крест и радуга

Кривизна связности Лиувилля-Арнольда
Если p : X \to B -- коассоциативное расслоение на G_2-многообразии (X, \rho), то касательное расслоение к базе можно реализовать как подрасслоение в расслоении вторых когомологий R^2p_*: именно, касательный вектор v \in T_b(B) переводится в класс когомологий [ \iota_{\widetilde{v}}(\rho)|_{X_b} ] \in H^2(X_b, \R). Это расслоение имеет невырожденную псевдоевклидову метрику, заданную умножением форм и интегрированием; подрасслоение TB \subset R^2p_* является в нём максимальным подрасслоением, на котором эта форма положительно определена. Таким образом, имеем право рассмотреть перпендикулярное к нему подрасслоение. Обозначим его за S.

Относительно разложения R^2p_* = TB \oplus S плоская связность Гаусса-Манина разваливается в четыре компоненты. Две из них -- связность Лиувилля-Арнольда \nabla^{LA} : TB \o TB \to TB и связность \nabla^S в расслоении S. Другие две компоненты являются тензорами, обозначим их за Q : TB \o TB \to S и K : TB \o S \to TB (или, что то же самое после переброски, K : S \to \End(TB)). Композиция K \circ Q : TB \o TB \to T^*B \o TB имеет следующее свойство: после кососимметризации по своим двум аргументам она становится равной кривизне связности Лиувилля-Арнольда. Это легко следует при помощи раскрытия скобок из того, что связность Гаусса-Манина плоская.

Другое следствие из плоскости связности Гаусса-Манина состоит в том, как для векторного поля u оператор Q_u : TB \to S коммутирует со связностями Лиувилля-Арнольда и \nabla^S. Именно, оператор Q_u(\nabla^{LA}_v(-)) - \nabla^S_v(Q_u(-)) после кососимметризации становится равным оператору Q_{[u,v]}.

Это, конечно, верно для любого многообразия, у которого касательное расслоение реализовано как подрасслоение в евклидовом расслоении с плоской связностью (а по теореме Нэша, такова, например, всякая связность Леви-Чивиты). Однако в данном случае дополнительное подрасслоение имеет геометрическую природу. Может оно как-то поможет, особенно в случае расслоения на торы. Хотя надежды мало, конечно.

Current Mood: sleepy