| 3:36p |
Новая почти КР-структура на сферизации касательного расслоения к S^3
Пусть R^7 = U + V как в прошлом посте. Вложим многообразие S^3 \times S^2 в S^6 как произведение единичных сфер в пространствах U и V соответственно (этакое 'вложение Сегре-Клиффорда'). Заметим, что его образ имеет естественное отождествление с тотальным пространством UTS^3 единичного касательного расслоения к круглой S^3: именно, точка (u,v) \in U + V отправляется в точку (u, v \times u), где касательное пространство к S^3 \subset U в точке u отождествляется с ортогональным дополнением u^\perp \subset U при помощи параллельного переноса.
Стандартная почти комплексная структура на S^6 высекает на вложенной по Серге-Клиффорду UTS^3 некую почти КР-структуру. Она отличается от КР-структур Лебрюна и Илса-Саламона тем, что в ней вертикальные сферы S^2 не являются рациональными кривыми: эти слои суть сечения S^6 3-плоскостями, параллельными V, но отстоящими от неё на \sqrt{1/2}; если же сечение S^6 ассоциативным аффинным подпространством является комплексной кривой, то векторное произведение перпендикулярных векторов, касающихся этого сечения, должно с одной стороны касаться этого подпространства в силу ассоциативности, а с другой быть перпендикулярным S^6 в силу того, как определяется её почти комплексная структура; значит, это аффинное подпространство должно проходить через ноль. На самом деле мне непонятно даже, является ли контактная структура, определяемая этой почти КР-структурой, стандартной.
Кроме того, подмногообразие Сегре-Клиффорда минимально в S^6 (вроде как), по той же причине, по которой минимален стандартный клиффордов тор. Это даёт небольшую надежду, что почти комплексная структура на конусе над ним может оказаться интегрируемой. |