красных ворот к памятнику Грибоедову (где ж ещё стартовать с требованиями отменить 228), и за мной почему-то теми же переулками шла колонна анархо-капиталистов, с полсотни человек. Ну и теперь мой государственнический профиль болтается в твиттере у Светова. И поделом ему. Там же прямо передо мной на расстоянии вытянутой руки стоял какой-то Иван Колпаков и что-то произносил в зомбоящик. Очень хотелось вытянуть эту самую руку и полапать его, сказав, что мне ничего за это не будет. Но как-то неприятно было об этом думать.

В связи с тем, что организаторы самоустранились, и организаторская роль перешла к народным массам как единому целому, марш вышел совершенно народным, и, как всё народное, крайне слабоумным. На единственном митинге, когда меня винтили, году в 2013, была нажористая бабка-демократка, которая на каждый вопль в матюгальник 'уважаемые граждане, просьба разойтись, вы мешаете проходу граждан' отвечала 'уважаемые милиционеры, просьба разойтись, вы мешаете народу'. В этот раз с точно таким же заявлением выступил Рома Кр., завтрашний докладчик на четверговом семинаре, после чего немедля был принят под белы рученьки. А мы все пошли каким-то неперекрытым маршрутом -- по бульварам до переулка между Рождественкой и Сретенкой (в который Баларам Усов свернул со словами 'какой переулок клёвый', и нечаянно повёл за собой всю толпу), оттуда вбок к Неглинной, на Петровку, а оттуда наверх к Петровским воротам. Петровка тоже была перекрыта, и часть толпы (изрядно рассечённой при пересечении светофоров) пошла к Петровке-38 мимо Эрмитажа. Там стояли какие-то архаровцы в военной форме, а я прямо грудь к груди с ними. Было очень стрёмно, переодически выскакивала опричная гусеница и сжирала кого-то по непонятному своему усмотрению. Например, дед вида 'весёлый бомж' с надписью 'я иван голунов' зелёнкой во всю лысину отплясывал перед зелёными человечками со словами типа 'путин-вор', а когда я ему заметил, что он не вор, а военный преступник, тот меня похвалил, но сказал, что мне надо бы поставить голос -- после чего был немедленно свинчен.

Узнав, что на Петровских воротах якобы 'мясо', мы развернулись и двинулись туда, но возвращавшиеся оттуда люди говорили, что всё уже рассеялось, и мы стали ждать какой-то мифической колонны во главе с господами из moloko+, которая шла из области почему-то по Тверской (как она туда попала?). Колонна оказалась не мифической, в неё мы и влились, и пошли до Генпрокуратуры, а потом-таки на Лубянку, а оттуда изрядно истончившаяся колонна пошла зачем-то на Никольскую, где стала неотличима от прошлогодних футбольных фанатов -- бессмысленный клоунский город со своими гирляндами всех переварил. По старой памяти мы пошли обратно к Петровским воротам, где, говорят, ещё теплилось какое-то противостояние, но там было очень расслабленно, как будто на каком-то хиппятнике, и не очень было понятно, где кончаются реконструкторы-викинги, топчущиеся на бульварах, а где начинаются люди с хорошими лицами, реконструирующие 2012 год. Столкнулся лицом к лицу с Екатериной Шульман, например. Было настолько ни о чём, что мы поехали в веганский подвал за Институтом государства и права жрать гречневую лапшу с тофу.

Поошивавшись ещё немного с новосибирскими друзьями, пошёл к V и [info]i_anatta, но не задержался у них, а вместе с ними поехал в ОВД Бутырское на улицу Руставели относить передачку сидевшему там Роме Кр. Его должны были отпустить около 5:30, и затянули всего чуть меньше, чем на пять часов. Мы впрочем приехали уже поздно, часов в 9, так что ждать нам почти не пришлось. Зато получил от V кепочку, принадлежащую очень милому молодому человеку, с которым за неделю до того обильно целовался (в промежутках между его пьяными выяснениями того вопроса, есть у меня СПИД или всё-таки нет). Кепку придётся, увы, вернуть, но для начала съезжу в ней в Бухарест (попробуя не снимать, чтобы легче походить на жидорептилоида). С воткнутым в неё цветком липы и в сочетании с синим пледом обнаруживал в своём отражении в двери метро нечто ирландское. Знамёна их не пройдут, чего. Свободу Азату Мифтахову.

12 comments|post comment

Об одном открытии проф. Лодея [03 Jun 2019|02:54pm]
[ mood | happy ]

Вчера ходил весь день кругами по Москве и даже устал, в том числе от меланхолических мыслей, зато вечером имел счастье чрезвычайно плодотворно провести время с одним представленцем. А от усталости до сих пор приятно болит спина, как после плавания в море с проф. Буфетовым. Завидую самому себе. Всем бы так!

А уже сегодня видел в Независимом университете М. Я. П., и сперва не узнал. Когда-то у него были усы, от которых он выглядел как простой советский инженер типа сочинителя Быкова, а теперь он их сбрил, и оделся в пиджак с галстухом, и нацепил на лацкан какой-то значок, содержащий в себе российский триколор. Не иначе, как сделался на своих северах чем-то вроде министра. Я к нему было подошёл, сказав 'Ба, М. Я., это вы, а я вас и не узнал'. Он меня тоже не узнал -- но напомнить о себе я ему не успел, потому что его отвлёк известный в Москве деятель весомости тоже в общем-то министерской, и повёл за удалённый столик есть простую советскую еду и обсуждать свои министерские материи. Говорили что-то про 2020-й год, и может быть про 2022-й. Не завидую совершенно.

Зато придумал вот что. Пусть имеется многообразие X и на нём форма объёма \nu. Тогда по форме предпоследней степени можно соорудить векторное поле, назовём эту операцию ^\sharp. Тогда скобка [\alpha, \beta] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\beta, определённая на формах костепени два, удовлетворяет тождеству Лейбница (слева). Это открыл Лодей. Например, если X -- поверхность, то форма \nu есть симплектическая форма, и эта скобка есть её скобка Пуассона, определённая на функциях. В большей размерности эта скобка не является кососимметричной, стало быть, задаёт на формах структуру только лишь лейбницевой алгебры.

Диффеоморфизмы многообразия, сохраняющие форму объёма, действуют на формах, сохраняя эту скобку. Стало быть, несжимающие векторные поля действуют деривациями этой скобки. Но на лейбницевых алгебрах помимо дериваций имеется также понятие антидеривации. Именно, отображение D из левой лейбницевой алгебры в себя называется антидеривацией, если D[a,b] = [a,Db] - [b,Da]. Например, если L -- левая лейбницева алгебра, и x \in L -- какой-то элемент, то отображение ad_x : a \mapsto [x,a] есть деривация (по определению), а отображение Ad_x : a \mapsto -[a,x] является антидеривацией (также по определению).

Деривации и антидеривации обыкновенно ходят парами. Именно, пара (d, D) называется бидеривацией, если выполнено странное тождество [da,b] = [Da,b]. Например, (ad_x, Ad_x) -- бидеривация (как ни странно, по определению). Логичный вопрос: продолжаются ли деривации, получающиеся из несжимающих векторных полей, каким-нибудь естественным способом до бидериваций? Казалось бы, для поля, получающегося из формы, ответ очень прост: если v = (d\eta)^\sharp, то Lie_v \alpha = [\eta, \alpha], и стало быть соответствующая антидеривация должна задаваться как -[\alpha, \eta] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\eta. Однако поле v зависит только от дифференциала d\eta! Стало быть, для разных выборов потенциала антидеривации будут различны -- хотя и отличаться на точную форму.

Ну давайте поделимся по точным формам, от определения не убудет. Заметим, однако, что [\alpha,\alpha] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\alpha = d\iota_{(d\alpha)^\sharp}\alpha + \iota_{(d\alpha)^\sharp}d\alpha = d\iota_{(d\alpha)^\sharp}\alpha + \iota_{(d\alpha)^\sharp}\iota_{(d\alpha)^\sharp}\nu = d\iota_{(d\alpha)^\sharp}\alpha. Значит, если мы поделимся по точным формам, то квадраты заведомо уйдут, а значит получится честная алгебра Ли. Более того, формулу для скобки тогда можно будет переписать как [\alpha, \beta] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\beta = \iota_{(d\alpha)^\sharp}\iota_{(d\beta)^\sharp}\nu + d(...). Стирая это d, получаем знакомую формулу для скобки Пуассона. Действительно, форма объёма определяет на пространстве, параметризующем подмногообразия коразмерности два, симплектическую структуру, а формы костепени два определяют функции на таком пространстве (притом функция, строящаяся по форме, тождественно нулевая тогда и только тогда, когда форма точна). Итак, получившаяся алгебра Ли будет просто подалгеброй в пуассоновой алгебре функций на бесконечномерном симплектическом многообразии. Задаваться вопросом о геометрическом смысле алгебры Лейбница, которая имелась до факторизации, видимо, не вполне осмысленно: стандартные геометрические операции, как мы видели, совершенно не уважают алгебраические структуры, свойственные именно лейбницевой скобке.

2 comments|post comment

[25 May 2019|06:17pm]
[ mood | hungry ]

Или вот пришёл вчера в яму -- а там пьют. Пришёл к Василью Рогову -- а там пьют. Сегодня пришёл в ИППИ -- и там пьют, какой-то подмадерный херес непосредственно от христианнейших поставщиков проф. Белошапки. Оле, Москво, мати клятвопреступления, сущии ли в тебе места, где ныне не пьют? В Стекловке не пьют: Стекловка нынче заперта на велосипедный замок. По домам пьют, наверное.

А в Стелковку я ехал на доклад самого проф. Белошапки, прочитав в анонсе, что на объекте пропускной режим, и надо написать организатору, чтобы меня внесли в списочек. Увидев это, решил, что должно быть непременно в Стекловке. Оказалось в ИППИ! Так я и пропустил доклад проф. Белошапки. А прошлый день конференции я пропустил, потому что только вчера прилетел, и всё проспал. Ну пил, конечно.

Конференция же была про комплексную динамику в КР-геометрии. Думал я вот о чём. Пусть X \to B -- коассоциативное расслоение, и v \in T_b(B) -- касательный вектор. Тогда векторное поле \widetilde{v}, перпендикулярное к слою X_b и определяющее его деформацию, имеет в G_2-метрике на X вообще говоря переменную длину. Соответственно, оператор векторного умножения на v, действующий на TX_b, будет иметь квадратом скалярный оператор, но не -Id, а -e^{2f}Id, где f -- некая вещественная функция. Если же его отнормировать, чтобы он везде имел длину 1, то соотвествующая 2-форма будет незамкнутой: невозможно умножить симплектическую форму на непостоянную функцию, чтобы произведение осталось замкнутым.

Вместе с тем, на поверхностях уровня функции f векторное умножение будет действовать как оператор честной КР-структуры. Возникают интересные вопросы: например, может ли она быть Леви-плоской? Кажется нет: возьмём максимум функции f, тогда поверхности близкого к нему уровня будут сферами, и не смогут иметь нулевую форму Леви. С другой стороны, если максимум достигается вдоль ажно подмногообразия, например двумерного тора, то соседние поверхности будут трёхмерными торами, которые спокойно могут быть Леви-плоскими. Более того, такое семейство Леви-плоских трёхмерных торов на K3-поверхностях известно, его построили два пузатые японца. Надеяться однако на такое нет возможности: замена вектора v \in T_b(B) на другой вектор действует на K3-поверхности твисторной заменой комплексной структуры, которая разрушает расслоение на Леви-плоские торы (хотя бы потому что в нашей ситуации у него будут слои, схлопывающиеся в эллиптические кривые, которые точно разрушаются при переходе к другой комплексной структуре).

12 comments|post comment

Октавы на возвращение на север [20 May 2019|07:50am]
[ mood | sleepy ]
[ music | Цыганята и Я с Ильича -- Быстротечные синьоры ]

не на перетын и перерез
к хохлам в весёлые слободки
бездонную пучину через
перемахну и выжру водки --
що мова рідная маєтно
одно лишь слово для сечений
необычайно когерентна
она для сих обозначений

градирни
градирни
градирни
гамма-матрицы
газета 'Завтра'
голая женщина
гвозди, гвозди какието здоровые кривые отвсюду торчат из бетонных плит
грозовые тучи

не грецкая икота
на Яна с Панайота
не шип котов евреев
на трубы под столом --
сей грубый дятел Вуди
сей звук глушит и греет
и крошит лёд как скрюдель --
углом углом углом.

казаки евреев переразали
 -- глори! глори! аллилуйя!
переткнули дрекольём в грудину,
 -- купил доху я на меху я!
а Москва в бреду в крови рожала Цезаря
 -- гори, гори ясно! гори, гори ясно!
хоть и Главного но всё-таки кретина
 -- лишь бы знать бы что не напрасно!

стонет девка: постой!
не забудь! не забудь!
я могу кочергой
по башке пиздануть!
а когда надоест
лизать слёзы с лица --
гамматический крест
или виселица!!

То не пара голубых прошла сквозь сердце
Как грабители не спя глубокой нощию --
Приходила в школу мамка с малой дочерью,
Отдавала то ли в секту, то ли в секцию.
Не спасут её ни Геббелюс, ни Паулюс:
Ходит дочь с гербом, трианглем розовым.
Зато Цезарю Москва недаром кланялась:
Всё велел глобально высечь розгами.

Неважно, сколько их, гондонов,
Грассируют сей звук южнее:
На свете много разных звонов,
Но взрыв и взор всего важнее.
Услышать голос ясной дамы
И увидать в открытой шторе --
Леса, согбенные годами,
Гранит, горение, и горе.

Моя родина там где начинается на букву Г

10 comments|post comment

navigation
[ viewing | most recent entries ]
[ go | earlier ]