крест и радуга [entries|friends|calendar]
rodion n. déev

[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ calendar | livejournal calendar ]

[16 Feb 2021|09:03pm]
трубит над глиняным обрывом
слонёнок, загнанный в рефугий,
и тонут доггерландски нивы,
прогнувшись как матрас упругий,

гора упала с жутким треском,
раскрывши толщу минералов —
но так же спит в Хибинах Ферсман,
а в небе бродит Фейерабенд.

и будет время бечь по кругу,
и Квиннипиак будет тёкти,
и не возложишь ты мне руку
на ткань штанин в колёсном дёгте,

и под футболкой будет скрыта
с плезиозаврами пещера,
пока не вскроет динамитом
придурок типа Вегенера.

а я? а я поеду в Делфт
глядеть в оптический прицел
на интегральный препарат
из миллиона мёртвых тел

и в ядрах капелек дождя
такую пыль искать начну
по стуку сердца находя
и буду примечать, что ты

от года к году всё резвей,
как Бог в своей громаде льдов,
Живый под стёклами церквей
и ботанических садов,

и буду я как Дюшатле,
когда воспряну ото сна,
чертить твой длинный образ на
геологической шкале.
post comment

[14 Feb 2021|02:10pm]
[ music | Промышленная архитектура -- Дети госпиталей ]

Французский революционный проект распался, как ему предписано своим слоганом 'свобода, равенство, братство', на либерализм, коммунизм и фашизм. В плане человеческого знания ему гомологична, хотя и с циклическим сдвигом, другая французская триада, вынесенная их просветителями в заголовок суммы пресловутого знания: науки, искусства и ремёсла.

Это конечно имеет смысл только по модулю существенных оговорок. Либеральный проект -- это, по большому счёту, попытка рационализации того, что и так работает, и понять, почему оно работает. В этом он очень похож на абсолютизм, разница между ними происходит из разницы в производительных формах: в условиях, когда сын краснодеревщика всегда краснодеревщик, а всё богатство обусловлено возделыванием земли и более ничем, сыну государя тоже логично быть государем. Когда арифметическая прогрессия земельной ренты забивается геометрической прогрессией сложных процентов, а средоточием производства становится индустрия, на смену абсолютизму приходит либерализм. Поэтому правильнее было бы говорить 'промышленность, науки и искусства' -- но из песни слова не выкинешь, будем говорить 'ремесло'.

Ремёсла, науки и искусства все что-то производят. Однако созидательная сила имеется только у ремесла; в обмен на неё оно получает принципиальную возможность производить одно и то же произведение сколько угодно раз. В науке и искусстве несколько раз доказать одну и ту же теорему или написать одного и того же Дон Кихота невозможно, а от однократного их произведения мир никак не меняется. Меняется наш взгляд на него: наука снимает с глаз катаракту, скрывая погрешности несущественных различий, за которыми разворачиваются подлинные единства мира; искусство позволяет ввинтиться в пучину своеобразия каждой конкретной вещи, карикатурно выпячивая даже самые малейшие её шероховатости. Если подлинные единства держать перед глазами всё время, быстро ослепнешь; поэтому приходится просто помнить о них, хотя из-за загаженности канала самая мысль об их существовании может временами казаться дикой. Поэтому в науке неизбежен догматизм и слепое следование авторитетам. В искусстве же, напротив, всякая аксиома может восприниматься только как вызов, как то, что следует преодолеть.

Из этого описания следует, что продуктивный синтез этих трёх областей человеческой деятельности -- а значит, и трёх политических идеологий -- невозможен. Однако возможен непродуктивный! он называется троллингом.

Мемы в интернете конечно анонимны; но по большому счёту анонимно и всё современное искусство: фигура художника замещена фигурой куратора, который волен подбирать выставку как ему заблагорассудится. Захочется куратору исперчить выставку объектами, вовсе не являющимися произведением искусства -- он волен это сделать. То, что у Дюшана было актом художественного творения, сопоставимого с Благовещением, для любого завалящего куратора -- рутина его существования (подобно тому, как в глухой сельской церкви полуграмотный поп каждодневно претворяет просвирки в Тело Господне). Если мы смотрим на мемы как на произведения искусства, то аналогом выставки будет паблик с мемами (в добротном паблике типа мемы про котов (по ржать) авторский почерк чувствуется очень хорошо). Однако никто, кроме совсем тонких ценителей типа [info]grigori, не заходит прямо в паблик -- обычно юзер получает мемы в виде алгоритмически сгенерированной ленты. Автор умер, а куратора выгнал взашей генератор случайных чисел. Осталось чистое искусство -- и, честно говоря, жалкое это зрелище.

Впрочем, как я уже заметил, это не есть чистое искусство (подозреваю, чистого искусства мы из-за конфайнмента пронаблюдать не можем). Мемы являются также предельной формой наукообразного догматизма: они предоставляют собой скелет, на который можно натянуть любой набор предрассудков и детских травм, после чего он становится не менее убедителен, чем основательная научная парадигма. Наконец, элемент индустрии здесь тоже присутствует -- и дело даже не в механическом воспроизводстве, а в медиуме. По большому счёту, всякий раз, когда мы открываем джипег-файл, мы получаем всё новые и новые копии одного и того же (невидимого) оригинала. Когда этот джипег-файл существует в миллионе едва отличающихся копий, лежащих во глубине серверов твиттера, то и об оригинале говорить уже невозможно. Кнопка репоста довершает дело. И из-за отсутствия оригинала иконоборчество в таких условиях становится невозможно. Весь модерн это вообще про то, чтобы придать художественный статус иконоклазму как таковому, без наличия иконы; и мемы стоят ближе всего к воплощению модернистского идеала (если тут уместно говорить о плоти): всякий мем приходит вместе со всеми мыслимыми своими madskillz-редакциями в MS Paint, со всеми возможными надругательствами и дисторциями. Пытаясь порубить мем в щепки, мы получаем лишь новый мем, на котором нету никакой печати наших рук (потому что у мема по дизайну нету автора), зато беременный своим порубленным родителем.

В плане идеологии троллингу соответствует путинизм. Он конечно может быть и без Путина -- какой-нибудь трампизм или либертарианство, танкизм или в меньшей степени теория пересечений тоже относятся к этому 'путинизму'. Из этого описания становится, например, понятно, что высмеять путинизм невозможно: всякая пародия на путинскую пропаганду сама является путинской пропагандой. Это, к слову, переформулировка закона По. Вообще из этой модели, пожалуй, вряд ли можно вывести что-то новое. Но оно наверное и не нужно: всякая новизна чревата прогрессом, а прогресс это то, что нужно остановить, пока он нас всех не пожрёт.

post comment

О гении Богомолова [09 Feb 2021|03:50pm]
[ mood | full ]
[ music | jan misali -- ]

Пусть есть X \to B, лагранжево расслоение на голоморфно симплектическом многообразии, и у него голоморфное сечение s : B \to X. Обозначим его образ за S. Мы знаем, что всякое топологическое сечение делается голоморфным в некоторой деформации; ну так давайте начнём деформировать голоморфное сечение как топологическое, и смотреть, что будет происходить с деформацией всего многообразия. Подмногообразие, близкое к данному, задаётся сечением \eta \in \nu_{S/X} = \Omega^{1,0}(S) = \Omega^{1,0}(B), и будет в точности вырожденной твисторной деформацией, связанной с (2,0)+(1,1)-формой d\eta. Но вырожденная твисторная деформация, связанная с точной формой, тривиализуется! Таким образом, можно будет задать векторное поле, двигая вдоль которого голоморфно симплектическую структуру, можно будет добиться того, что движущееся сечение будет оставаться лагранжевым.

Обратно, если есть топологическое сечение, в ограничении на которое голоморфная симплектическая форма точна, то делающая его голоморфным вырожденная твисторная деформация тривиализуется. Итак, верно следующее усиление леммы Хитчина (о голоморфности комплексно-лагранжевых сечений): ограничение голоморфной симплектической формы на сечение лагранжева расслоения точно тогда и только тогда, когда оно может быть прогомотопировано в голоморфное. Но первое условие значит просто, что голоморфная симплектическая форма интегрируется нулём по всем классам вторых гомологий сечения. А сечение это CP^n, то есть его вторые гомологии порождены классом CP^1 \subset CP^n.

Видимо, ровно это и имел ввиду Богомолов, когда утверждал, что получить одну рациональную кривую это в ту же цену, что получить всё сечение.

1 comment|post comment

[07 Feb 2021|12:12am]
здесь утверждают что станция Новый Лондон,
впрочем не вижу. окошко мерцает вон там,
море мешает воспользоваться горизонтом.

русские думают только о казнокраде --
не для себя, но спасенья деревьев ради.
-надцатый час. подъезжаю к заливу сзади.
Коммонс закрыли от вируса? вот же бляди.

наша судьба -- подчиняться безмозглой силе.
те, что взывали к небу при Бункер-Хилле,
кедры, должно быть, ирландцы давно спилили --
Шмидт говорил Петрову. не Карл, блин! Вилли.

выход лишь тот, чтобы мэры дрались на стуле.
здесь эти сосны некстати растут. а хули?
было бабло б -- кипарис бы вообще ввернули,
как в The Atlantic опинион от Вермюле.

скажешь 'болото'? ну да, но какая клюква!
это сильней магнетизма печатной буквы,
ибо умножено суммой побочных мук, во
всякое время вгрызающихся мне в руку

можно наверно устроить всё как-то проще
вроде нормально же ходит такая почта
как у тебя на чужбине кислотность почв-то

яблоне некуда рухнуть ко мне в объятья
что ты несёшь и зачем тебе буду лгать я
там где рука теряется в складках платья

что ты дрожишь такой тонкий как ствол осины
что я слюной истекаю уста разинув
Вениамин с Михаилом, надев лосины,
бьют электричеством в чёрный кисель трясины,
словно ленд-лиз продолжает кормить Россию.
post comment

[03 Feb 2021|10:43pm]
персидский бархат мрамор стран медвяных
жираф в зоологическом саду —
как будто в лабиринтах Ксанаду
расторглась с болью сеть меридианов,

и я, блуждая по ступеням гетто,
не отразить хотел бы солнцем штык
но просто знать, как охуеешь ты,
когда оно взойдёт твоим рассветом

над всей землёй, где долбят адероль,
где не течёт впотьмах искомый ток
из проводов, в нористере звенящих,

где впился в море лезвием Монток,
и всем из нас так хочется порой
сыграть говном по трубам в чёрный ящик.
1 comment|post comment

Кривые родов два и три на абелевых поверхностях [28 Jan 2021|11:22pm]
[ mood | calm ]
[ music | Апрельский марш -- Котлован ]

Топологически пространство Тейхмюллера есть шар; и верхняя полуплоскость Зигеля тоже стягиваема. В случае рода два, когда они одинаковой размерности, поучительно посмотреть, как один из этих шаров отображается в другой. А именно, действие группы классов отображений MCG(2) на пространстве Тейхмюллера переходит в действие группы Sp(4, Z) на верхнем полупространстве Зигеля. Соответствующее отображение групп MCG(2) \to Sp(4, Z) это действие на когомологиях, оно же факторизация по одному из членов одного из центральных рядов (кажется, второму верхнего). То есть его ядро (и соответственно группа монодромии накрытия из Teich(2) в свой образ в Sieg(2)) есть группа классов отображений, действующих на гомологиях тождественно; иными словами, скручивания Дена вдоль гомологически тривиальных циклов. Если отображение Торелли Teich(2) \to Sieg(2) выпускает точку z, и граница диска с центром в z есть петля, обход вдоль которой действует скручиванием Дена вдоль некоторого цикла, то универсальное семейство кривых рода два над этим диском, проколотым в z, допускает центральный слой, в котором этот цикл будет исчезающим. Но этот цикл гомологически примитивен; в случае кривой рода два это означает, что центральный слой вырождается в две эллиптические кривые, склеенные в одной точке. Соответственно, якобиева поверхность при стремлении к z вырождается в произведение двух эллиптических кривых. Мы это и так хорошо знаем: всякая главно поляризованная абелева поверхность есть либо якобиева поверхность кривой рода два, либо произведение двух эллиптических кривых.

Отсюда легко видеть, что никакого глобального действия Sp(4, R) на пространстве Тейхмюллера, ни на какой его компактификации, даже для рода два определить невозможно. Локальное действие же алгебры Ли sp(4, R) отсюда определить очень просто, хотя оно и будет убегать на бесконечность за конечное время. Казалось бы, никакого способа определить его в произвольной ситуации для пар нету. И всё же в простейшей нетривиальной ситуации я могу определить его ад-хок.

Именно, рассмотрим гладкую кривую C рода три, лежащую на абелевой поверхности A^2. Ядро отображения Jac(C) \to A^2 есть эллиптическая кривая E = E(C, A); Барт заметил, что двойственное отображение Pic^0(C) \to E ограничивается на образ кривой C \subset Pic^0(C) как двойное накрытие. Обратно, всякая кривая рода три, двулистно накрывающая эллиптическую кривую, отображается инъективно в фактор Pic^0/E.

Кривая рода три на абелевой поверхности допускает однопараметрическое семейство деформаций, и локальным параметром для него будет являться j-инвариант эллиптической кривой E. Обратно, если есть двойное накрытие эллиптической кривой, ветвящееся в четырёх точках, вариация этой четвёрки (по модулю сдвигов) результирует в вариации не только накрытия, но и абелевой поверхности, в которую оно вкладывается. Значит, мы можем объявить локальными орбитами sp(4, R)-действия те локусы в послойном грассманиане Gr(2, H^{1,0}Teich(3)), которые получаются из зафиксированной эллиптической кривой на её всевозможных двойных накрытиях, разветвлённых в четырёх точках, ограничением двух форм с фактора Pic^0/E. Зачем -- ума не приложу.

post comment

Динамика на пространстве модулей абелевых бидифференциалов [23 Jan 2021|12:53am]
На тотальном пространстве расслоения Ходжа есть известное SL(2, R)-действие: берём дифференциал, делаем его интегрированием по путям отображение развёртки из кривой в \C, на \C действуем перекосом, и получается отображение развёртки из другого дифференциала на другой кривой. Для каждой фиксированной матрицы оно конечно не голоморфно. Однако оно имеет комплексно-аналитическую природу: именно, подгруппа U(1) \subset SL(2, R) действует сохраняя слои (просто умножая дифференциал на комплексное число), так что в проекции в пространство Тейхмюллера орбита выглядит как SL(2, R)/U(1), сиречь единичный диск, ну и отображение это должно быть голоморфно. Во всяком случае, если абелев дифференциал поднимался с эллиптической кривой, то это отображение это просто отображение из пространства Тейхмюллера эллиптических кривых, когда мы комбинаторное данное ветвления оставляем как оно есть, а кривую меняем. (Кстати, какая касательная прямая к этому диску? Получается же нелинейное отображение H^{1,0}(S) \to H^1(T_S), ну или между их проективизациями скорее).

Это соображение было основанием для моей 'леммы о топологизации': если класс когомологий \alpha, удовлетворяющий условию Ходжа-Римана и порождающий вместе со своим сопряжённым рациональное подпространство U(\alpha) = span(\alpha \cup \bar{\alpha}), представим абелевым дифференциалом, то и всякий другой класс \alpha', порождающий то же подпространство U(\alpha') = U(\alpha) и удовлетворяющий условию Ходжа-Римана, представим абелевым дифференциалом (то есть представимость ходж-римановых эллиптических классов есть инвариант порождаемого ими рациональных подпространств). Аналогичную лемму тщился я доказать и для пар абелевых дифференциалов. И тогда я задумался: а может быть есть и аналог SL(2, R)-действия для пар?

Ну и если бы оно было, можно было бы рассмотреть тавтологический случай. Для эллиптический кривых SL(2, R)-действие это просто действие SL(2, R) на Teich(1) = SL(2, R)/U(1). Значит для кривых рода два его аналогом должно быть действие Sp(4, R) на их пространстве Тейхмюллера. Но его нет! Оно конечно есть на Sp(4, R)/U(2), верхнем полупространстве Зигеля; но не всякая главно поляризованная абелева поверхность является якобианом гладкой кривой: она может быть произведением двух эллиптических кривых (если конечно не считать формально такое произведение якобианом негладкой кривой рода два, состоящей из двух этих эллиптических кривых, склеенных по точке). То есть, может быть, если произвести с пространством Тейхмюллера какую-то частичную компактификацию, то Sp(4, R)-действие на пространстве модулей абелевых бидифференциалов (послойном грассманиане 2-плоскостей в расслоении Ходжа) можно будет завести.

Но даже если не заводить! даже если просто для кривых рода два: можно взять её матрицу периодов, умножить на общую матрицу из Sp(4, R), и получится матрица периодов какой-то другой кривой. Или, чтобы не говорить об общности, можно инфинитезимально всё то же самое сделать. Будет отображение из алгебры Ли sp(4, R) в H^1(T). Или можно сделать из якобиана кривой рода два куммерову поверхность, будет отображение из sp(4, R) в деформации K3-поверхностей.

В принципе у Макмуллена довольно подробный трактат именно про кривые рода два, там это всё наверняка должно содержаться.
7 comments|post comment

Чаянов [20 Jan 2021|11:37pm]
[ mood | sick ]

Не горит перехваченный груз гравюр,
Не кустарь из градирни летит в зенит --
Государь простудился, и всех знобит.
Каждый знак голосит: не влезай! убью;

Как орлы досягают камней паря
На соплях расшибиться башкой легко.
Но за рамками вечного ноября,

На протоках медовых, как молоко,
Где крестьяне с помойки несут Фуко,
Голоса в голове изберут царя --

Там где ныне развёрстан евстахиит,
И, попавши в тоннельную колею,
Серый поезд везёт пустоту мою
Мимо станции Джефферсон-стрит.

2 comments|post comment

[17 Jan 2021|12:28am]
[ mood | sick ]

чуть не пробив башкой через стекло,
я слышал голос свой увядшим ухом:
наждачный камень может быть жемчугом
приди сорви с меня хоть шерсти клок

и ты пришёл. я даже не оглох,
и ты не отскочил как мяч упруго,
но сортирует нас всё тот же угол
в подъезд, или в подвал — но не в тепло.

тупой трилистник прокрутился встарь,
твоё лицо сокрыла гофросталь,
и снова, снова мелют херь колёса;

но помня, что земля ещё жива,
я есмь, и, как плейсхолдер рукава,
держу в руке какого-то там Гройса.

post comment

Мюнценберг [15 Jan 2021|11:41am]
кто скачет кто мчится по утренней мгле
по гулкости росной несмятой травы
меж смелого Карла дубов вековых
трактирщик наборщик мятежник барон

от севера ветер доносит лязг
от севера падает Даладье
ветер уткнулся в затылок тому
кто скачет кто мчится по утренней мгле

рождаются ветви и прячутся вновь
под ноги ложатся колени корней
кто скачет кто мчится в свой новый Ферней
как если бы в старый писал Пугачёв?

ведь тоже стоял над фальшбортом туман
когда тебе в глупой настольной игре
как будто послушный магнитной игле
сквозь полюс маршрут проложил Петерман

пахнет мочой дым от костра
на башне в часах проступает торгсин
какой Валаам подымал баргузин,
к Австралии гнавший твои клипера?

над Францией где-то плывут облака,
над Францией ты на гарроте висишь,
но нет ничего из того бы о чём

ни Франции нет ни Германии нет
ни слёз ни обиды ни правды ни букв
и с облака падает камнем душа в
пространство параметров воплей свиных.
post comment

Что за некрасивые картинки [13 Jan 2021|08:16pm]
[ mood | lonely ]
[ music | Комсомольск -- Камни, ножницы, бумаги ]

Любая осмысленная вещь основана на противоречии. Например, политическая идеология. Соответственно, можно классифицировать идеологии по противоречиям, на которых они базируются.

В либерализме это противоречие между бюрократией и демократией, оно рассекает все получающиеся институты, не позволяя им в зыблемом мире свалиться на сторону либо толпы, либо своего внутреннего маразма, и тем самым придаёт им гибкость. В коммунизме это противоречие между марксистской теорией (обусловленность формации производительными силами) и агендой (требующей социалистической революции здесь и сейчас). Оно позволяет эффективно подрывать действующий режим, но при этом вместо институтов производит маразматичные колоссы на глиняных ногах. Наконец, внутреннее противоречие фашизма чисто эстетическое, обусловленное его эклектичностью и синтетизмом -- между революционностью и консерватизмом, традицией и модерном и т. п. Оно не позволяет производить вообще ничего, кроме эффектных кадров.

И именно это есть ключ к пониманию формулы 'фашизм это эстетизация политики'. В буквальном смысле это абсурдно широко, в фашисты тогда можно записать кого угодно от Делакруа и Матейко до Репина и Тёрнера. Важно, что они не претендуют на фотографическое изображение действительности, они пишут иконы. Марианны никакой не было, как половины святых, являвшихся Орлеанской деве; про исторические ошибки на изображении Стефана Баториего подле Пскова и технические несообразности на корабле, влекомом бурлаками, критика оббила язык сразу после первых выставок. Фотография же иконой быть не может, она изображает всё как оно есть (по крайней мере, так двести лет твердили нам астрономы, вопреки всякой очевидности убеждая в достоверности телескопических изображений). Коммунист перерождается в фашиста, когда вместо борьбы как таковой ему начинает быть интересным, как выглядит фотографическое изображение его борьбы, то есть фашист это буквально зеркальное отражение коммуниста. Если бы не пресловутая гибкость либеральных институтов, в числе отцов-основателей усонианского фашизма мы бы числили не столько Херста с Брайаном, сколько Гриффита, невольно породившего второй клан. Ну и то, что в православный сочельник мы наблюдали именно фашистский шабаш -- в химически чистом виде, без примеси какой бы то ни были иной идеологии вроде консерватизма -- становится совсем очевидно, замечание типа. Гитлер наших дней придёт из тиктока.

Наверное это всё и так все знают, кто читал самого Беньямина; но у советских же собственная гордость, им надо до всего своим умом дойти, как Аммосу Фёдоровичу в Ревизоре.

4 comments|post comment

[01 Jan 2021|08:43pm]
[ mood | horny ]

Пусть C каноническая кривая рода четыре, она лежит на единственной квадрике. Если эта квадрика -- конус, назовём такую кривую новогодней (потому что конус похож на ёлку, а кривая на гирлянду). Чаще эта квадрика гладкая. Это значит, что пространство абелевых дифференциалов H^0(K_C) снабжено некоторой невырожденной квадратичной формой Q (с коэффициентами в некотором линейном пространстве). А какой?

Если \alpha абелев дифференциал, то имеем Q(\alpha, \alpha) = 0 тогда и только тогда, когда соответствующая \alpha плоскость касается квадрики, то есть натянута на две образующие этой квадрики. Это значит, что дивизор нулей Z_\alpha есть сумма двух дивизоров, в которых кривую C пересекают две её трисекущие, одна левая, другая правая. Проекция вдоль правого/левого семейства задаёт два тройных накрытия C \to P^1, и оттяги сечений O(1) вдоль них будут сечениями, соответствующими дивизорам, высекаемым правыми/левыми трисекущими. Таким образом, пространство H^0(K_C) может быть реализовано как тензорное произведение L \o R, где L и R -- два связанных с кривой C двумерных векторных пространства (притом естественно с точностью до выбора лева-права). Иначе это тензорное произведение можно записать как Hom(L^*, R), и квадратичная форма будет задаваться как определитель, её значения будут элементами линейного пространства \Lambda^2(L^*) \o \Lambda^2(R).

Для новогодних кривых всё сказанное резко теряет смысл, потому что форма Q, определённая вообще-то на H^0(K_C)^*, становится вырожденной, и говорить о её значениях на векторах из H^0(K_C) невозможно. Вершина конуса, на котором лежит C, будет соответствовать прямой, натянутой на вектор \eta \in H^0(K_C)^*, характеризующийся тем, что \eta(Z_1 + Z_2) = 0 для любых дивизоров Z_i, высеченных трисекущими.

Что-то отвлёкся после того, как это написал, и понял, что вообще не могу сообразить, что сказать-то хотел. Да и поделом, час уже поздний. В любом случае, хотелось бы как-то понять, что происходит в семействах, и какова гомологическая природа пространств L и R. Можно ли их как-то увидеть в едином расслоении, чтобы сказать, что в случае новогодних кривых слои этих подрасслоений совпадают (что было бы в согласии с геометрической интуицией)?

Это всё может быть применено к четырёхмерной кубике. А именно, на ней возникает квадратичная форма с коэффициентами в линейном расслоении, аналогичная форме dzdw на двумерной квадрике, которая есть P^1 \x P^1: прямые, проходящие через данную точку четырёхмерной кубики, составляют в касательном пространстве конус над кривой рода четыре. В общей точке эта кривая каноническая, так что определяет изоморфизм касательного пространства в этой точке с Hom(L^*, R) -- где L и R некоторые расслоения ранга два. Было бы очень занятно, если бы оно на многообразии Бовиля-Донаги как-то отражалось, но наверное никак, голоморфной квадратичной форме трансгрессировать некуда, кроме как в константу.

post comment

Похоже, доказал [23 Dec 2020|05:21pm]
[ mood | cold ]

Транзитивность-то.

В самом деле, теорема Эйхлера утверждает, помимо всего прочего, что если на Z^4 есть две неделимые симплектические формы с одинаковым детерминантом, то они переводятся друг в дружку матрицей из SL(4, Z). В частности, любая неделимая симплектическая решётка ранга четыре с детерминантом d изоморфна dQ + Q, где Q = Z^2 со стандартной формой dx \wedge dy. Стало быть, если U \subset Z^{2g} полная симплектическая подрешётка ранга четыре с определителем d, то она может быть отождествлена с dQ + Q. Пусть W это образ dQ при таком отождествлении, а E -- образ Q. Мы знаем, что любые две подрешётки ранга два с данными определителями могут быть отождествлены симплектической матрицей; стало быть, можно считать, что E порождена первыми двумя векторами в стандартном базисе. Но тогда перпендикулярная ей подрешётка W лежит в стандартном Z^{2g-2}, порождённом всеми остальными векторами, и имеет определитель d. Причём мы знаем, что она высекается некоторым вещественным подпространстом, потому что изначальная решётка высекалась; стало быть, подрешётка W \subset Z^{2g-2} полная. Стабилизатор векторов из E действует как Sp(2g-2, Z), так что любые две такие подрешётки W, полные и с определителем d, переводятся друг в друга симплектической матрицей.

Вроде нигде не проврался. Наверняка оно для подрешёток ранга шесть ломается по внутренним причинам -- мол в этом случае уже существуют неизоморфные абстрактно решётки с одинаковыми определителями.

Ну и стало быть теперь стоят два вопроса. Во-первых, деформация отображения кривой в абелеву поверхность вслед за абелевой поверхностью, во-вторых, для рода g выписать всевозможные определители, получающиеся отображением в абелеву поверхность из какой-то кривой рода g.

4 comments|post comment

[20 Dec 2020|12:44pm]
лёд покрыл шасси и сопла
где гагарин стал володин
пугачёвским гололёдом
путь межзвёздный обморожен

но как стерлядь или вобла
если лёд разбить в палате,
то тогда уже возможно
как сражённый гриппом голубь
рухнуть в мутной жижи прорубь
в отражённых звёзд фарватер,

протянуть неровный прочерк,
как баркас по старым доньям
из-под правды воль монарших

вглубь оврагов стран заочных,
где в своей броне-болонье
ходит маленький фонарщик.
8 comments|post comment

Задачка про матрицы (к предыдущему) [18 Dec 2020|02:19pm]
[ mood | happy ]
[ music | Полки нового строя -- Ламарк ]

Задача такая: дана решётка Z^{2g}, и в ней две полные подрешётки U, V ранга два, обе с определителем d. Доказать, что существует матрица A \in Sp(2g, Z) такая, что gU = V.

В вещественном случае доказательство бы следовало из транзитивности на базисах. Однако в целочисленном случае ничего подобного ожидать нельзя! Скажем, рассмотрим Z^2 с базисом e, f, (e, f) = 1. Тогда базис {e, e + 3f} не может быть переведён в {e, 2e+3f}, несмотря на то что их определители равны: если e остаётся на месте, то f может перейти только в f + ne, а 3f + e соответственно только в 3f + (3n+1)e. Однако порождённые этими базисами подрешётки, конечно, одни и те же.

Заметим же, что, коль скоро симплектические матрицы действуют транзитивно на неделимых векторах, мы можем ограничиться рассмотрением только подрешёток, порождённых базисным вектором e_0 и ещё каким-то вектором, который умножается на e_0 числом d (и является неделимым по модулю e_0, поскольку порождаемая подрешётка полная). Всякий такой вектор имеет вид df_0 + u, где u \in e_0^\perp. Нам хочется, стало быть, для любых двух векторов u, v \in e_0^\perp, неделимых по модулю e_0, подыскать такую симплектическую матрицу A, что Ae_0 = e_0 и A(df_0 + u) = df_0 + v + ke_0 для какого-то числа k. Заметим, что Af_0 = f_0 + x, где x \in e_0^\perp. Итого мы хотим добиться равенства dx + Au = v + ke_0. Это уравнение на вектора из e_0^\perp; симплектическая решётка e_0^\perp mod e_0 является стандартной, а стабилизатор e_0 действует на ней всей симплектической группой, и в ней уравнение сводится к d[x] + A[u] = [v]. Заметим однако, что полнота подрешёток U и V влечёт неделимость векторов [u] и [v], так что это уравнение имеет решение для [x] = 0 (в силу чего никаких осложнений с поднятием A до элемента Sp(2g, Z), связанных с необходимостью блюсти ортогональность Af_0 векторам из e_0^\perp не возникает).

Это, вкупе с предыдущим постом, доподлинно завершает доказательство теоремы Каповича для эллиптических классов. Слава Богу за всё!

13 comments|post comment

Теорема Гаупта-Каповича для эллиптических классов [15 Dec 2020|11:47pm]
[ mood | lethargic ]

На сфере с ручками у эллиптического класса когомологий -- то есть такого, что интегралы его по всевозможным контурам составляют решётку ранга два в \C -- имеется индекс. Капович определяет его как отношение эрмитовой длины этого класса к кообъёму решётки его периодов. Это выражение инвариантно при умножении на число, то есть зависит только от натянутой на него комплексной прямой. В терминах соответствующего вещественного подпространства с комплексной структурой эллиптичность означает, что это подпространство порождено векторами решётки. А у двумерной подрешётки в Z^{2g} со стандратной симплектической формой тоже есть свой инвариант: это определитель, то есть наибольшее целое число, которому кратно значение \omega(x, y) на любой паре векторов x, y из этой подрешётки. Написав их вещественные и мнимые части, легко видеть, что определитель симплектической подрешётки равен индексу прямой, которая её порождает. Группа Sp(2g, Z) действует транзитивно на подрешётках ранга два с данным определителем; более того, если реализуется абелевым дифференциалом какая-то ходжева прямая в комплексификации данной подрешётки ранга два, то реализуются и все остальные: реализуемость даёт отображение в эллиптическую кривую, то есть ветвящееся накрытие, а потом выбирая другую комплексную структуру на кривой и сохраняя точки ветвления, мы получим все остальные прямые. Таким образом, определитель подрешётки, сиречь индекс класса когомологий, есть единственный инвариант реализуемости. Тем самым, задача о реализуемости эллиптического класса индекса d на кривой рода g сводится к топологической задаче о существовании d-листного разветвлённого накрытия над двумерным тором, род накрывающего пространства которого равняется g. Ну а это уже не бог весть что такое; так, для d = 2 реализуется что угодно (нужно взять 2g-2 точки ветвления), а дальше как-нибудь попортить это накрытие, пользуясь тем, что тор накрывает себяже сколько угодно раз.

Стало быть, чтобы решить задачу Каповича для эллиптической пары, нужно для начала установить алгебраические инварианты симплектических подрешёток ранга четыре в стандартном симплектическом Z^{2g}. Это всё должно быть в литературе XIX века, но где её искать.

3 comments|post comment

Кривые, лежащие на абелевых поверхностях [13 Dec 2020|12:40pm]
[ mood | pessimistic ]

Придумал такое упражнение по линейной алгебре. Пусть у меня имеется вещественное векторное пространство V с симплектической формой \omega, и пусть L \subset V \o C -- некоторое подпространство (например вполне мнимое, но наверное это не очень важно). Тогда двойственный омеге бивектор в \Lambda^2(V) лежит в L \o \bar{L} \subset \Lambda^2(V \o C) тогда и только тогда, когда L лагранжево. В самом деле, (2,0)-часть \omega в комплексной структуре, заданной L (в предположении, что оно вполне мнимое), в точности соответствует значениям \omega на парах векторов из L (и, по симметрии, (0,2)-часть тоже).

Но отсюда например следует, что если V = V_Z \o R, а форма \omega целочисленная, то лагранжевость подпространства влечёт наличие целочисленного вектора в L \o \bar{L}. Очень тупо, но для меня это почему-то внове.

Это получилось естественно из размышлений об общности в задачи Каповича. Если у меня появилась пара дифференциалов \tau, приходящая с абелевой поверхности -- то есть такая, что линейная оболочка <\tau \cup \bar{\tau}> порождена своими целочисленными векторами -- то я могу начать воротить \tau в пределах этой оболочки (сохраняя, конечно, лагранжевость и ходжевость), и что могло бы воспрепятствовать тому, что соответствующая абелева поверхность не превратилась бы в комплексный тор, в коий никакой кривой отобразить невозможно? а вот выясняется, что лагранжевость и препятствует. Причём, кажется, при этом деформироваться будет и кривая -- по крайней мере, если не вывернуть \tau таким образом, чтобы у поверхности подскочил ранг Пикара (отсюда бы следовало, что представимость абелевыми дифференциалами для эллиптического случая -- это инвариант не подпространства \tau, а порождённого им вещественного подпространства). Говоря формально, если имеется семейство абелевых поверхностей над диском, и S -- кривая рода хотя бы два, лежащая в центральном слое, то при деформации в тотальном пространстве она сможет его покинуть. Для K3-поверхностей это конечно уже неверно.

Чтобы доказать это, давайте посмотрим на многообразие инцидентности TS(g) \subset Teich(g) x Sieg_2 -- пар из кривой рода g и абелевой поверхности, в которую её можно вложить с не хуже чем нормальными особенностями. Назовём его локусом Тейхмюллера-Зигеля, чтобы у Вениамина бомбануло. Нам надобно доказать, что проекция TS(g) \to Sieg_2 имеет открытый образ. Но для этого достаточно, чтобы на всякой абелевой поверхности с числом Пикара 1 имелась кривая рода g. Для якобиана это довольно понятно: если g = 2n, возьмём n сдвигов кривой рода два как единое целое, и сгладим его; если g = 2n-1, то сгладим все особенности, кроме одной (как в житии Петра и Февронии). Для этого аргумента кажется даже не нужен принцип Богомолова (согласно которому все особенности сглаживаются независимо друг от друга): можно искусственно сгладить всё, а потом одну особенность не мытьём, так катаньем заломить обратно.

Вообще вредоносность Медведева сильно недооценена: помимо петра-и-февроньи, например, заметил на днях, что скорее всего идея провести вместо Сталина в голосовании '100 великих русских' первым Александра Невского исходила от него (хотя где-то рядом болтались чуть более приличные Гагарин и Пушкин). Наверняка сидел в жеже со своего айфончика где-нить в блоге Кирилла Фролова и читал все хохлосрачи. Без него может и 2014 года бы не было, как знать. С другой стороны, в России чего не было, то обязательно будет. Увы.

post comment

Нечто о классической дифференциальной геометрии [07 Dec 2020|07:56pm]
[ mood | calm ]
[ music | Гр. Полухутенко -- Весна ]

На расслоении единичных касательных векторов к риманову многообразию имеется стандартная контактная форма: \alpha_{x,v} = \pi^*v^\perp. Её поле Реба, как проверяется нехитрым вычислением, это геодезический поток. Несложно видеть, что единичные сферы переводятся геодезическим потоком в образы под гауссовым отображением метрических сфер с центром в той точке, над которой была взята изначальная единичная сфера.

С другой стороны, если многообразие было вдобавок ещё и трёхмерное, на его единичном касательном расслоении заводится КР-структура имени Лебрюна: на единичных сферах она как на единичных сферах, а по горизонтали она задаётся векторным умножением на тот вектор, в котором мы сидим. И эту КР-структуру геодезический поток уже не сохраняет: иначе образы вертикальных сфер, интегральных голоморфных кривых на твисторах Лебрюна, также были бы голоморфными кривыми, в то время как гауссово отображение из поверхности в твисторы Лебрюна голоморфно тогда и только тогда, когда поверхность вполне умбилична. Метрические же сферы умбиличны крайне редко.

Но геодезический поток мало того что не голоморфен -- в случае трёхмерной сферы с круглой метрикой он всё же голоморфен -- он ещё и естественную метрику не сохраняет! Я даже картинку нарисовал:



Геодезический поток размазывает вертикальную чёрную сферу в косую синюю, и точно так же перекашивает вертикальное зелёное пространство: если изначально оно проецировалось в точку, то после расплывания оно начинает падать в касательное пространство к метрической сфере в базе. Замечу однако, что и по вертикали, и по горизонтали в отдельности геодезический поток, кажется, всё же сохраняет комплексную структуру; таким образом, производная тензора комплексной структуры по геодезическому потоку это просто мера того, насколько проекция косого зелёного пространства становится комплексно-нелинейной. Кажется, это просто условие пропорциональности метрического тензора тензору Риччи; это в данном случае означает постоянство и секционной кривизны.

И всё же случай трёхмерной круглой сферы очень интересен. Её твисторы Лебрюна имеют следующее описание: рассмотрим кватернионное расслоение Хопфа CP^3 = P_C(C^4) = P_C(H^2) \to P_H(H^2) = HP^1 = S^4. Его слои суть проективные прямые; рассмотрим те из них, которые лежат над некоторой экваториальной S^3 \subset S^4. Получится вещественная гиперповерхность в CP^3, на которой лежит некоторая комплексная квадрика (именно, состоящая из прямых, параметризованных некоторой подсферой S^2 \subset S^3). А как описать другие рациональные кривые, лежащие на этой гиперповерхности, и получающиеся как гауссовы подъёмы круглых сфер в S^3 (не обязательно экваториальных -- в конце концов, на всём этом образовании действует группа мёбиусовых преобразований сферы, ибо твисторы Лебрюна конформно инвариантны)? Из соображений инвариантности чисел Черна следует, что это также должны быть проективные прямые в CP^3. Получается вещественно четырёхпараметрическое семейство, и совершенно никакое не аналитическое: в самом деле, его предельными точками являются вертикальные сферы, которые параметризованы точками самой S^3. Если бы на базе этого семейства была естественная комплексная структура, она бы высекала на нашей сфере, вложенной туда как локус предельных положений, КР-структуру, инвариантную относительно мёбиусовой группы, что абсурдно. Скорее наоборот, это четырёхпараметрическое семейство (к слову, это компактификация вещественного гиперболоида в R^5) является вполне вещественным подмногообразием в комплексно четырёхмерном грассманиане Gr(2,4) (который, к слову, тоже квадрика -- Плюккера).

Брайант обнаружил какие-то интересные инварианты поверхностей в S^3 относительно группы мёбиусовых преобразований. Самое простое из них это подынтегральное выражение Вильмора, (H^2 - K)\omega_g, где H -- средняя кривизна, K гауссова кривизна, а \omega_g форма площади. Функция H^2-K положительна и обнуляется в точности в умбилических точках, что умбилические точки (точки, в которых гауссово отображение в твисторы Лебрюна голоморфно) являются инвариантом относительно конформной замены метрики, мы уже знаем. Более того, при конформной замене метрики, хотя оператор внешней кривизны конечно меняется, не меняются его собственные вектора (можно явно написать, как меняется оператор внешней кривизны: он умножается на половину квадратного корня из конформного множителя, и из него вычитается тождественный оператор, умноженный на производную корня из конформного множителя в нормальном направлении). Для поверхности это означает, что на ней возникают два взаимно перпендикулярных слоения, которые не меняются при конформной замене метрики, и имеют особенности в умбилических точках. Это очень похоже на пару слоений, связанных с абелевым или квадратичным дифференциалом; было бы здорово, если его можно было бы извлечь из комплексной геометрии твисторного пространства. Там в принципе есть какой-то дифференциал Брайанта четвёртой степени; но понять, что это такое, пока не представляется возможным из-за экстенсивного использования метода подвижного репера (вместо того, чтобы говорить о геометрии расслоений над твисторами Лебрюна).

Ещё очень похожие картинки, с этими линиями кривизны, в науке о геодезических на эллипсоиде; если их в самом деле можно проинтерпретировать как слоение, связанное с каким-то квадратичным дифференциалом, то интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде в терминах абелевых интегралов (связанных скажем с ветвящимся накрытием эллипсоида, на котором из этого квадратичного дифференциала извлекается квадратный корень) совершенно неудивительна. Про что-то такое Хитчин в Петербурге рассказывал, но я как всегда был влюблён и ничего не понял.

Но определённо должна быть какая-то мораль у этой конформно инвариантной сетки на поверхности, вложенной в пространство; какой-нибудь комплексный аналог например. Кстати теорема о том, что эта сетка конформно инвариантна, гораздо моложе теоремы Лиувилля о мёбиусовости конформных автоморфизмов, и принадлежит двум межвоенным нидерландцам: один это Схоутен, а другой помер в сто шесть лет.

In 1926 Struik was offered positions both at the Moscow State University and the Massachusetts Institute of Technology. He decided to accept the latter, where he spent the rest of his academic career. He collaborated with Norbert Wiener on differential geometry, while continuing his research on the history of mathematics. He was made full professor at MIT in 1940.

Struik was a steadfast Marxist. Having joined the Communist Party of the Netherlands in 1919, he remained a Party member his entire life. When asked, upon the occasion of his 100th birthday, how he managed to pen peer-reviewed journal articles at such an advanced age, Struik replied blithely that he had the "3Ms" a man needs to sustain himself: Marriage (his wife, Saly Ruth Ramler, was not alive anymore though when he turned one hundred in 1994), Mathematics and Marxism.
3 comments|post comment

Ив. Ал-ву [04 Dec 2020|10:37pm]
[ mood | lonely ]

смачивал ветви сентябрь каротиновым пламенем,
утром в семь-тридцать со мною прощалась постель,
и выходил я как штык по осям гипподамовым,
каждый мой день как иголка на рейки летел.

можно ль статсумму назвать человеческим именем?
кончен ноябрь, и на кронах лишь тень от огня;
я выхожу — Понасенков, Акунин, Латынина,
словно и не было вовсе такого меня.

что в тебе стонут цепями за сходни да клиники?
что тебе стоит клинок моей шпаги сломать?
мысли мои лишь комки, лишь птенцы у малиновки,
но я порхаю, тревожась над ними, как мать.

через чепыжник заросшего сада неумного
в крылья мои ты зарядишь булыжник в полёт;
но, коль меня ты убьёшь, то окажешься Вулманом:
гроб твой в мицель поездов под землёй прорастёт.

5 comments|post comment

[28 Nov 2020|06:59pm]
Сашенька В. любезно объяснила мне, как описывать поверхности Фано, параметризующие прямые на особых кубических трифолдах. Надо, как всегда, проецироваться из особой точки, скажем p. Если прямая l \subset X, где X -- наш трифолд, не проходит через p, плоскость, порождённая p и l, высекает на трифолде плоскую кубику, содержащую прямую l и имеющую особенность в точке p \not\in l. Такая кубика обязана распадаться в три прямые; соответственно, прямой l можно поставить в соответствие пару прямых, проходящих через p и лежащих на X. Если на X не лежит никакая плоскость, проходящая через точку p, то прямые, лежащие на X и проходящие через p, составляют в проективизации касательного пространства в точке p кривую, являющуюся пересечением квадрики и кубики (примерно как две прямые на квадрике в CP^3, проходящие через данную точку, составляют пересечение квадрики с линейным подпространством, получающимся дифференцированием задающих эту квадрику уравнений -- попросту говоря касательной плоскости). Пересечение квадрики и кубике имеет род четыре; таким образом, имеется отображение из (строго говоря, лишь компоненты) поверхности Фано в симметрический квадрат кривой рода четыре. Обратно, если есть пара точек на кривой рода четыре, сиречь пара прямых через точку p, лежащих на X, то на них можно натянуть плоскость, и она высечет помимо этих двух прямых ещё третью. Это и задаст биекцию (во всяком случае рациональную) компоненты поверхности Фано и симметрического квадрата кривой рода четыре. Могло бы показаться, что прямые, проходящие через точку p, к этой компоненте не относятся; это конечно неправда: каноническая ривая рода четыре имеет однопараметрическое семейство трисекущих, которое определяет нетривиальное вложение кривой рода четыре в свой симметрический квадрат.

Нам, однако, хотелось бы получить рациональную компоненту. Этого можно было бы добиться просто найдя кубику, содержащую плоскость. Мы однако верим, что общие две прямые из нашего семейства не пересекаются, так что это нам не подходит. Значит, наверное, следует выродить кривую рода четыре в скрученную кубику. Можно совершать поиск в обратном направлении: стартуем со скрученной кубики в CP^3, возведём над нею конус в CP^4, с вершиной p вне этого CP^3, и будем подбирать кубический трифолд, на котором этот (двумерный) конус бы лежал -- таким образом, чтобы этот трифолд сам не был бы конусом с вершиной в p. Если бы можно было продеформировать в такое образование обычный особый кубический трифолд, компонента, содержащая прямые через p, при этом отпадала бы -- у кривой Веронезе-то никаких трисекущих нет! Но вообще надежда есть: даже в википедии написано, как представить толстую в схемном смысле скрученную кубику как пересечение квадрики и кубики.

Вообще пиздец какой-то, вырождение особенностей у трифолдов, блин. Скоро буду писать посты со словами 'пусть \g редуктивная алгебра Ли'.
2 comments|post comment

navigation
[ viewing | most recent entries ]
[ go | earlier ]