крест и радуга

Подражание твиттеру twitter.com/nameless_things
Некоторые города -- это один и тот же город. Примеры: Москва, Нью-Йорк и Лондон; Париж и Одесса. Это не есть отношение эквивалентности, скорее грани некоторого симплекса (Париж и Нью-Йорк, как объяснил мне

v_r, тоже одно и то же). Как можно заключить, что какие-то два города не одно и то же? Например, Москва эллиптична, а Петербург гиперболичен. Это правда, и широко известная.

Но не вся. На городе очень часто действует конечная группа. Но на Петербурге она действует вполне разрывно, в то время как её действие на Москве имеет стабилизаторы. Листы соответствующего накрытия для Петербурга имеют исстари известные названия -- Питер, Петроград, Ленинград, Пиетари, Ниеншанц, Ландскрона; глобально они, конечно, не определены. Это довольно легко заметить: например, на одном и том же дорожном указателе на Литейном, когда проходишь мимо него в разные моменты времени, читаешь то 'Воскресенская набережная', то 'Набережная Робеспьера'; в самом деле, никогда не знаешь, какую монодромию нагуляешь, даже пока ходишь по улицам -- а тем паче во сне -- и где окажешься, в Санкт-Петербурге или в Ленинграде. Да и сам человек не есть точка, и вполне может перескочить на другой лист в зависимости от своего внутреннего состояния. Помню, как шёл поздно ночью в крайне дурном расположении духа вдоль вильямсбургского Бродвея, вдоль эстакады линий J, M и Z, и очень хотел есть, а денег крайне недоставало (в связи с чем я и не садился в метро). Вдруг мне явился продуктовый магазин, который в такое время не должен был бы уже работать, и очень дешёвый. Накупив там персиков и мандаринов, я пошёл дальше, и ел эти мандарины, и стало куда лучше. Стоит ли говорить, что после, когда я пытался его найти, я ни разу не преуспел, и второй раз также набрёл на него тоже случайно?

Не знаю, как у Нью-Йорка, а в случае Москвы её родная группа точно действует со стабилизаторами. Соответственно, у Москвы есть конические точки, в которых сумма углов меньше 360 градусов; например, такая точка расположена около церкви Успения на Могильцах (рядом с НМУ). Недаром всякий путь от НМУ до матфака проходит чрезвычайно близко к ней.

i_anatta как-то рассказывал, что застал в Москве спор двух хасидов о том, Москва круглая или квадратная, и если квадратная, то где у неё углы. Под 'квадратом', я думаю, они подразумевали куммерову K3-поверхность, неявно путая куммеровы и эллиптические K3: описание особенностей Москвы скорее как унипотентных, нежели конических, и отсутствие выделенной метрики (и соответственно наличие вне особых точек плоской связности), наверное, даёт какое-то понятие о том, что же всё-таки происходит на северо-востоке.

Кстати о конических особенностях и конечных группах. Легко видеть, что если сдуть в голоморфном кокасательном расслоении к \CP^1 его нулевое сечение, то получится квадратичный конус, голоморфно симплектоморфный фактору \C^2 / {\pm 1}. Поскольку касательное расслоение \CP^n антиобильно, нулевое сечение T^*(\CP^n) также можно сдуть до некоторого аффинного многообразия с конической симметрией. Явно можно это описать следующим образом. Что такое кокасательный вектор к \P(V) в точке l \subset V? Это отображение V/l \to l. Достроим его до отображения V \to V/l \to l \to V, где первая стрелка -- факторизация, а вторая -- тавтологическое вложение. Получится эндоморфизм пространства V, то есть точка аффинного пространства V \o V^*. Это нулевой эндоморфизм тогда и только тогда, когда изначальное отображение V/l \to l было нулевым, а в остальных случаях это отображение один-к-одному. Образ, стало быть, будет ровно тем, что нужно. На самом деле это аффинный конус над проективизацией кокасательного расслоения \P(T^*(\P(V))). Соответствующее линейное расслоение (послойное тавтологическое) над проективизацией не приходит как обратный образ расслоения над \P(V) при n = \dim V - 1 > 1, поэтому любое линейное расслоение, оттянутое с \P(V), не пропорционально ему с рациональным коэффициентом в группе Пикара. Стало быть, конус над таким дивизором не будет \Q-Картье, и этот конус будет фактором гладкого аффинного многообразия только при n = 1. Это мне объяснил Алексеев.

Если уж выше зашла речь про куммеровы K3-поверхности, то можно заметить следующее. Как известно, некоторая окрестность рациональной кривой на K3-поверхности голоморфно симплектоморфна некоторой окрестности нулевого сечения в голоморфном кокасательном расслоении \CP^1. Давайте разрежем абелеву поверхность на 16 кубиков, с тем чтобы в каждом кубике находилась только одна точка 2-кручения, а сами кубики сохранялись умножением на -1. Экспоненциальное отображение в каждой точке 2-кручения голоморфно симплектоморфно отождествляет соответствующий кубик с кубиком в \C^2, и это отождествление спускается на фактор по {\pm 1} и их разрешения особенностей. Таким образом, куммерову K3-поверхность можно разрезать на 16 трубок, устроенных как окрестность нулевого сечения в голоморфном кокасательном расслоениии рациональной кривой. Вопрос: а какое минимальное число таких трубок для этого необходимо? Если требовать, чтобы трубка не граничила сама с собой, то двух трубок не может быть достаточно из точной последовательности Майера -- Фиториса или банального исчисления эйлеровой характеристики. Известное разрезание тора на три прямоугольника предлагает предположить, что для якобиевой K3 должно быть достаточно трёх трубок (по крайней мере в случае, когда у её общего слоя есть 3- или 5-кручение). Но я что-то порисовал картинки, и пока не сообразил, как там чего резать. А с другой стороны, всякая кривая обязана содержаться хотя бы в двух трубках (для нерациональных кривых это очевидно, потому что они обязаны пересекаться со всеми рациональными, а для рациональных это следует из того, что после сдутия рациональной кривой в трубке получится подмножество аффинного подмногообразия, которое не может содержать кривых, откуда следует, что кривая и является центром сдутия). Но довольно легко представить, чтобы у куммеровой K3 такие три трубки пересекали бы каждую из 16 исключительных кривых, и при их сдутии и поднятии в абелеву поверхность дали бы нечто, граница чего проходит через все 16 точек 2-кручения.

Current Mood: tired
Current Music: Село Бергуль Северного района Новосибирской области -- При долине куст калиновый стоял